2021河南省名校联盟高二下学期期末考试数学（文科）试题含答案

绝密★启用前

姓名：_________

考生号：________

河南名校联盟

2020-2021学年高二（下）期末考试

数学（文科）

考生注意：

1．本试卷共8页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、考生号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．       B．       C．       D．

2．六一儿童节，某幼儿园的每名小朋友制作了一件礼物．该幼儿园将小朋友们进行分组，每4位小朋友为一组，小组内小朋友随机拿一件本组小朋友制作的礼物，则小朋友A没有拿到自己制作的礼物的概率为（    ）

A．       B．       C．       D．

3．已知i为虚数单位，则（    ）

A．1       B．       C．2       D．

4．已知为等差数列的前n项和，若，则公差（    ）

A．1       B．2       C．3       D．4

5．已知方程，命题甲：是该方程的解；命题乙：是该方程的解，则命题甲是命题乙的（    ）

A．充分条件       B．必要条件       C．充要条件       D．既不充分也不必要条件

6．执行如图所示的程序框图，则输出的S为（    ）

A．1       B．2       C．3       D．4

7．已知抛物线的焦点为，直线与该抛物线相交于A，B两点，则线段的最小值为（    ）

A．1       B．2       C．3       D．4

8．已知向量，为单位向量，且满足，若向量，则（    ）

A．       B．       C．       D．3

9．已知一个几何体的三视图如图所示，其外接球的表面积为，则这个几何体的体积为（    ）

A．20       B．16       C．20或12       D．16或20

10．已知函数，函数与函数的图象关于点中心对称，则（    ）

A．函数的最小正周期为       B．函数的最大值为2

C．函数的图象关于直线对称       D．函数的图象关手点中心对称

11．如图，在正三棱锥中，下列表述不正确的是（    ）

A．

B．当时，正三棱锥的外接球的表面积为

C．当时，二面角的大小为

D．若，点M，N分别为上一点，则周长的最小值为3

12．已知，则（    ）

A．       B．       C．       D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知棱台，，正方形的边长为2，正方形的边长为4，平面平面，且平面，则棱台的体积为________．

14．已知函数满足，请写出一个符合条件的函数________．

15．已知点满足不等式组，则的最大值为_________．

16．已知点P在双曲线上，若P，Q两点关于原点O对称，直线与圆相切于点M且，其中为双曲线C的左、右焦点，则的面积为__________．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和满足，数列满足．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分）

某公司为奖励员工实施了两种奖励方案，方案一：每卖出一件产品奖励4.5元；方案二：卖出30件以内（含30件）的部分每卖出一件产品奖励4元，超出30件的部分每卖出一件产品奖励7元．

（Ⅰ）记利用方案二员工甲获得的日奖励为Y（单位：元），日卖出产品数为．求日奖励Y关于日卖出产品数n的函数解析式；

（Ⅱ）员工甲在前10天内卖出的产品数依次为22，23，23，23，25，25，25，29，32，32，若将频率视为概率，如果仅从日平均奖励的角度考虑，请利用所学的统计学知识为员工甲选择奖励方案，并说明理由．

19．（本小题满分12分）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图所示，三棱柱可分解成一个阳马和一个鳖臑，其中侧面是边长为3的正方形，，M为线段上一点．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）若，求多面体的体积．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C的右焦点为，点A为椭圆C的上顶点，过点F与x轴垂直的直线与椭圆C相交于P，Q两点，且．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线l的倾斜角为，且与椭圆C交于M，N两点，问是否存在这样的直线l使得？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

设函数．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）函数，若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）

在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；

（Ⅱ）若，直线l与曲线C相交于不同的两点M，N，求的值．

23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知函数的最小值为m．

（1）求m的值；

（Ⅱ）若，证明：．

河南名校联盟

2020-2021学年高二（下）期末考试

数学（文科）答案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．【答案】D

【解析】根据题意，得，则，故选D．

2．【答案】D

【解析】根据题意，由树状图列举可知，每个小朋友随机拿一件礼物共有24种结果，其中小朋友A没有拿到自己的礼物占18种，所以概率为．故选D．

3．【答案】B

【解析】，故选B．

4．【答案】B

【解析】依题意，，所以，即，所以，即，故选B．

5．【答案】C

【解析】方程，即，解得或，令可得，同时时，；令可得，同时时，，故选C．

6．【答案】C

【解析】由程序框图可知，一共进行4次循环，循环结来时，所以最后输出的值，故选C．

7．【答案】D

【解析】由，可得，则，即，易知直线过该抛物线的焦点，因为过焦点的弦中通径最短，所以线段的最小值为，故选D．

8．【答案】B

【解析】根据题意知，所以，建立平面直角坐标系，设，则，所以，所以，故选B．

9．【答案】D

【解析】根据题意，外接球的直径为，该几何体可看作长方体截得的一部分，如下图两种图形，该几何体外接球的直径为长方体的体对角线长，设长方体底面的宽为x，则，∴，故该几何体的体积为或，故选D．

