2021宜春丰城九中高二下学期6月月考数学（文）试题含答案

数学（文）试卷

一、单选题（每小题5分，共12小题，共60分）

1．设全集，，集合，则集合（    ）

A． B． C．  D．

2．复数(i是虚数单位)的共轭复数表示的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限  D．第四象限

3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．    B．       C．   D．

4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题中错误的是（    ）

A．若，则； 

B．若，则；

C．若，，则； 

D．若，则.

5．函数的大致图象为

A．　B． 　 C． 　 D．

6．已知一个圆柱的底面半径和高分别为和，，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是

A．     　　B．     C．       D．

7．下列说法中错误的个数是（    ）

①命题“有”的否定是“有”；

②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；

③若，则；

④“”是“”成立的充分条件．

A．1 B．2 

C．3 D．4

8．已知某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各条棱中长度的

最大值为（    ）

A．5    B． 

C．   D．

 9.奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

10．如图，已知正三棱柱的各条棱都相等，M是侧棱

的中点，则异面直线和所成角的大小是 (    )

A．      

B．      

C．      

D．

11．设函数，则满足的m的取值范围是（    ）

A． B． C．      D．

12．已知函数若函数有三个零点，则实数b的取值范围为（    ）

A．    B．       C．      D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数  

________.

14．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，

该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后

剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，

则该球的半径是________.

15. 已知定义在上的函数，若对任意两个不相等的实数，，都有

，则称函数为“函数”.给出以下四个函数：

①；②；③；④其中“函数”的序号为_______.

16.已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则M+m=_________.

三、解答题（共5小题，每小题12分，共60分）

17．(12分)设实数满足，实数满足.

(1)当时，若为真，求实数的取值范围；

(2)当时，若是的必要条件，求实数的取值范围.

18．(12分)函数的图象经过点和．

（1）求函数的解析式；

（2）函数，求函数的最小值．

19．(12分)图1，平行四边形中， ， ，现将沿折起，得到三棱锥（如图2），且，点为侧棱的中点.

（1）求证： 平面；

（2）F为的角平分线上一点，若平面，求三棱锥F-ACE的体积.

20．(12分)已知函数函数有相同极值点．

（1）求函数的最大值及实数的值；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．

21．(12分)已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.

（1）若当点的横坐标为，且为等边三角形，求抛物线的方程；

（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为E(异于点A)，AE交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.

四、选考题（共10分）

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. .

（1）求圆的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程为，其中满足，曲线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.

答案

一、单选题

1．设全集，，集合，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由，得，，

由，得，故.故选：B.

2．复数(i是虚数单位)的共轭复数表示的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】由于，所以，

所以，对应的点为在第四象限.故选：D

3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因为在上单调递减，所以，所以，

又因为且在上单调递增，所以，所以，

又因为在上单调递减，所以，所以，

综上可知：，故选：B.

4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题中错误的是（    ）

A．若，则； B．若，则；

C．若，，则； D．若，则.

【答案】B

【详解】对于A,假设n⊂β,α∩β=l,因为n∥α,所以n∥l，又m⊥α，

所以m⊥l,而n∥l，所以m⊥n，正确；

对于B,若m∥n,n∥α,则m∥α或m⊂α，故错误；

对于C,若m∥n,n⊥β,则m⊥β,又m∥α,所以在平面α内一定存在一条直线l,使m∥l，

而m⊥β，所以l⊥β，l⊂α，则α⊥β，正确；

对于D，由面面平行的判定定理，可以判断出是正确的．故选B.

5．函数的大致图象为

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

函数的定义域为，

∵，

∴函数为偶函数，排除A,D．

又，排除B．选C．

6．已知一个圆柱的底面半径和高分别为和，，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

由题意可知，则该圆柱的表面积与侧面积的比是，选A.

7．下列说法中错误的个数是（    ）

①命题“有”的否定是“有”；

②若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题也一定为真命题；

③若，则

④“”是“”成立的充分条件．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】：命题“有”的否定是“有”； ①错；若一个命题的逆命题为真命题，则它的否命题与逆命题互为逆否，所以也一定为真命题；②对；因为，，③错；“”是“”成立的必要条件，④错，因此选C.

8．已知某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各条棱中长度的最大值为（    ）

A．5 B． C． D．

【答案】D

解：由题意可知，该多面体为四棱锥如图，

由图可知，最长棱为，

故选：D．

9．奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】由奇函数可知，即与同号，

而（1），则（1），不合题意，

又在上为增函数，则奇函数在上也为增函数，

当时，（1），得，不满足；

当时，（1），得，满足，

当时，，得，不满足；

当时，，得，满足；

所以的取值范围是．

故选：．

10．如图，已知正三棱柱的各条棱都相等，M是侧棱的中点，则异面直线和所成角的大小是 (    )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】：设BC的中点为O，连接AO，．因三棱柱是底面为正三角形的直棱柱，所以AO平面，AOBM．又因点M为的中点，在正方形中可得，BM，所以BM平面．又因，所以BM．故异面直线和所成角的大小是 ．选A．

11．设函数，则满足的m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】令，即有，

当时，，即为，

设，令，可得，舍去.

