2021昆明高二下学期期末数学（理）试题含答案

昆明市2020~2021学年高二期末质量检测

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.若，则在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限  B.第二象限

C.第三象限  D.第四象限

3.已知数列为等比数列，，，则（    ）

A.2 B. C. D.

4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（    ）

A. B. C. D.

5.双曲线的顶点、焦点到的一条渐近线的距离分别为和，则的方程为（    ）

A. B. C. D.

6.蹴鞠是古人用脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球运动，2006年5月20日经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，蹴鞠所用之鞠（球）一般比现代足球直径略小.已知一足球直径为，其球心到截面圆的距离为，若某蹴鞠（球）的最大截面圆的面积恰好等于圆的面积，则该蹴鞠（球）的直径所在的区间是（单位：）（    ）

A.  B.

C.  D.

7.已知为坐标原点，点，动点满足，是直线上的点，给出下列四个结论：

①点的轨迹是圆；  ②的最大值为3；

③的最小值为1； ④.

其中正确结论的个数是（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

8.某班研究性学习课题小组为了解高中生上网的情况，随机选取了15名学生，对其每周上网时长（单位：小时）进行调查，经数据统计分析，得到这15名学生的每周上网时长的方差为.后来经核实，发现甲、乙两名学生每周上网时长记录的数据有误，甲同学每周上网时长实际为1小时，被误记录为6小时；乙同学每周上网时长实际为9小时，被误记录为4小时.数据更正后重新计算，得到方差为，则（    ）

A.0 B.2 C.15 D.30

9.已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

10.某年级迎新联欢会上有一个抽奖环节，在一个不透明的纸箱中放入大小质地完全相同的4个白球和2个红球.抽奖方案有甲、乙两种，甲方案为：从纸箱中不放回地依次随机摸出3个小球；乙方案为：从纸箱中有放回地随机摸出3个小球.规定只有摸到1个白球和2个红球时中奖.设甲、乙两个方案中奖的概率分别为，，则（    ）

A.，  B.，

C.，  D.，

11.函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

12.已知中，，是的中点，，则面积的最大值为（    ）

A. B.3 C. D.6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知为非零向量，，若，则的坐标可以是______.

14.二项式展开式中的系数是______.

15.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，且，若，则______.

16.已知函数的部分图象如图所示，若在上有2个零点，则实数的取值范围是______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

某公司员工年收入的频率分布直方图如下：

（1）估计该公司员工年收入的众数、中位数、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）假设你到人才市场找工作，该公司招聘人员告诉你，“我们公司员工的年平均收入超过13万元”，你认为招聘人员对该公司员工年收入的描述是否能客观反映该公司员工的年收入实际情况?请根据（1）中的计算结果说明.

18.（12分）

在①，；②；③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.

已知数列的前项和为，满足______.

（1）求数列的通项公式：

（2）数列满足，求数列的前10项和.

注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.

19.（12分）

已知是边长为8的等边三角形，点在边上（异于，）.

（1）若线段长度为整数，求；

（2）若，求.

20.（12分）

如图，在直三棱柱中，点，，，分别为棱，，，的中点，点在上.

（1）证明：平面；

（2）若，，求二面角的大小.

21.（12分）

已知椭圆的离心率为，依次连结的四个顶点构成的四边形面积为.

（1）求的方程；

（2）设的左，右焦点分别为，，经过点的直线与交于，两点，且，求的斜率.

22.（12分）

已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.

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理科数学参考答案及评分标准

一、选择题

二、填空题

13.（满足条件的均可） 14.80 15. 16.

三、解答题

17.解：（1）由频率分布直方图可知该公司员工年收入的众数为10万元.

由于，

所以员工年收入的中位数在内，

设中位数为，

由，解得，

所以估计该该公司员工年收入的中位数约为10.5万元.

由题意知，员工年收入的平均数为：

，

所以估计该公司员工年收入的平均数约为13.15万元.

（2）招聘人员的描述不能客观反映该公司员工年收入的实际情况.

由（1）知，有一半员工年收入不超过10.5万元，多数员工年收入是10万元，

少数员工年收入很高，在这种情况下，年收入的平均数就比中位数大的多，

所以用中位数或众数更能客观反映该公司员工年收入的实际情况.

18.解：（1）选①，；

，知数列是公差的等差数列，

则，得，

所以数列的通项公式为.

选②；

，知，得，

，得，即，

所以数列的通项公式为.

选③；

，得，

则，所以

因为，

所以数列的通项公式为.

（2）因为，所以，

则，，，，，

数列的前10项和为：

.

19.解：（1）由题，点到边的距离为，

所以，

又线段的长度为整数，所以，

在中，由余弦定理：，

即，解得或3.

（2）解法一：

在中，由正弦定理：，

在中，由正弦定理：，

所以，

即，因为，所以，

在中，由余弦定理：

，

所以，所以.

解法二：设，则，

由题，

所以，

因为，所以，

又是锐角，所以.

20.解：（1）证明：连结，，

由，，，分别为棱，，，的中点，

所以，，故，

又平面，所以平面，

因为，，所以，

又因为，，所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面.

又，所以平面平面，

又平面，所以平面.

（2）在直三棱柱中，平面，所以，，

由题，故可建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，由，，为中点，

所以，，，

所以，，

设平面的法向量为，

则所以取，得，

平面即平面，它的一个法向量为.

设二面角的大小为，由题知为锐角，

所以，

所以，

所以二面角的大小为60°.

21.解：（1）依题意可得：

解得，，

所以椭圆的方程为.

（2）由题可知：直线的斜率存在且不为零，

故设直线的方程为，

设，，由（1）可知：，，

则，，

因为，所以，，，化简得，

所以，，得.

联立消去得，，由得，

，，

则，解得或，

故的斜率为或.

22.解：（1）的定义域为，

当时，，，

由得，，的增区间为，

由得，，的减区间为

（2）由题恒成立，即恒成立.

令，则，

令，则，

所以在内单调递增.

因为，所以，则，

又，所以，使，

所以，即，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以，

即恒成立，

又因为，所以，所以，

当且仅当，时，等号成立，

所以的取值范围为.