2021太原行知宏实验中学校高二上学期期末考试数学（理科）试题含答案

太原市行知宏实验中学校2020-2021学年
第一学期期末测试题

高二数学（理科）答案

一．选择题（共12小题）

1．命题“∃x0∈R，ln（x0+1）≥x0”的否定是（　　）

A．∃x0∈R，ln（x0+1）≤x0 B．∃x0∈R，ln（x0+1）＜x0 

C．∀x∈R，ln（x+1）≤x D．∀x∈R，ln（x+1）＜x

【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定：∀x∈R，ln（x+1）＜x．

故选：D．

2．椭圆+＝1的长轴长为（　　）

A．4 B．5 C．10 D．8

【解答】解：由已知可得椭圆是焦点在y轴，所以a2＝25，即a＝5，

所以椭圆的长轴长为2a＝10，

故选：C．

3．空间直角坐标系中，已知A（1，﹣2，3），B（3，2，﹣5），则线段AB的中点为（　　）

A．（﹣1，﹣2，4） B．（﹣2，0，1） C．（2，0，﹣2） D．（2，0，﹣1）

【解答】解：∵空间直角坐标系中，A（1，﹣2，3），B（3，2，﹣5），

∴线段AB的中点坐标为（2，0，﹣1）．

故选：D．

4．已知函数，则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）的图象恒在x轴上方 

B．f（x）的图象经过原点 

C．f（x）是R上的减函数 

D．f（x）是偶函数

【解答】解：函数，f（x）的定义域为（0，+∞），

因此B不正确；

函数是增函数，所以C不正确；

由定义域可知，D不正确；

又f（x）＞0，所以f（x）的图象恒在x轴上方，A正确，

故选：A．

5．抛物线y2＝x的焦点到准线的距离为（　　）

A．1 B． C． D．4

【解答】解：抛物线y2＝x的焦点到准线的距离为：P，

所以P＝．

故选：B．

6．在空间直角坐标系O﹣xyz中，P（2，0，﹣4），Q（﹣1，2，1），M是OP中点，则|QM|＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵在空间直角坐标系O﹣xyz中，P（2，0，﹣4），Q（﹣1，2，1），M是OP中点，

∴M（1，0，﹣2），

则|QM|＝＝．

故选：C．

7．已知实数x，“x≥2”是“x≥1”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：实数x，由“x≥2”可推出“x≥1”，但由“x≥1”推不出“x≥2”，

故“x≥2”是“x≥1”的充分不必要条件，

故选：A．

8．已知＝（2，3，5），＝（3，x，y），若∥，则（　　）

A． B．x＝9，y＝15 

C． D．x＝﹣9，y＝﹣15

【解答】解：由题意可得：＝（2，3，5），＝（3，x，y），并且∥，

所以，

所以，x＝，．

故选：A．

9．已知点A（5，y），B（1，2），且||＝5，则y等于（　　）

A．﹣1或5 B．﹣2或5 C．﹣1或6 D．﹣2或6

【解答】解：∵A（5，y），B（1，2），

∴＝（﹣4，2﹣y），

∴，

解得：y＝﹣1或y＝5．

故选：A．

10．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为（　　）

A．x±2y＝0 B．2x±y＝0 C．x±y＝0 D．x±y＝0

【解答】解：由x2﹣＝0，可得双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是2x±y＝0．

故选：B．

11．已知空间向量（　　）

A．±2 B．﹣2 C．2 D．0

【解答】解：∵空间向量＝（﹣1，x，1），＝（3，1，y），＝（z，0，0），，

∴（2，x+1，1+y）＝（z，0，0），

∴，解得x＝﹣1，y＝﹣1，z＝2，

∴xyz＝（﹣1）×（﹣1）×2＝2．

故选：C．

12．已知抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为2，则a＝（　　）

A．4 B．2 C． D．

【解答】解：抛物线x2＝y（a＞0），焦点在y轴的正半轴，即2p＝，

由焦点到准线的距离d＝p＝＝2，

则a＝，

故选：C．

二．填空题（共4小题）

13．已知双曲线C：x2﹣＝1，则渐近线方程为　2x±y＝0　；离心率e为　　．

【解答】解：双曲线C：x2﹣＝1，可得a＝1，b＝2，则c＝，

所以渐近线方程为2x±y＝0，双曲线的离心率为：e＝＝．

故答案为：2x±y＝0；．

14．已知命题p：∃x0＞0，x03＞0，那么￢p为　∀x＞0，x3≤0　．

【解答】解：由命题否定的概念可得命题P：∃x0＞0，的否定为∀x＞0，x3≤0．

故答案为：∀x＞0，x3≤0．

15．已知椭圆E的中心在原点、对称轴为两坐标轴，且一个焦点为F（0，1），离心率为，则该椭圆的方程是　+＝1　．

【解答】解：根据题意椭圆E的焦点在y轴上，故椭圆的标准方程设为+＝1（a＞b＞0），

∵c＝1，e＝＝，

∴a＝2，

∴a2＝4，b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3．

∴该椭圆的方程为+＝1．

故答案为：+＝1．

16．空间直角坐标系O﹣xyz中，点M（1，﹣1，1）关于x轴的对称点坐标是　（1，1，﹣1）　；|OM|＝　　．

【解答】解：空间直角坐标系O﹣xyz中，点M（1，﹣1，1）关于x轴的对称点坐标是M′（1，1，﹣1）；

|OM|＝＝．

故答案为：（1，1，﹣1），．

三．解答题（共7小题）

17．已知p：方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q：实数t满足不等式﹣1＜t＜a，a＞﹣1．

