2021南充白塔中学高一下学期第二次月考（6月）数学试题含答案

2020-2021学年度高中数学6月月考卷

第I卷（选择题）

一、单选题（60分）

1．已知集合，则集合（    ）

A． B． C． D．

2．的值等于（    ）

A． B． C． D．

3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A．240 B．200 C．320 D．180

4．若，那么下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

5．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（    ）

A．3条 B．4条

C．5条 D．6条

6．在等比数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

7．等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（    ）

A． B． C． D．

8．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于，灯塔A在观测站C的北偏东，灯塔B在观测站C的南偏东，则灯塔A与之间B的距离为（    ）

A． B． C． D．

9．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A．{a|a<2} B．{a|a≤2}

C．{a|－2<a<2} D．{a|－2<a≤2}

10．如图，在棱长都为1的直棱柱中，，三棱锥的体积为（    ）

A． B． 

C． D．

11．设， （          ）

A．4 B．5 C．6 D．10

12．若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

三、填空题（20分）

13．函数的定义域为___________.

14．数列中，，，则______.

15．某长方体的长、宽、高分别为4，4，2，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为__________.

16．若对时，不等式恒成立，则实数的取值范围是____ _____..

四、解答题（70）

17（10分）．已知，.

（1）求证：；

（2）若，求的最小值.

18（12分）．已知函数为二次函数,,且关于的不等式解集为.

（1）求函数的解析式;

（2）当时,恒成立,求实数的取值范围.

19. 19．（12分）如图，在正方体中，、分别是AB、AA1的中点，

（1）证明：EFD1C是梯形。

（2）求异面直线EF与BC1所成角。

20（12分）某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元。从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加4万元。该船每年捕捞总收入50万元。

（1）捕捞几年后总盈利最大？最大是多少？

（2）捕捞几年后的年平均利润最大？最大是多少？

21（12分）．设，，分别是中角，，的对边，．

（1）求；

（2）若，求面积的最大值．

22（12分）．已知数列满足，（，），

（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；

（2）数列的前项和为，求证：对任意，.

数学参考答案

1．C

由得，.

故选：C

2．A

.

3．A

解：由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10，

其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．

S表面积．

4．C

由题意，若，则：

A：，错误；

B：，错误；

C：；

D：，错误.

∴由排除法知：C正确.

故选：C.

5．B

由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，

因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.

故选：B.

6．A

设等比数列的公比为，则，.

故选：A.

7．A

由题可知，则，

又，则，

则

因此，故取最大值时的n值为7

故选：A.

8．C

解：由题意，作出示意图：

则，，由余弦定理得

，

所以，即灯塔A与之间B的距离为.

故选：C.

9．D

当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立，符合题意；

当a－2≠0时，由题意知，，解得－2<a<2，∴－2<a≤2，

故选:D．

10．C

由棱柱为直棱柱，所以平面

由题意在中，，,

所以

所以

所以 ,

则直棱柱的体积为

由题意可知三棱锥是直棱柱切去角上的4个小三棱锥而得到的.

即切去4个小三棱锥为

由题意可得这4个小三棱锥的高均为,且有

所以

所以

故选：C

11．B

【由于，故原式.

12．D

由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，

当时，；

当时，，

也满足，所以，

所以，

所以，

又对一切恒成立，

所以，整理得，解得或.

即实数的取值范围为.

故选：D.

13．

由，

得，

即，

解得，

所以的定义域为.

故答案为：

14．

【分析】

根据递推关系可得数列是以3为周期的周期数列，即可求解.

【详解】

，，

，，，……

数列是以3为周期的周期数列，

，.

故答案为：.

15．

【分析】

根据题中条件，先求出长方体的体积，再由长方体的体对角线等于其外接球的直径，求出外接球半径，得到外接球体积，即可求出体积之比.

【详解】

因为长方体的长、宽、高分别为4，4，2，

所以其体积为；

其外接球直径为，故；

所以其外接球体积为，

因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为，

故答案为：

16．

【分析】

运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题.

【详解】

不等式转化为,化简为，

令,又,则,

即恒成立，令，又，

当时，取最小值，

所以，恒成立,化简得，解不等式得.

故答案为：

【点睛】

方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.

17．（1）证明见解析；（2）3.

【分析】

（1）根据条件得，从而证明不等式成立；

（2）根据条件得，然后利用基本不等式，即可求的最小值，注意等号成立的条件.

【详解】

（1）证明：∵，.

∴，

∴.

（2）∵，，，

∴，当且仅当，即，时取等号，

∴的最小值为3.

18．（1）（2）

【分析】

（1）设函数 ,根据,解集为,利用根与系数的关系即可求出函数的解析式.

（2）根据,求出的值域,即可求出实数的取值范围.

【详解】

解: （1）设函数 ,

那么,则,

又因为解集为.

的两根为,

故,解得,

所以.

（2）由（1）得,

又因为,

则,

当时,恒成立

则实数的取值范围为:.

【点睛】

本题主要考查根据二次函数的性质求函数解析式,考查二次函数在某区间上恒成立问题,是基础题.

19．（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）证明，再根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）即为异面直线与所成的角，求出即可．

【详解】

（1）证：在正方体中，

，且，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又∵平面，平面；

∴平面；

（2）解：∵，

∴即为异面直线与所成的角，

设正方体的边长为，

则易得，

∴为等边三角形，

∴，

故异面直线与所成的角为．

【点睛】

本题主要考查线面平行的判定与异面直线所成的角，属于基础题．

20．（1）；（2）．

【分析】

（1）由正弦定理求得，进而求出C；

（2）利用余弦定理和基本不等式求出，从而求出三角形面积的最大值．

【详解】

解：（1），由正弦定理得：

，

，，．

，．

（2），，即．

，，，．

，当且仅当时取等号．

面积的最大值为．

【点睛】

解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.

21．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由l两边同时除以得到有，再构造等比数列得解

（2）放缩，再利用等比数列求和得解.

【详解】

（1）由有，∴

∴数列是首项为，公比为2的等比数列.

∴，∴

（2），

∴，

.

【点睛】

本题考查利用递推关系证明等比数列及求通项，并用放缩法证明不等式，属于基础题.