2021安徽省泗县一中高二下学期期末考试理科数学试题含答案

泗县一中2020-2021学年度第二学期期末调研试卷

理科数学

2021.7

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.

1.已知命题：“，关于的方程有实根”，则为（    ）

A.，关于的方程有实根

B.，关于的方程有实根

C.，关于的方程没有实根

D.，关于的方程没有实根

2.已知为虚数单位，若，则（    ）

A.1 B.2 C. D.

3.已知集合，，若，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

4.若双曲线的中心为坐标原点，其焦点在轴上，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A. B. C. D.

5.若，且.则（    ）

A. B. C. D.

6.已知函数，满足，则（    ）

A. B.9 C.18 D.72

7.已知向量，均为单位向量，且.则（    ）

A. B. C. D.

8.若，且不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

9.已知菱形中，把沿折起，使点到达点处，且，则三棱锥的体积为（    ）

A. B. C. D.

10.已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（    ）

A.是奇函数  B.图象关于直线对称

C.在上是增函数 D.图形关于直线对称

11.我们把函数称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：

①；②；③；④.

其中正确命题的个数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

12.已知椭圆：的一个焦点为，一个顶点为，设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，请把答案写在答题卡上。

13.的展开式中幂指数绝对值最小的项的系数为      .

14.已知的三边，，满足，且的面积为，则的值为      .

15.4名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是      （用数学字作答）

16.设正实数，满足，则的取值范围      .

三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.（12分）已知的内角，，的对边分别为，，，.

（1）求角；

（2）若，，求的面积.

18.（12分）已知等差数列的前项和为；数列为等比数列，满足，，是与的等差中项.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，是数列的前项和，求.

19.（12分）

如图，在五面体中，面为矩形，且与面垂直，，，.

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

20.（12分）

从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图.

（1）求，，的值；

（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中已计算得.如果产品的质量指标值位于区间，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记为抽取的20件产品所获得的总利润，求.

附：，，.

21.（12分）

已知函数，，是自然对数的底数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选够4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系中，直线的参数方程（为参数）.在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的极坐标方程；

（2）若射线，与直线及曲线分别交于点，，且.求.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知.

（1）求不等式的解集；

（2）若对任意实数恒成立，求证：.

泗县一中2020-2021学年度第二学期期末调研试卷

数学参考答案

一、选择题

1-5 CBBAA  6-10 DCAAD  11-12 CB

二、填空题

13.     14. 1或   15. 81 （或）  16.

三、解答题

17．（1）由应用正弦定理，得

，

由余弦定理，可得，代入上式，得

．

∵，∴，

又，所以，．

（2），，由余弦定理，得

，

即，则．

于是．

18.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，，是与的等差中项，

则；

，，

即，

，，

；

（2），

所以，

，

两式相减可得，

，

化简得，．

19.解：（1）证明：∵面为矩形，，

且平面，平面，∴平面，

又平面，平面平面，

∴．

（2）∵面为矩形面，，

又面面，且面面，

∴面，

由（1）知，，又，

∴，

∴，，两两垂直，

以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立图示空间直角坐标系，则，，，，，．

，，，，

设平面与平面的法向量分别为，，

则∴

令，解得，

令，解得，

于是，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

20．解：（1）结合频率分布表可以得到，，

（2）抽取这1000件产品质量指标值的样本平均数为：

（3）因为，由（2）知，

从而，

设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数.

依题意知，所以，

所以

答：该企业从一天生产的产品中随机抽取20件产品的利润为.

21.（1）当时，，

令，得，由，得，

由，得或，

所以在上单调递减，

在上单调递增，在上单调递减．

（2）由当时，，得，

记，则，

①当时，则，可知在上单调递增，且，

不满足当时，，舍去；

②当时，令，得，，

因为，所以当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以，解得，

因为，所以；

③当时，则，此时当时，，故在上单调递减，

所以，解得，所以；

综上所述，的取值范围是.

22.【解析】（1）直线的参数方程，消去参数得.

由，，得直线的极坐标方程为，

即

（2）因为射线与直线及曲线分别交于点，，

所以，，

因为，所以，即，

所以，.

23.【解析】（1）

所以不等式的解集为

（2）当时，

当时.

所以，当且仅当时取等号。

所以，即，所以，

所以，即.