2021【KS5U解析】遵义高二下学期期末考试质量监测数学（理科）试卷含解析

这是一份2021【KS5U解析】遵义高二下学期期末考试质量监测数学（理科）试卷含解析，共16页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
贵州省遵义市2020-2021学年高二下学期期末质量监测数学（理科）试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（　　）
A. B. C. D.
2．已知，则|z|＝（　　）
A. B. 1 C. D.
3．下列求导正确的是（　　）
A. B.
C. D.
4. 某双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. 2 D.
5．直线ax+（a+1）y+a﹣1＝0过定点（　　）
A．（2，1） B．（2，﹣3） C．（﹣2，1） D．（﹣2，3）
6．对于任意正实数m，命题p：“”，命题q：“m2＞1”，则p是q的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．已a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β
B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β
C．若a⊥β，a⊥α，则α∥β
D．若α⊥β，b⊥β，则b∥α
8．函数﹣x的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
9．已知f'（x）＝2，则＝（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4
10．如图，把一个体积为64cm3、表面涂有灰漆的正方体木块锯成64个体积为1cm3的小正方体，从中任取一块，则这1块至少有一面涂漆的概率为（　　）

A. B. C. D.
11. 将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在使得，则的值是（ ）．

A．r B．r﹣1 C．r+1 D．r+2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为 　 　．
14．（1+x）5的第四项为 　 　．
15．F1，F2是双曲线的左、右焦点，过点F1的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A、B两点，若l⊥F2B，则　 　．
16．已知不等式（2ax﹣lnx﹣2）[x2﹣（a+1）x+2]≥0对x＞0恒成立，则实数a的取值范围是 　 　．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某学校在一次调查“足球迷”的活动中，随机调查男生，女生共96人，调查结果如下：

男生
女生
合计
足球迷
24
16
40
非足球迷
32
24
56
合计
56
40
96
（Ⅰ）男生、女生中“足球迷”的频率分别是多少？
（Ⅱ）是否有99%的把握认为男生女生在成为“足球迷”上存在明显差异？
附：，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
18．已知⊙O圆心在直线y＝x+2上，且过点A（1，0）、B（2，1）．
（Ⅰ）求⊙O的标准方程；
（Ⅱ）已知过点（3，1）的直线l被所截得的弦长为4，求直线l的方程．
19．一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，若答对其中1题即为合格．
（1）现有某位考生会答8题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？
（2）如果一位考生及格的概率小于50%，则他最多只会几道题？
20．如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2，DC＝1，F是BE的中点，连接AD．
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．

21．已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆C过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在不过原点O的直线l：y＝kx+m与C交于PQ两点，使得OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列．若存在，求出k、m满足条件；若不存在，请说明理由．
22．已知函数，且f'（1）＝0．
（Ⅰ）当b＝1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在函数上是否存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得函数图象上在处切线与AB所在直线平行，若存在，求出AB的坐标；若不存在，说明理由．


参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（　　）
A．﹣ B． C． D．
解：因为直线x+y﹣1＝0的斜率是﹣1，所以tanα＝﹣1，它的倾斜角为．
故选：C．
2．已知z＝，则|z|＝（　　）
A． B． C．1 D．
解：∵z＝＝，
∴．
故选：B．
3．下列求导正确的是（　　）
A． B．（xex）′＝ex+λ
C．（cosx）′＝﹣sinx D．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，（）′＝（）＝，A错误；
对于B，（xex）′＝ex+xex，B错误；
对于C，（cosx）′＝﹣sinx，C正确；
对于D，（）′＝＝，D错误；
故选：C．
4．某双曲线两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
解：由题意双曲线两条渐近线的夹角为，得＝或，
∴e2＝1+（）2＝4或e2＝，
∴e＝2或e＝．
故选：AD．
5．直线ax+（a+1）y+a﹣1＝0过定点（　　）
A．（2，1） B．（2，﹣3） C．（﹣2，1） D．（﹣2，3）
解：由ax+（a+1）y+a﹣1＝0，得a（x+y+1）+y﹣1＝0，
令，解得，
因此直线经过定点（﹣2，1），
故选：C．
6．对于任意正实数m，命题p：“＜1”，命题q：“m2＞1”，则p是q的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解：对于任意正实数m，＜1⇔m＞1⇔m2＞1，
∴p是q的充要条件，
故选：A．
7．已a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β
B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β
C．若a⊥β，a⊥α，则α∥β
D．若α⊥β，b⊥β，则b∥α
解：若a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β或α与β相交，故A错误；
若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B错误；
若a⊥β，a⊥α，由直线与平面垂直的性质可得α∥β，故C正确；
若α⊥β，b⊥β，则b∥α或b⊂α，故D错误．
故选：C．
8．函数f（x）＝﹣x的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
解：f（x）＝﹣x，其定义域为{x|x≠0}，
则f（﹣x）＝﹣（﹣x）＝﹣（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，排除CD，
又由f（2）＝﹣2＝﹣2＝＜0，排除B，
故选：A．
9．已知f'（x）＝2，则＝（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4
解：∵f'（x）＝＝2，
∴＝2＝4．
故选：D．
10．如图，把一个体积为64cm3、表面涂有灰漆的正方体木块锯成64个体积为1cm3的小正方体，从中任取一块，则这1块至少有一面涂漆的概率为（　　）

