2021华中师范大学琼中附中高二下学期六月月考数学试题含答案

一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）

1. 已知集合，，则A∩B中元素个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2. 若，则z=（    ）

A. 1–i B. 1+i C. –i D. i

3.若向量a=(4,2),b=(6,k),若a∥b,则k=(　)

A.-12             B.12          C.-3              D.3

4.若a>b，则（    ）

A. ln(a−b)>0     B. 3a<3b      C. a3−b3>0        D. │a│>│b│

5．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，是合格品的概率为(　)

A．0.95  B．0.75  C．0.05  D．0.35

6．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|－|FB||的值为(　　)

A.         B.         C.      D.

7.在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（    ）           

A. 8种                 B. 12种              C. 20种                       D. 24种

8. 若直线过圆的圆心，则的最小值是（    ）

A. 10 B. 16 C.  D. 20

二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分）

9.我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确是（    ）

A. 这11天复工指数和复产指数均逐日增加;

B. 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;

C. 第3天至第11天复工复产指数均超过80%;

D. 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;

10．下列命题中，正确的命题是（    ）

A．已知随机变量服从二项分布，若，，则

B．已知，则

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大

11. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（    ）

A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球中恰有1个红球的概率为

C. 至少有1个红球的概率为  D. 2个球不都是红球的概率为

12. 已知正四棱柱的底面边长为，，则（    ）

A. 平面          B. 异面直线与所成角的余弦值为

C. 平面 D. 点到平面的距离为

三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）

13．在的展开式中，的系数是_______．

14．等比数列各项均为正数，且，则

15．已知函数若，则实数       .

16. 已知圆，若圆与圆关于直线对称，且与直线交于、两点，则的取值范围是__________．

四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

17、在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且asin A+csin C-bsin B=asin(A+B).

(1)求B的值;

(2)若向量m=(cos A,cos 2A),n =(12,-5),a=4,当m·n取得最大值时,求b的值.

18、设等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），等比数列{bn}的前n项和为Tn（n∈N*），已知a1＝3，b1＝1，a3+b2＝10，S3﹣T2＝11．

（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式：（Ⅱ）若数列{cn}满足c1＝1，cn+1﹣cn＝an，求c100；

（Ⅲ）设数列dn＝an•bn，求{dn}的前n项和Kn．

19、 如图，在正方体中，E为的中点．

（1）求证： 平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．深圳市于某日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：

（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；

（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；

（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望．

21．(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且a2＝2b.

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在实数m，使直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A，B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

22．已知函数f（x）=xlnx．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣恒成立，求实数k的取值范围；

（3）是否存在最小的正常数m，使得：当a＞m时，对于任意正实数x，不等式f（a+x）＜f（a）•ex恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性．

2020-2021高二下期第二次月考数学试题答案

一、选择题

二、填空题

13.10   14 10  15 2  16  

17.（1）  （2）a=2时满足条件。

18

19. 在正方体中，且，且，

且，所以，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、，，，

设平面的法向量为，由，得，

令，则，，则..因此，直线与平面所成角的正弦值为.

20. （1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为：、、．

所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：

人、人、人;

（2）由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为人，

所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为;

（3），的可能取值为．

因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为，

所以，随机变量服从二项分布，即～．

，，

，，

．

21. 解　(1)由题意得　解得

故椭圆的方程为x2＋＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．

联立直线与椭圆的方程得

即3x2＋2mx＋m2－2＝0，

所以Δ＝(2m)2－4×3×(m2－2)>0，即m2<3，

且x0＝＝－，y0＝x0＋m＝，

即M，又因为M点在圆x2＋y2＝5上，

所以2＋2＝5，解得m＝±3，与m2<3矛盾，故实数m不存在．

22. 解答： 解：（1）∵f（x）=xlnx．

∴f′（x）=1+lnx，

当x∈（0，）时，f′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．

所以函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．

（2）由于x＞0，f（x）＞kx﹣恒成立，

∴k=lnx+．

构造函数k（x）=lnx+．

∴k′（x）=﹣=．

令k′（x）=0，解得x=，

当x∈（0，）时，k′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，k′（x）＞0．

∴函数k（x）在点x=处取得最小值，即k（）=1﹣ln2．

因此所求的k的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）．

（3）结论：这样的最小正常数m存在．解释如下：

f（a+x）＜f（a）•ex⇔（a+x）ln（a+x）＜alna）•ex⇔＜．

构造函数g（x）=，则问题就是要求g（a+x）＜g（a）恒成立．

对于g（x）求导得 g′（x）=．

令h（x）=lnx+1﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx﹣1，显然h′（x）是减函数．

又h′（1）=0，所以函数h（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，

而h（）=ln+1﹣=﹣2+1+=＜0，

h（1）=ln1+1﹣ln1=1＞0，h（e）=lne+1﹣elne=1+1﹣e=2﹣e＜0．

所以函数h（x）在区间（0，1）和（1，+∞）上各有一个零点，令为x1和x2（x1＜x2），

并且有：在区间（0，x1）和（x2，+∞）上，h（x）＜0即g′（x）＜0；

在区间（x1，x2）上，h（x）＞0即g′（x）＞0．

从而可知函数g（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）上单调递减，在区间（x1，x2）上单调递增．

g（1）=0，当0＜x＜1时，g（x）＜0；当x＞1时，g（x）＞0．还有g（x2）是函数的极大值，也是最大值．

题目要找的m=x2，理由是：

当a＞x2时，对于任意非零正数x，a+x＞a+x2，而g（x）在（x2，+∞）上单调递减，

所以g（a+x）＜g（a）一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，

说明m≤x2；

当0＜a＜x2时，取x=x2﹣a，显然x＞0且g（a+x）=g（x2）＞g（a），

题目所要求的不等式不恒成立，说明m不能比x2小．

综合可知，题目所要寻求的最小正常数m就是x2，即存在最小正常数m=x2，当a＞m时，对于任意正实数x，不等式不等式f（a+x）＜f（a）•ex恒成立．