2021平顶山高二下学期期末数学理科试题含答案

河南省平顶山市2020-2021学年高二下学期期末调研考试

理科数学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

2．有下列四个命题：

①若，则；

②若，，则；

③若，则．

④若，则．

其中真命题的个数是（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

3．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

4．与双曲线共焦点，且离心率为的椭圆的标准方程为（    ）

A．  B．  C．  D．

5．已知等比数列是递增数列，若，且，，成等差数列，则的前4项和（    ）

A．4    B．40    C．4或40   D．15

6．已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，若直线的斜率为1，则弦的长为（    ）

A．4    B．6    C．7    D．8

7．盒中有10只螺丝钉，其中有2只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么恰好有2只是坏的的概率为（    ）

A．   B．    C．    D．

8．设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为（    ）

A．4    B．3    C．    D．

9．的展开式中各项的二项式系数的和为256，则展开式中的系数为（    ）

A．   B．504    C．   D．70

10．设每天去某网红景点旅游的人数（单位：万人）为随机变量，且，则一天中去该网红景占旅游的游客不少于1.5万人的概率为（    ）

参考数据：若，则，，．

A．0.97725   B．0.84135   C．0.6827   D．0.15865

11．观察下列数表，数表中的每一行从左到右，每一列从上到下均为等差数列．

1  2  3  4 …第一行

2  3  4  5 …第二行

3  4  5  6 …第三行

4  5  6  7 …第四行

…  …  …  …

第一列 第二列 第三列 第四列

若第行与第列的交叉点上的数记为，则（    ）

A．210    B．399    C．400    D．420

12．已知定义在上的函数的导函数为，且，则的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．为了解患某疾病是否与性别有关，随机地调查了50人，得到如下的列联表：

则______（填“有”或“没有”）99.9%的把握认为患该疾病与性别有关．

参考公式：，其中．

参考数据：

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

已知正项数列的前项和为，，且．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）记，求的前项和．

18．（12分）

如图，在三棱柱中，，，，．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

19．（12分）

某个知名品牌在某大型超市举行新品上市的抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得300元优惠券；方案乙的中奖率为，中奖可以获得350元优惠券；未中奖则没有优惠券．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响．

（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们获得的优惠券总金额为元，求的概率；

（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红获得优惠券的总金额的分布列，并判断他们选择何种方案抽奖，两人获得的优惠券总金额的数学期望较大．

20．（12分）

已知椭圆：经过点，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程．

（Ⅱ）设为原点，直线：与椭圆交于两个不同点，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问：是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．

21．（12分）

已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数在上是增函数，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（Ⅱ）若与相交于，两点，求的面积．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数．

（Ⅰ）若，求不等式的解集；

（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

2020—2021学年第二学期高二期末调研考试

理科数学•答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

1．答案A

命题意图  本题考查复数的运算以及复数的几何意义．

解析  ，故复数在复平面内对应的点位于第一象限．

2．答案C

命题意图  本题考查不等式的性质．

解析  ①中，若，则，则，所以，①正确；②中，当，时，不成立，②错；③正确；④中，由，可得，④正确．故选C．

3．答案A

命题意图  本题考查充分必要条件的判断和分式不等式的解法．

解析  不等式可化为解得，因为，但

，所以“”是“”的充分不必要条件．

4．答案C

命题意图  本题考查椭圆的标准方程和简单的几何性质．

解析  设椭圆的半焦距为．由题知，椭圆的焦点坐标为，，所以，再由，可得，所以，则椭圆的标准方程为．

5．答案B

命题意图  本题考査等差中项、等比数列的通项与求和．

解析  设的公比为，由于，，成等差数列，所以．因为，所以，即，解得（舍去），或，所以．

6．答案D

命题意图  本题考查抛物线的标准方程、抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系．

解析  依题意得，抛物线的方程是，直线的方程是．联立消去，得，即．设，，则，所以．

7．答案C

命题意图  本题考查超几何分布．

解析  设表示取出的螺丝钉恰有只是坏的，则．

∴．

8．答案D

命题意图  本题考查线性规划．

解析  由题意知，约束条件所表示的平面区域的顶点分别为，，．目标函数可化为，当过点时，直线的纵截距最大，此时最小，将代入目标函数可得，故的最小值为．

9．答案A

命题意图  本题考查二项式定理．

解析  由题可知，解得．的展开式的通项为

．再令，解得．所以展开式中的系数为．

10．答案B

命题意图  本题考查正态分布及其简单应用．

解析  ∵，∴，∴，∴．

11．答案C

命题意图  本题考查归纳推理和等差数列的求和．

解析  根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，由此可以推导出第行与第列交叉点上的数应该是，所以

．

12．答案B

命题意图  本题考查导数在研究函数中的应用．

解析  由，可知．设，则

，所以，．又由，可得，所以．所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的最小值为．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．答案 没有

解析  由公式得，故没有99.9%的把握认为患该疾病与性别有关．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．命题意图  本题考查等差数列的通项和数列的求和．

解析（Ⅰ）由，可得数列是以为首项、1为公差的等差数列，

所以，得．

当时，，

当时也符合上式，

故的通项公式为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

所以，

则，

，

两式相减得

，

所以．

18．命题意图  本题考查垂直关系的证明和二面角的求解．

解析（Ⅰ）因为在三棱柱中，，

所以，．

又，

所以平面．

又因为平面，所以平面平面．

（Ⅱ）如图，作，垂足为．

因为平面，平面平面，

所以平面．

由，，可求得，．

以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，．

设平面的法向量为，

则，即令，可得，，

所以可取．

又平面的法向量可取，

所以，

因此二面角的余弦值为．

19．命题意图  本题考查随机变量的分布列与数学期望．

解析（Ⅰ）由已知得，小明中奖的概率为|，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．

记“”的事件为，则事件的对立事件为，即“”，

因为，

所以，

即的概率为．

（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的优惠券总金额为元，都选择方案乙所获得的优惠券总金额为元，则的可能取值为0，300，600，的可能取值为0，350，700．

，

，

，

，

，

，

所以，的分布列如下：

所以，

．

因为，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，所获得的优惠券总金额的数学期望较大．

20．命题意图  本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系．

解析（Ⅰ）由题意，得，

再由连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为可得，

所以．

所以椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设，，

则直线的方程为．

令，得点的横坐标．

又，从而，同理，．

由得，则，．

所以，

即为定值2．

21．命题意图  本题考査导数在研究函数中的应用．

解析（Ⅰ）由题可知的定义域为，

．

令，得．

∴当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

（Ⅱ）由题可知，

则．

∵在上是增函数，

∴在上恒成立．

∴对任意，不等式恒成立，等价于恒成立．

令，则，．

令，则，

∵，∴，

∴在上单调递减，

∴当时，，当时，，

即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴，从而，即的取值范围为．

22．命题意图  本题考查极坐标方程与参数方程及其应用．

解析（Ⅰ）由（为参数），消去参数可得，曲线的普通方程为．

曲线的极坐标方程为，即，所以的直角坐标方程为．

（Ⅱ）由曲线的普通方程为，可知它表示圆心为，半径的圆．

圆心到直线的距离，

故．

原点到直线的距离．

所以．

所以的面积为．

23．命题意图  本题考查求绝对值不等式的解集及绝对值不等式恒成立问题．

解析（Ⅰ）依题意，

当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，无解．

综上可得，不等式的解集为．

（Ⅱ）因为在上恒成立，

所以，即，所以，

所以

由①，得．

由②，得在上恒成立，所以．

因为，所以．

综上所述，实数的取值范围为．