A． B． C． D．
解：小正方体中一面涂色的有4×6＝24块，
两面涂色的有2×12＝24块，
三面涂色的有8块，
∴至少有一面涂漆的小正方体有56块，
∴从中任取一块，则这1块至少有一面涂漆的概率为＝，
故选：C．
11．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是（　　）

A．r B．r﹣1 C．r+1 D．r+2
解：观察图中给出的莱布尼茨三角形，
及给定的关系式：，
我们可以知道，在上述关系式中：
第一项是第n行的第r个数，
第二项是第n行的第x个数，
第二项是第n﹣1行的第x个数，
分析第一项与第三项的关系，易得第二项是第n行的第r+1个数，
故x＝r+1，
故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．曲线y＝2x﹣在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为 　3x﹣y+2＝0　．
解：由y＝2x﹣，得y′＝2+，
∴y′|x＝﹣1＝2+1＝3，又f（﹣1）＝﹣2+1＝﹣1，
∴曲线y＝2x﹣在（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为y﹣（﹣1）＝3（x+1），
即3x﹣y+2＝0．
故答案为：3x﹣y+2＝0．
14．（1+x）5的第四项为 　10x3　．
解：（1+x）5的第四项为：T4＝•12•x3＝10x3．
故答案为：10x3．
15．F1，F2是双曲线C：＝1的左、右焦点，过点F1的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A、B两点，若l⊥F2B，则＝　　．
解：∵双曲线C：＝1，
∴c2＝a2+b2＝2+1＝3，即，
∵l⊥F2B，
∴∠F1BF2＝90°，
在Rt△F1BF2 中，运用勾股定理，可得＝12，①
由双曲线的定义，可得|F1B|﹣|F2B|＝2a＝2，②
联立①②可得，，
∴＝＝．
故答案为：．
16．已知不等式（2ax﹣lnx﹣2）[x2﹣（a+1）x+2]≥0对x＞0恒成立，则实数a的取值范围是 　　．
解：令f（x）＝2ax﹣lnx﹣2，x＞0，
g（x）＝x2﹣（a+1）x+2，
函数g（x）的对称轴为x＝﹣＝，
f′（x）＝2a﹣＝，
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（1）＝2a﹣2＜0，x∈（1，+∞），f（x）＜0，
g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）＞g（1）＝2﹣a＞0，
∴a≤0不符合题意，舍去，
②当a＞0时，f'（x）＝，
∴函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴x＝时，函数f（x）取得极小值，即最小值，f（）＝ln2a﹣1，
（i）若f（）＝ln2a﹣1＜0，则a＜，而g（）＞0，不符合题意舍去，
（ii）若f（）＝ln2a﹣1≥0，则a≥，，解得﹣2﹣1≤a≤2+1，
∴，
故答案为：．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某学校在一次调查“足球迷”的活动中，随机调查男生，女生共96人，调查结果如下：

男生
女生
合计
足球迷
24
16
40
非足球迷
32
24
56
合计
56
40
96
（Ⅰ）男生、女生中“足球迷”的频率分别是多少？
（Ⅱ）是否有99%的把握认为男生女生在成为“足球迷”上存在明显差异？
附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
解：（1）由图表可得，男生中“足球迷”的频率是，女生中“足球迷”的频率是．
（2）∵，
∴没有99%的把握认为男生女生在成为“足球迷”上存在明显差异．
18．已知⊙O圆心在直线y＝x+2上，且过点A（1，0）、B（2，1）．
（Ⅰ）求⊙O的标准方程；
（Ⅱ）已知过点（3，1）的直线l被所截得的弦长为4，求直线l的方程．
解：（Ⅰ）∵A（1，0），B（2，1），
∴AB的中点坐标为（，），又，
∴AB的垂直平分线方程为y﹣＝﹣（x﹣），即x+y﹣2＝0．
联立，解得．
∴圆C的圆心坐标为（0，2），r＝．
则圆C的标准方程为x2+（y﹣2）2＝5；
（Ⅱ）由题意可得，所求直线的斜率存在，设为k，
则直线方程为y﹣1＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+1＝0．
圆心（0，2）到直线的距离d＝＝，
则，解得k＝0或k＝﹣．
∴直线l的方程为y＝1或3x+4y﹣13＝0．
19．一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，若答对其中1题即为合格．
（1）现有某位考生会答8题中的5道题，那么，这位考生及格的概率有多大？
（2）如果一位考生及格的概率小于50%，则他最多只会几道题？
解：（1）∵一次口试，每位考生要在8道口试题中随机抽出2道题回答，答对其中1题即为合格．
某位考生会答8题中的5道题，
∴这位考生及格的对立事件是抽出的两道题都不会，
∴这位考生及格的概率p＝1﹣＝1﹣＝．
（2）一位考生及格的概率小于50%，
则他不及格的概率大于，
设他最多会n道题，n≤8，
则，
则＝＞14，即n2﹣15n+28＞0，
解得n＜或n＞（舍），
∵n∈Z*，∴n的最大值为2．
∴他最多只会2道题．
20．如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2，DC＝1，F是BE的中点，连接AD．
（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．