当时，，

若，且，解得；

若，且，解得，可得．综上可得，的范围是.

故选：．

12．已知函数若函数有三个零点，则实数b的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

函数，

若函数有三个零点，

就是与的图象有三个交点，

，画出两个函数的图象如图,

当时，,函数在上递减，上递增，

在当且仅当时取等号；

当时，,

函数在递增，在递减，当时取得最大值；

函数在递增，

由图可知，要使与的图象有三个交点，

可得满足条件，或 ,

即，；

综上，，故答案为.

15．函数是幂函数，且在上是减函数，则实数________

【答案】2

【详解】由于为幂函数且在区间上为减函数，故，解得.

14．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是____.

【答案】4

解：设截面圆半径为，球的半径为，

则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即，

根据截面圆的周长可得，得，

故由题意知，即，所以，

15.已知定义在上的函数，若对任意两个不相等的实数，，都有

，则称函数为“函数”.给出以下四个函数：①；②；③；④其中“函数”的序号为_______.

【答案】②③

【详解】 定义在上的函数，若对任意两个不相等的实数，

都有，则称函数为“函数”

即

可得，即，

所以函数为定义域上的单调递减函数，

①为单调递增函数；②是单调减函数；

③是单调减函数；④是偶函数，不是减函数，

所以四个函数中只有②③为“函数”.

16已知函数在区间上的最大值为M，最小值为m，

则M+m=_________.

【答案】4

【详解】函数，

可设，，

，

则为奇函数，可得在的最大值和最小值之和为0，

即有的最值之和为．

二、解答题

17．设实数满足，实数满足.

(1)当时，若为真，求实数的取值范围；

(2)当时，若是的必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）或 （2）.

【详解】

(1)时，, 得，

,

∵为真，∴真或真，

∴或.

则实数的取值范围为,

(2)时，

∵是的必要条件，则

则满足

∴实数的取值范围为.

18．函数的图象经过点和．

（1）求函数的解析式；

（2）函数，求函数的最小值．

【答案】（1）；（2）

解：（1）由题意得，解得．

所以．

(2)设，则，即，

所以当，即时，．

19．图1，平行四边形中， ， ，现将沿折起，得到三棱锥（如图2），且，点为侧棱的中点.

（1）求证： 平面；

（2）F为的角平分线上一点，若平面，求三棱锥F-ACE的体积

【答案】（1）见解析；（2）

解：（Ⅰ）证明：在平行四边形中，有，又因为为侧棱的中点，

所以；

又因为， ，且，所以平面.

又因为平面，所以；因为，所以平面，

又因为平面，所以平面平面．

（Ⅱ）取中点，连接并延长至点，使，连接， ， .

因为，所以射线是角的角分线.

又因为点是的中点，所以∥，

因为平面， 平面，所以∥平面.

因为、互相平分，故四边形为平行四边形，有FB∥AC.，

由（1）知平面，所以是三棱锥B-ACE的高，故，

 又因为， , ，所以，

所以有 ..

20．已知函数函数有相同极值点．

（1）求函数的最大值及实数的值；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；；（2）.

解：（1），

由得；由得．

在上为增函数，在上为减函数．

函数的最大值为．

因为，所以．

由（1）知，是函数的极值点．又因为函数与有相同极值点，是函数的极值点．，解得．

经检验，当时，函数取到极小值，符合题意.

（2）因为，，，，即，，，，由（2）知，．

在上，；当时，．

在上为减函数，在上为增函数．

，，，而，

．

，，，

①当，即时，对于，不等式恒成立，即，，，由得．

②当时，即，对于，不等式恒成立，即，，．

综上所述，所求的实数的取值范围为．

21．已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点.

（1）若当点的横坐标为，且为等边三角形，求抛物线的方程；

（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为E(异于点A)，AE交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.

【答案】（1）（2）

 解：(1) 由题知，则的中点坐标为，则，

解得，故的方程为.

(2) 依题可设直线的方程为，则，由消去，得，，设的坐标为，则，由题知，所以，即，显然，所以，即，由题知为等腰直角三角形，所以，即，也即，所以，即，又因为，所以，令，易知在上是减函数，所以.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. .

（1）求圆的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程为，其中满足，曲线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.

【答案】（1）（2）

解：（1）圆的普通方程为，又，，所以圆的极坐标方程为；

（2）设为点的极坐标，则有解得

设为点的极坐标，解得

由于，所以，所以线段的长为.

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）若不等式的解集为，求实数的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

解：（1），，即得，得.

（2）∵，∴ .

∵，且存在实数使，

∴.