2021苏州实验中学教育集团高二下学期期中测试数学试题含答案

江苏省苏州实验中学教育集团2020至2021学年高二第二学期期中测试

                        数学                   2021.4

（本卷共计150分，考试时间120分钟）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．一质点的运动方程为S=t2+10，其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在4秒末的

瞬时速度是

2．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有

3．设随机变量X的分布列如下，则P(|X－2|＝1)等于(　　)

4．从“I love sy”（我爱实验）中取6个不同的字母排成一排，含有“sy”字母组合（顺序不变）的不同排列共有

5．设a∈Z且0≤a<13，若512 020＋a能被13整除，则a等于(　　)

6．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算

术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如

图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西

方的“帕斯卡三角形”早了300多年.若用表示三角形数阵中

的第m行第n个数，则

7．某种圆柱形饮料罐的容积一定，当它的用料最省时底面半径与高的比为

8．已知函数f(x)是定义在区间（0，+上的可导函数，满足f(x)>0，且f(x)+f '(x)<0(f '(x)是f(x)的导函数)，下列不等式一定成立的是

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．直线可以作为下列函数图象的切线的有

10．下列结论正确的有

11.下列等式正确的有

12．某数学研究小组在研究牛顿三叉戟曲线f(x)=2x2+时通过数学软件绘制出其图象（如

右图），并给出以下几个结论，则正确的有

A．函数f(x)的极值点有且只有一个

B．当x>0时，|f(－x)|<f(x)恒成立

C．过原点且与曲线y=f(x)相切的直线有且仅有2条

D．若f(x1)=f(x2)，x1<0<x2，则x2－x1的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________(用数字作答).

14．已知随机变量X～B(2，p)，Y～0-1，若P(X≥1)＝0.64，P(Y=1)＝p，则P(Y=0)的值等

于            .

15．设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中

满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为            .

16．若≤对于恒成立，当m>0时，的最小值是            ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

（1）由数字0，1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的四位数？

（2）由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的正整数？

18．（本小题满分12分）

在（n≥3，n∈N*）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差

数列.

（1）求证：展开式中没有常数项；

（2）求展开式中系数最大的项.

19．（本小题满分12分）

4月23日是“世界读书日”，学校开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高一学生课外阅读情况，从高二某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：

(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；

(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，

求随机变量X的分布列．

20．（本小题满分12分）

用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.

(1)若曲线与在（1，1）处的曲率分别为K1，K2，比较K1，K2大小；

(2)求正弦曲线()曲率的最大值.

21．（本小题满分12分）

已知f(x)=(1+x)m+(1+x)n (m∈N*，n∈N*).

（1）当m=5，n=6时，记f(x)的展开式中xi的系数为ai(i=0，1，2，3，…，6)，求a1+a2+a3+…+a6的值；

（2）当的展开式中含x的系数为11，求展开式中含的项的系数最小时m，n的值；

（3）当m≥5，n≥5时，求证：f(1)>.

22．（本小题满分12分）

已知函数ex（m是常数，m∈R）.

（1）试讨论关于x的方程f(x)=m解的个数；

（2）当m=0时，若对任意的，≤恒成立，求正实数的最大值.

江苏省苏州实验中学教育集团2020至2021学年高二第二学期期中测试

高二数学评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1．C    2．D    3．B    4．C   5．D    6．B   7．C    8．D

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．BD     10．ABD        11．ACD     12．ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．60     14．0.6      15．130    16．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）注：每题5分

（1）4=96

（2）4+=64

18.（本小题满分12分）

解：由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列知

解得或n=2（舍去）                 ………………………………………………2分

证明：通项公式         ………………………………………………4分

令，r=

所以展开式中没有常数项                 ………………………………………………6分

（2）令解得，又，

即，                             ………………………………………………9分

所以，展开式中系数最大项为.                 …………12分

19.（本小题满分12分）

解：(1)由题意得，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两人的取法共有C＝66(种)，

………………………………………………2分

抽取的两名学生来自同一小组的取法共有C＋2C＋C＝13(种)，………………………4分

所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为P＝.     …………6分（不答扣1分）

(2)由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4,2，所以抽取的两个人中是甲组学生的人数X的可能取值为0,1,2，

因为P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

所以随机变量X的分布列为

………………………………12分

20.（本小题满分12分）

解：（1）     

，

因为，所以，所以.    ……………………6分

（2），

，                                  ……………………8分

,令，则，

当，，在上单调递减，，所以    …………12分

21．（本小题满分12分）

解：（1）

取，即，取，得，

所以.                              ……………………3分

（2）当m=5，n=6或m=6，n=5时                          ……………………7分

（3）先证：当n≥5，

因为，所以2n>n2.同理2m>m2，……………………9分

所以2m+2n>m2+n2，又m2+n2≥，

所以2m+2n>，即f(1)>，获证.               ……………………12分

22．（本小题满分12分）

解：（1），

当，，递减；当，，递增；

所以，

又，故必有一个零点，                 

并且由于时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而（注：这里是新人教版教材例题表述），    ……………………2分

1°当m时，由知，方程有且只有一个根；

2°当时，即，取

由知，当时，递增，当时，递减，

所以，即存在使得，

由于，知恒成立，

所以，又，由单调性及零点存在性定理知方程在区间有且只有一根，因此方程有两个根；

3°当m=1，此时，

所以有且只有一个根；

4°当时，由，且及单调性知方程在有1个根，故此时有两个根.

综上：或时有且只有一个根；或时有且只有两个根 ……6分                    

另解：当时，，

因为，，所以，即，

因为，

所以，当时，，所以在上单调递增，

所以，即恒成立，

记，，

，在上递减，在上递增，

2e，所以2e，所以正实数的最大值为2e.