2021长春名校高二下学期期末考试数学（文）试题含答案

长春市名校2020-2021学年高二下学期期末考试

数学(文)试卷

考试时间：120分钟 分值：150分

第Ⅰ卷选择题(60分)

一、选择题(共12小题，每小题5分，计60分)

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数，，是虚数单位.若，则（    ）

A． B． C． D．

3． 计算：（    ）

A．             B．             C．3            D．          

4．函数的单调递增区间是（   ）

A． B． C． D．

5．已知函数，若，则（    ）

A．             B．

C．           D．

6．已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

7．已知函数，不等式的解集为（   ）

A．        B． C．        D．

8．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．我国著名数学家华罗先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特征，函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

10．人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f（x）dB，则有，一架小型飞机降落时，声音约为100dB，轻声说话时，声音约为30dB，则小型飞机降落时的声音强度是轻声说话时声音强度的（    ）倍

A．1000 B．106 C．107 D．108

11．已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（    ）

A．1 B． C． D．

12．已知函数，若关于x的方程有四个实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷非选择题(90分)

一.  填空题（共4小题，每小题5分，计20分）

13．已知函数是幂函数，则函数恒过定点______．

14．已知，若￢q是￢p的必要不充分条件，则m的取值范围是_________．

15．观察等式：f()＋f()＝1；f()＋f()＋f()＝；f()＋f()＋f()＋f()＝2；f()＋f()＋f()＋f()＋f()＝；

…

由以上几个等式的规律可猜想

___________.

16．已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______．

三.解答题（解答应有必要的文字说明和解题步骤，共计70分）

17.(本小题10分)

设函数．

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

18.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）已知射线分别交曲线，于两点，若是线段的中点，求的值.

19.(本小题12分)

改革开放以来，我国高等教育事业有了迅速发展，尤其是城市高中的本科录取率.现得到某城市从2014-2018年的本科录取成绩，为了便于计算，将2014年编号为，2015年编号为，…，2018年编号为，如果将每年的本科录取率记作，把年份对应编号到作为自变量，记作，得到如下数据：

（1）试建立关于的回归方程；

（2）已知该城市2019年本科录取率为，2020年本科录取率为.若，则认为该回归方程精确度较高，试用2019年和2020年的数据判断能否用该方程预测2021年该城市的本科录取率，若不能，请说明理由；若能，请预测2021年该城市的本科录取率.

参考公式：，.

20.(本小题12分)

已知二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且在区间上的最大值为12．

（1）求的解析式；

（2）设函数在上的最小值为，求的解析式．

21.(本小题12分)

已知函数.

（1）当时，求证：；

（2）当时，，求实数的取值范围.

22.(本小题12分)

已知，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）是否存在实数，使在区间上的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

长春市名校2020-2021学年高二下学期期末考试

文科数学答案

1.B  2．D  3．A  4．D  5．D  6．C  7．A  8．A  9．B  10．C  11．D  12．C

13．

14．：．

15．1010

16．

17．（Ⅰ），

可转化为或或，

解得或或无解，

所以不等式的解集为．

（Ⅱ）依题意，问题等价于关于的不等式恒成立，

即，

又，当时取等号．

所以，解得或，

所以实数的取值范围是．

18．（1）因为曲线的普通方程为，

所以曲线的极坐标方程为(写成也给分).

因为曲线的普通方程为，即，

所以曲线的极坐标方程为，即.

（2）设，，则，，

因为是线段的中点，所以，

即，整理得，所以，

因为，所以，所以，所以.

19．解：（1）计算得，，，，

，又，，

，

关于的回归方程为.

（2）当时，，，

当时，，，则该回归方程可用来预测2021年该城市的本科录取率.

当时，，

预测2021年该城市的本科录取率为.

20．（1）因为二次函数的两个零点分别是0和5，图象开口向上，所以可设，

又在区间上的最大值为12，所以，．

．

（2），图象开口向上，对称轴为．

①当即时，在上是减函数，；

②当即时，；

③当时，在上是增函数，．

综上所述，.

21．（1）证明：当时，，定义域为，则，

由，得，由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以是 的极小值点，也是的最小值点，且，

所以，

（2）解：由（），得（），

当时，上述不等式恒成立，

当时，，

令 （），

则，

由（1）可知，当时，，

所以由，得，由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极小值点，也是的最小值点，且，

所以，

所以实数的取值范围为

22．（1）当时，，定义域为，

，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

综上：在单调递减，上单调递增；

（2），

假设存在实数，使有最小值3.

①当时，因为，所以，

所以在上单调递减，

，解得（舍去）；

②当时，在上单调递减，在上单调通增，

∴，解得，满足条件；

③当时，因为，所以，

∴在上单调递减，

∴.解得，舍去.

综上，存在实数，使得当时，有最小值3.