10．【答案】D

【解析】依题意，，函数，因此点是函数的图象的一个对称中心，故选D．

11．【答案】C

【解析】易证正三棱锥的对棱垂直，所以，故A正确；当时，正三棱锥为正四面体，可放到边长为2的正方体内，所以正三棱锥的外接球的半径为，外接球的表面积为，故B正确；当时，取的中点为M，连接，则即为所求角，令，则，所以，，故C不正确；将侧面沿展开（如图），则周长的最小值为3，故D正确．故选C．

12．【答案】B

【解析】由，得，由，得，由，得，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，且，当时，，画出的大致图象如下图所示，分析可得，故选B．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．【答案】28

【解析】由棱台的体积公式可得，所以棱台的体积为28．

14．【答案】（答案不唯一）

【解析】由及可得，，所以函数的周期为4，且为偶函数，故可写成（不唯一）．

15．【答案】6

【解析】不等式组表示的可行域如图所示，由图可知：当经过点时，z取得最大值，即．

16．【答案】12

【解析】因为P，Q两点关于原点O对称，所以的面积等于的面积，根据可得点M为的中点，又，所以，所以的面积为．

三、解答题：共70分，解答应写岀文字说眀、证眀过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．【解析】（Ⅰ）∵，∴当时，，当时，，符合上式．                     （3分）

∴，∴，∴，∴数列为等比数列，即，∴．                     （6分）

（Ⅱ）∵，∴．       （12分）（本题为分组求和法求和：每一组求和正确，得3分）

18．【解析】（Ⅰ）当时，．

当时，．

综上可知：

（Ⅱ）根据数据，可估算员工甲日平均卖出的产品件数为．              （7分）

员工甲根据方案一的日平均奖励为（元），       （8分）

员工甲根据方案二的日平均奖励为，       （10分）

因为，所以建议员工甲选择方案一．              （12分）

19．【解析】（Ⅰ）由鳖臑的概念，可知平面，平面，

∴，              （2分）

又∵四边形是正方形，

∴，

∵，

∴平面，              （4分）

∵平面，

∴平面平面．       （6分）

（Ⅱ）由已知可得点M为线段的三等分点，

．       （12分）（部分得分：底面积算对得2分，高算对得2分）

20．【解析】（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，

根据题意可得，解得，              （2分）

所以椭圆C的标准方程为．              （4分）

（Ⅱ）由题及（Ⅰ）知，，

假设存在直线l满足题意，并设直线l的方程为，，．

由，得，              （6分）

由，得．       （8分）

由题意易知点F为的重心，所以，即，

解得，              （10分）

当时，不满足，

所以不存在直线l，使得．              （12分）

21．【解析】（Ⅰ），              （2分）

令，得，令，得或，所以在和上单调递减，在上单调递增；故函数的极小值为，当时，分析可得，所以函数的最小值为．              （4分）

（Ⅱ）令，当时，只有一个零点，由题意知，              （6分）

因为，所以，所以当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数．故当时，存在极小值；

又因为，

所以在区间内各有一个零点；

当时，由，得．当，即时，随着x的变化，与的变化情况如下表：

所以函数在上单调递增，在上单调递减．又因为，，，使得，       （10分）

所以函数在区间只有一个零点；当，即时，因为（当且仅当时等号成立），所以在R上单调递增，此时，函数至多一个零点；

当，即时，随着x的变化，与的变化情况如下表：

所以函数在上单调递增，在上单调递减．又因为，所以当时，，此时，函数在区间无零点，在区间上至多一个零点；

又∵，

∴当时，．

∵，

∴当时，零点的个数与的零点个数相同．

当时，只有一个零点；

综上可知，若有两个不同的零点，．              （12分）

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分．

22．【解析】（Ⅰ）依题意，曲线，故，       （1分）

即曲线C的极坐标方程为；              （3分）

由消去参数t可得直线l的普通方程为．              （5分）

（Ⅱ）先将直线l的方程写成标准的参数方程为代入中，       （7分）

化简可得，设M，N所对应的参数分别为，

则，              （8分）

故．       （10分）

23．【解析】（Ⅰ）方法一：当时，；       （2分）

当时，；              （3分）

当时，，所以．       （5分）

方法二：，当且仅当时，，所以．              （5分）

（Ⅱ）由，得，即，当且仅当时取等号，所以．              （7分）

因为，              （8分）

且仅当时取等号，所以．              （10分）