解：（Ⅰ）证明：如图所示，取AB中点G，连CG、FG．
∵EF＝FB，AG＝GB，
∴FG∥EA，且FG＝EA．
又DC∥EA，且DC＝AE，
∴FG∥DC且FG＝DC．
∴四边形CDFG为平行四边形，∴DF∥CG．
∵DF⊄平面ABC，CG⊂平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（Ⅱ）取AC中点O，过O作平面ABC的垂线交DE于M，
连结OB，则OM⊥OB，OM⊥OC，
∵△ABC是正三角形，O是AC中点，∴OB⊥OC，
以O为原点，OB、OC、OM所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
∵F是BE中点，AE＝AB＝2，CD＝1，
∴A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（0，1，1），
E（0，﹣1，2），F（，﹣，1），，，＝（，，1）．
设平面ADF的法向量为＝（x，y，z），
则，可得＝（ ，1，﹣2）．
同理可得平面ADB的法向量为＝（1，﹣，2）．
cos＝﹣
所以二面角B﹣AD﹣F的余弦值为．

21．已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆C过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在不过原点O的直线l：y＝kx+m与C交于PQ两点，使得OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列．若存在，求出k、m满足条件；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+＝1，
因为离心率为的椭圆C过点，
所以，解得a2＝4，b2＝1，
所以椭圆的方程为+y2＝1．
（Ⅱ）联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0（m≠0），
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
所以y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+mk（x1+x2）+m2，
因为OP，PQ，OQ的斜率成等比数列，
所以kOPkOQ＝kPQ2，所以•＝k2，
所以k2++＝k2，
所以+＝0，所以k＝±，
因为△＝（8km）2﹣4（4k2+1）×4（m2﹣1）＞0，
所以4k2﹣m2+1＝2﹣m2＞0，所以﹣＜m＜，
因为x1x2≠0，所以m2﹣1≠0，解得m≠±1，
综上所述，k＝±，﹣＜m＜且m≠±1．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣，且f'（1）＝0．
（Ⅰ）当b＝1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在函数上是否存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得函数图象上在x＝处切线与AB所在直线平行，若存在，求出AB的坐标；若不存在，说明理由．
解：（Ⅰ）当b＝1时，f（x）＝lnx﹣ax²+x，定义域为（0，+∞），
f′（x）＝﹣ax+1，
又f′（1）＝0，∴1﹣a+1＝0，∴a＝2，
∴f′（x）＝﹣2x+1＝＝﹣，
又x＞0，∴f′（x）＜0有0＜x＜1，f′（x）＞0有x＞1，
∴f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）f（x）＝lnx﹣ax²+bx，定义域为（0，+∞），
f′（x）＝﹣ax+b，又f′（1）＝0，∴1﹣a+b＝0，∴b＝a﹣1，
∴f（x）＝lnx﹣ax²+（a﹣1）x，
f′（x）＝﹣ax+a﹣1，
假设存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设0＜x1＜x2，
则y1＝lnx1﹣ax1²+（a﹣1）x1，y2＝lnx2﹣ax2²+（a﹣1）x2，
∴kAB＝
＝
＝﹣a（x2+x1）+（a﹣1），
又kAB＝f′（）＝﹣a+a﹣1，
由﹣a（x2+x1）+（a﹣1）＝﹣a+a﹣1，
化简可得＝，
即有ln＝＝，
令t＝＞1，则上式可化为lnt＝＝2﹣，
即lnt+＝2，令g（t）＝lnt+（t＞1），则g′（t）＝＞0，
则函数g（t）在（1，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）＝2，
∴在（1，+∞）上不存在t，使得g（t）＝lnt+＝2．
综上所述，在函数f（x）的图象上不存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得在x＝处切线与AB所在直线平行．