2021巴彦淖尔杭锦后旗重点高中高二上学期期中考试数学（理）试题含答案

数学（理科）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．函数的导数是（    ）

A．   B．    C．     D．

2．的展开式中,含x2的项的系数为(      )

A．4      B．6      C．10      D．12

3．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽              取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是(　　)

A．0.72      B．0.8      C．       D．0.9

4．在一线性回归模型中，计算其相关指数R2＝0.96，下面哪种说法不够妥当(　　)

A．该线性回归方程的拟合效果较好

B．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%

C．随机误差对预报变量的影响约占4%

D．有96%的样本点在回归直线上，但是没有100%的把握

5．若函数在R上为减函数，则实数ａ的取值范围是（  　）

A．       B．       C．        D．

6．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则 导函数 

的图象可能是（   ）

A．   B． 

C．  D．

7．若函数在区间内有最小值，则的取值范围是（    ）

A．    B．    C．    D．

8.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（    ）

A.  0.8        B.  0.75        C.  0.6        D. 0.45

9．某校需要从5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动,由于工作需要,男生甲与男生乙至少有一个参加活动,女生丙必须参加活动,则不同的选人方式有(　　)

A．56种       B．49种       C．42种       D．14种

10．6个停车位置,有3辆汽车需要停放,若要使3个空位连在一起,则停放的方法种数为(　　)

A．         B．        C．       D．

11．设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（   ）

A．       B．

C．       D．

12．做一个圆柱形锅炉，容积为，两个底面的材料每单位面积的价格为元，侧面的材料每单位面积的价格为元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为(　　)

A．       B．       C．       D．

二．填空题（每空5分，共20分）

13．已知曲线方程为，则曲线在处的切线方程为____.

14．设随机变量ξ服从正态分布N(75,σ2),若P(60<ξ<90)=0.75,则P(90<ξ<150)

等于_____.

15.一道数学竞赛试题,甲解出它的概率为,乙解出它的概率为,丙解出它的概率为,由甲、乙、丙三人独立解答此题,只有1人解出的概率为_____.

16．设(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50=a0+a1·x+a2·x2+…+a50·x50,则a3等于_____.（用二项式系数作答）

三、解答题

17．（10分）假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的年平均维修费用(万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料：

（1）画出散点图；

（2）求关于的线性回归方程；

（3）估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?

参考公式： 

18．（12分）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，求函数的值域.

19．（12分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率分布直方图．

表1：甲套设备的样本频数分布表

（1）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？

（2）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：

（2）根据表和图，对甲、乙两套设备的优劣进行比较．

参考公式及数据：x2=

20．（12分）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成,2题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.

(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算均值;

(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.

21.（12分）装有白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.

（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；

（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望.

22．（12分）已知函数，．

（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；

（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.

答案

1-5  CCADA   6—10ABABD  11-12 BA

13       14.0.125   15.   16 .

17

(1）画出散点图如图所示：

（2）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，两变量呈线性相关关系.

由题表数据可得，

由公式可得，

即回归方程是.

（3）由（3）知，当时，.

故估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是12.38万元.

18．(1) 函数的单调递增区间为和，单调递减区间为（-1，2）.

 (2) .

19（1）由图知，乙套设备生产的不合格品率约为（0.01+0.022）×5=0.16；

∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为5000×0.16=800（件）；

（2）由表1和图得到列联表：

将列联表中的数据代入公式计算得K2==4＞3.841；

∴有95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；

（3）由表1和图知，甲套设备生产的合格品的概率约为=0.96，

乙套设备生产的合格品的概率约为1-0.16=0.84，

且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105，115）之间，

乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；

因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，

所以甲套设备优于乙套设备．

20.(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ,η,得出随机变量ξ,η的分布列，利用即可求解数学期望；

 (2)由（1）分别求得P(ξ≥2)和P(η≥2的概率，比较即可得到结论.

【详解】

(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ,η,

则ξ取值分别为1,2,3;η取值分别为0,1,2,3.

P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

Eξ=1+2+3=2.∵P(η=0)=,

同理P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=,

∴考生乙正确完成题数的概率分布列为

Eη=0+1+2+3=2.

(2)∵P(ξ≥2)==0.8,P(η≥2)=0.74,∴P(ξ≥2)>P(η≥2).

从做对题数的均值考察,两人水平相当;从至少完成2题的概率考察,甲获得通过的可能性大.

因此可以判断甲的实验操作能力较强.

21 解：（Ⅰ）记事件=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，

=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝

=｛顾客抽奖1次获一等奖｝

=｛顾客抽奖1次获二等奖｝，

C=｛顾客抽奖1次能获奖｝.

由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且=，=+，C=+.
因P（）==，P()==，所以P（）=P()=P()P()==，

P（）=P（+）=P（）+P（）=P（）(1- P())+(1- P（）)P()

=(1-)+(1-)=，故所求概率为P(C)= P(+)=P（）+ P（）=+=.

（Ⅱ）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，

所以X~B（3，）.

于是

P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，

P(X=3)==

故X的分布列为

X的数学期望为 E（X）=3=.

22．（1）不存在极值（2）

【解析】（1）不存在极值，理由如下：当时，，其定义域为，因为，所以在上单调递增，所以函数不存在极值.

（2）至少存在一个，使得成立，等价于，即成立，令，等价于当时，.

因为，，所以，所以在上单调递增，故，因此.

考点：利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值.