2021湛江高二下学期期末考试数学试题含答案

湛江市2020—2021学年度第二学期期末调研考试

高二数学试题

（本卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．

4．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B．  C．  D．

2．设，则的共轭复数（    ）

A．   B．   C．   D．

3．已知是奇函数，且当时，，则当时，（    ）

A．   B．   C．   D．

4．抛物线的准线方程是（    ）

A．   B．   C．   D．

5．若，则的最小值为（    ）

A．6    B．9    C．4    D．1

6．若函数在上是减函数，则的最大值为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有（    ）

参考数据及公式如下：

A．12人    B．11人    C．10人    D．18人

8．设为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于、两点．若，则的离心率为（    ）

A．    B．    C．2    D．

二、选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．

9．下列命题中，正确的是（    ）

A．若，则    B．

c．若，则    D．

10．若直线被圆截得的弦长，则该直线的倾斜角可能为（    ）

A．    B．    C．    D．

11．在正四面体中，为的中点，为的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．    B．直线与平面所成的角小于

C．    D．正四面体外接球的球心在上

12．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是（    ）

A．甲地：中位数为2，极差为5

B．乙地：总体平均数为2，众数为2

C．丙地：总体平均数为1，总体方差大于0

D．丁地：总体平均数为2，总体方差为3

三、填空题

13．已知，则______．

14．已知向量，，则______．

15．已知正项等比数列中，，，用表示实数的小数部分，如：，，记，则数列的通项公式______；数列的前15项之和______．

16．某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则不同的熄灭灯的方法有______种．

四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．中，内角，，的对边分别为，，，已知，，．

（1）求的值；

（2）设是边的中点，求线段的长．

18．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求使成立的最小正整数的值．

19．如图，在正方体中，是棱的中点．

（1）求二面角的余弦值；

（2）在棱（包含端点）上是否存在点，使平面，给出你的结论，并证明．

20．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．已知选手甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为．假设每道题答对与否互不影响．

（1）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；

（2）甲答了4道题，甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望．

21．设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于、两点，直线与直线交于点，且点、均在第四象限，若的面积是面积的2倍，求的值．

22．已知函数．

（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

（2）若函数在处取得极小值，求的取值范围．

湛江市2020—2021学年度第二学期期末调研考试

高二数学参考答案与评分标准

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．

三、填空题：

13．   14．   15．；5   16．56

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】解：（1）在中，，

由正弦定理得：，

所以．

（2）由（1）得，

所以

．

由余弦定理得：

，

所以．

18．【答案】解：（1）设等差数列的公差为，

因为，且，，成等比数列，

所以，即，

整理得：，所以或（舍去），

所以．

（2）依题意：．

所以数列的前项和

．

依题意：，解得，

所以的最小值为51．

19．【答案】（1）解：设正方体的边长为单位长度，建立如图直角坐标系，

则，，，

所以，．

设平面的一个法向量为，

则，即，

可得平面的一个法向量为．

又因为平面的一个法向量为，

所以．

所以二面角的余弦值为．

（2）证明：设的坐标为，

因为的坐标为，所以，

若在棱（包含端点）上存在点，使平面，则，

所以，即，与矛盾，

所以棱（包含端点）上不存在点，使平面．

20．【答案】解：（1）记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲确实会做”，

则所求的事件为条件概率．

又，，

所以所求概率为．

（2）可能取值为0，1，2，3，4，

甲答对某道题的概率为，

则，，

则的分布列为：

则．

21．【答案】解：（1）设椭圆的焦距为，

由已知可得，

又，，

解得，，

所以所求椭圆的方程为：．

（2）设点、，则，

因为的面积是面积的2倍，

所以，

从而，所以．

易知直线的方程为：．

由可解得，

将代入椭圆方程，可解得，

所以，即：，

解得或，代入检验可得．

22．【答案】解：（1）函数的导数为：

．

依题意曲线在点处的切线斜率为0，

可得，解得．

（2）的导数为，

若，则时，，递增：

时，，递减．

所以函数在处取得极大值，不符合题意．

若，由知递增，无极值．

若，则，在递减，在递增，

可得函数在处取得极小值．

若，则，在递增，在递减，

可得函数在处取得极大值，不符合题意．

若，则，在递增，在递减，

可得函数在处取得极大值，不符合题意．

综上所述，的范围是．