（1）若p为真，求实数t的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）因为方程所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，所以，

解得：﹣2＜t＜0．

（2）因为命题q：实数t满足不等式﹣1＜t＜a，a＞﹣1

若p是q的必要不充分条件，所以（﹣1，a）⫋（﹣2，0），a＞﹣1，

所以﹣1＜a≤0．

18．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（2，0）．

（1）求p；

（2）斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．

【解答】解：（1）由焦点的坐标可得＝2，

所以p＝4；

（2）由（1）可得抛物线的方程为y2＝8x，

设直线AB的方程为：y＝x﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立直线AB与抛物线的方程可得：，整理可得：x2﹣12x+4＝0，

所以x1+x2＝12，

由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，

所以弦长|AB|＝x1+x2+p＝12+4＝16．

19．（1）如图所示，在边长为2的正方体OABC﹣A1B1C1D1中，A1C1交B1D1于P．分别写出O、A、B、C、A1、B1、C1、D1、P的坐标．

（2）在空间直角坐标系中，A（2，3，5）、B（4，1，3），求A，B的中点P的坐标及A，B间的距离|AB|．

【解答】解：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2

又∵P是正方形A1B1C1D1的中心点，

∴O（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）

A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，2，2），P（1，1，2）

（2）∵A（2，3，5）、B（4，1，3），

∴A，B的中点P的坐标为（3，2，4）

∴|AB|＝＝2

20．设点M是椭圆C：＝1（a＞b＞0）上一动点，椭圆的长轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求点M到直线l1：x+y﹣5＝0距离的最大值．

【解答】解：（1）由题意可知2a＝4，则a＝2，离心率e＝＝，则c＝2，

b2＝a2﹣c2＝4，

所以椭圆的标准方程；

（2）方法一：设M（2cosθ，2sinθ），（0≤θ＜2π）则M到直线x+y﹣5＝0的距离d＝＝，

所以当sin（θ+）＝﹣1时，d取最大值，最大值为．

所以点M到直线l1：x+y﹣5＝0距离的最大值．

方法二：由直线l1的方程与椭圆的方程可以知道，直线l1与不相交，

设 直线m平行于直线l1，则直线m的方程可以写成x+y+k＝0，

由方程组，消去y，得4x2+6kx+3k2﹣12＝0，①

令方程①的根的判别式△＝0，得36k2﹣4×4（3k2﹣12）＝0，②

解方程②得k1＝4或k2＝﹣4，

由图可知，当k＝4时，直线m与椭圆的交点到直线l1的距离最远，此时直线m的方程为x+y+4＝0，

直线m与直线l1的距离

d＝＝．

所以点M到直线l1：x+y﹣5＝0距离的最大值．

21．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为．

（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；

（2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．

【解答】解：（1）取BC中点D，连接AD，B1D，

由正三棱锥ABC﹣A1B1C1，得面ABC⊥面BCC1B1．

又D为三角形ABC的边BC的中点，故

AD⊥BC，于是AD⊥面BCC1B1

在矩形BCC1B1中，BC＝，BB1＝1，

于是Rt△CBC1与Rt△BB1D相似，

∠CBC1＝∠BB1D，BC1⊥DB1

得AB1⊥BC1

（2）取BC1的中点D，AC的中点E，连DE，则DE∥AB1，∠EDB即为AB1与BC1成600角，

∴∠EDB＝60°，在等边三角形EDB中，BD＝BE＝，

∴BC1＝2BD＝，⇒BB1＝＝2

∴侧棱长为2（14分）

22．椭圆E与有共同的焦点，且经过点．

（1）求椭圆E的标准方程和离心率；

（2）设F为E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求的最大值．

【解答】解：（1）椭圆E与有共同的焦点，可设椭圆E的方程为：，（t＞﹣8），

由椭圆E经过点，可得，解得t＝﹣5或t＝﹣（舍）．

∴椭圆E的标准方程为：，离心率e＝．

（2）可得F（﹣1，0），设M（x0，y0），

，＝（x0+1，y0），

＝x0（x0+1）+y＝+3﹣＝，

∵﹣2≤x0≤2，∴＝∈[2，6]．

∴的最大值为6．

23．已知椭圆的焦距为2，离心率e＝．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．

【解答】解：（1）由由题意可得2c＝2，e＝＝，所以可得a＝2，

而b2＝a2﹣c2＝22﹣12＝3，

当焦点在x轴上时，椭圆的方程为：+＝1；

当焦点在y轴上时，椭圆的方程为：+＝1；

（2）由（1）可得2c＝2，设焦点F1，F2，则F1F2＝2c＝2，PF1+PF2＝2a＝4，

在△PF1F2中有余弦定理可得：cos∠F1PF2＝

＝，

由题意可得＝，

解得：PF1•PF2＝4，

所以S＝PF1•PF2•sin∠F1PF2＝4×＝；

所以△PF1F2的面积为．

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日期：2021/1/14 11:00:21；用户：高中数学；邮箱：tymst10@xyh.com；学号：231289