2021河南省天一大联考高二下学期阶段性测试（四）数学（理）含解析

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天一大联考

2020－2021学年高二年级阶段性测试(四)

理科数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡止的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z＝的共轭复数在复平面上对应的点在

A.第一象限     B.第二象限     C.第三象限     D.第四象限

2.已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|－2<x<1}，能使MA∩B成立的集合M可以是

A.{0}     B.{0，1}     C.{－1，1，2}     D.{1，2}

3.设函数f(x)是定义在R上的最小正周期为2的奇函数，当0<x<1时f(x)＝4x，则f(－)＝

A.－3     B.－2     C.1     D.2

4.若在△ABC中，，且||＝2，||＝6，则△ABC的面积为

A.6     B.8     C.12     D.20

5.设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是

A.若a//α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β     B.若a//α，b//α，则a//b

C.若a⊥α，a//β，则α⊥β           D.若a//α，b⊥β，a⊥b，则α//β

6.某班级班委包括4名女生和2名男生，要从中抽选2名女生和1名男生参与毕业典礼志愿者工作，并把他们安排在3个不同的岗位，其中A岗位不安排男生，则不同的安排方式种数为

A.72     B.48     C.36     D.24

7.在圆x2＋y2＝16内随机取一点P，则点P落在不等式组，表示的区域内的概率为

A.     B.     C.     D.

8.已知(3x－)7的展开式中，各项系数之和为128，则展开式中含x－5项的系数为

A.63     B.21     C.7     D.－21

9.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，cosC＝，c＝4，则△ABC的面积的最大值为

A.     B.     C.3     D.

10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)的相邻的两个零点之间的距离是，且直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，则f()＝

A.－     B.－     C.     D.

11.已知过点M(4，0)的直线l与抛物线Ω：y2＝2x交于A，B两点，|BF|＝(F为抛物线Ω的焦点)，则|AB|＝

A.6     B.6     C.6     D.4

12.若函数f(x)＝2alnx＋x3＋x2－2x在(0，＋∞)，上单调递增，则实数a的取值范围是

A.[，＋∞)     B.[，＋∞)     C.[，＋∞)     D.[，＋∞)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知双曲线C：(a>0，b>0)，点(a，b)在直线y＝2x上，则双曲线C的离心率为            。

14.若命题“∃x0∈R，使得x02－4x0＋2a<0”为假命题，则实数a的取值范围为          。

15.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为5的正方形，AC∩BD＝O，且PA⊥平面ABCD，M是棱PC上的动点，若OM的最小值为4，则当OM取得最小值时，四棱锥M－ABCD的体积为            。

16.已知直线l：ax＋y－4＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－2x－6y＋1＝0的对称轴。过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，有下列结论：

①a＝1；

②|AB|＝2；

③切线AB的斜率为或；

④对任意的实数m，直线y＝mx－m＋1与圆C的位置关系都是相交。

其中所有正确结论的序号为            。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知某医院的医护人员在抢救感染某种病毒的患者的同时都有的概率被感染，现有甲、乙两名大夫，丙、丁两名护士，四名医护人员冒着被感染的风险坚守岗位。假设每人是否被感染相互独立。

(I)求甲大夫被感染，且乙大夫，丙、丁护士都没有被感染的概率；

(II)求这四人中至少有两人被感染的概率。

18.(12分)

某超市为提高收银效率，给顾客提供便利，在人工收银之外，引进了自助收银系统，该系统投入使用后前5天，使用自主收银的人数统计如下：

(I)根据以上数据求y关于x的回归直线方程；

(II)该超市随机抽查了部分顾客，调查了他们的年龄段和使用的收银方式，得到如下的2×2列联表：

用独立性检验的方法判断：是否有99.9%的把握认为顾客使用的收银方式与年龄有关？

附：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

。

独立性检验：，其中n＝a＋b＋c＋d。

临界值表：

19.(12分)

已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2。

(I)求{an}的通项公式；

(II)若数列{bn}的前n项和为Tn，且bn＝an＋，证明：Tn>－1。

20.(12分)

已知椭圆C：的一个顶点恰好是抛物线x2＝4y的焦点，椭圆C的离心率为。

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)从椭圆C在第一象限内的部分上取横坐标为2的点P，若椭圆C上有两个点A，B使得∠APB的平分线垂直于坐标轴，且点B与点A的横坐标之差为，求直线AP的方程。

21.(12分)

如图，在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，D，M分别为AC，DP的中点，N为棱PC上靠近点C的三等分点，PA＝PC＝AB＝BC＝2，AB⊥BC。

(I)若点H在线段BD的延长线上，且DB＝DH，问：在棱AP上是否存在点E，使得HE与BN垂直？请说明理由。

(II)求平面BMN与平面ABC所成锐二面角的余弦值。

22.(12分)

已知函数f(x)＝x－(x－2)ex。

(I)求f(x)在x＝0处的切线方程；

(II)若≤x≤1时，不等式f(x)>lnx－a恒成立，证明：a>－4。