2021北京延庆区高二下学期期末考试数学试题含答案

www.ks5u.com延庆区2020—2021学年第二学期期末试卷

                       高二数学            2021.7

本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要 求的， 把答案填在答题卡上.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡上.

11．曲线在处切线的斜率为_________．

12．若的展开式中的常数项为，则常数的值为_________．

13．若函数在区间上恰有一个极值点，则的取值范围是________．

14．已知,设，则_________．

15．已知函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是_______． 

三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分14分）

已知等差数列的前项和为,, 从条件①、条件②和条件③中选择两个

作为已知，并完成解答：

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列满足，，求数列的前项和.

条件①： ；    条件②：；    条件③：.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，.

（Ⅰ）求证: 平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

18.（本小题满分14分）

    2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米. 下表为2007年—2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据. 单位：平方米.

（Ⅰ）现从上述表格中随机抽取连续两年数据，求这两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2 平方米的概率；

（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年数，求的分布列和数学期望．

19.（本小题满分14分）

已知函数.（）

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，证明：当时，恒成立．

20. （本小题满分14分）

已知椭圆：经过点为，且．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点．已知点，且，求此时的值．

21. （本小题满分15分）

已知数列：，，，（）满足：

①；②（，，，）. 记.

（Ⅰ）直接写出的所有可能值；

（Ⅱ）证明：的充要条件是；

（Ⅲ）若，求的所有可能值的和．

延庆区2020—2021学年第二学期期末试卷   

         高二数学答案及评分标准       2021.6

一、选择题： 本大题共10小题，共40分.

         D C B B B       D A C D A   

二、填空题：本大题共5小题，共25分.

 11. ；      12. ；   13.    14 .     15.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分14分）                             

(Ⅰ)解： 选 ①② 由已知  , 

所以数列 ………3分

选②③ 由已知  , 

所以数列 ………3分

选①③由已知  , 

所以数列 ………3分

所以数列是首项为，公差为 的等差数列 ………4分

所以数列的通项公式为：  …………6分

（Ⅱ）设等比数列满足，，

所以数列 ………8分

所以数列是首项为，公比为 的等比数列 ………9分

所以数列的通项公式为：  …………10分

因为数列的前项和

       …………12分

                    …………13分

                          …………14分

17.（本小题满分14分）

（I）因为，所以   

所以.所以.   …………2分

因为,所以.           …………3分

因为平面.                                 

因为平面，            …………4分

所以平面              …………5分

（Ⅱ）过作的垂线交于点.

因为平面，

所以.                        

如图建立空间直角坐标系.                       

则.

因为为中点，    …………6分

所以.                                     

所以.    …………10分  

设平面的法向量为，则

即                           …………11分

令则.    于是.          …………12分

设直线与平面所成的角为，

所以.   …………13分

所以直线与平面所成角的正弦值为.          …………14分

18. （本小题满分14分）

（Ⅰ）随机抽取连续两年数据：共9次。…………………1分

  两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米：共5次。…………………2分

设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件，

因此               …………………5分

（Ⅱ） 所有可能的取值为：0，1，2，3     …………………6分

        …………………10分

随机变量的分布列为

                                                …………………12分

           …………………14分

（Ⅲ）      (删除此问）  …………………14分.

19.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ），                      ……1分

当时，令，解得.            ……2分

当变化时，的变化情况如下表：            ……4分

所以时，在上单调递减，                 ……5分

在上单调递增.                  ……6分

（Ⅱ）证明：令

则.                                  ……7分

令，则，                   ……8分

当时，，单调递减，

当时，，单调递增；                    ……10分

所以，即恒成立.    ……12分

所以在上单调递增，所以，……13分

所以，即当时，恒成立．  ……14分

20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）由已知得，，   ……2分

椭圆的方程为     ……4分

（Ⅱ）：设,设直线方程为

代入得，

化简得    ……6分

由，

得，，   ……7分

                   ……8分

设，则，，

则                     ……9分

设，则，则  ……10分

所以在轴存在使．

   ……11分 ,       ……12分

          ……13分

   ，所以在    ……14分

21:（本小题满分15分）

解：（Ⅰ）的所有可能值是，，，，，，，. … 4分

（Ⅱ）充分性：若，即. 

所以满足，且前项和最小的数列是，，，…，，. 

所以.              

所以.    ………… 6分

必要性：若，即. 

假设，即. 

所以，

与已知矛盾.  所以.        ………… 8分

综上所述，的充要条件是. 

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，可得.   所以. 

因为数列，，，（）中有，两种，有，两种，有，两种，…，有，两种，有一种，

所以数列，，，（）有个，且在这个数列中，每一个数列都可以找到前项与之对应项是相反数的数列. 

所以这样的两数列的前项和是. 

所以这个数列的前项和是.

所以的所有可能值的和是.                     …………………… 15分