2021河北省正定中学高一上学期第一次半月考数学试题含答案

河北正定中学高一第一次半月考试卷

数 学

（总分：100分    考试时间：90分钟） 

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将答题卡交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则　　　

A． B． C． D．

2．下列各组函数是同一函数的是　　

A．与 B．与 

C．与 D．与

3．函数的定义域为　　

A．            B．         C．           D．

4．若函数的定义域为，则实数的取值范围是　　

A．            B．    C．             D．

5．已知函数是(-∞,+∞)上的减函数，则a的取值范围是（   ）

A．(0, 3)   B．(0, 3]       C．(0, 2)        D．(0, 2]

6．已知函数的定义域为，且，则　　

A． B． C． D．

7. 已知函数，方程有三个互不相等的实根，则实数的取值范围是　　

Ａ．     Ｂ．      Ｃ．    Ｄ．

8．已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值等于　　

A．3 B．7 C．9  D．11

二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．已知函数的定义域为，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为，则实数可取　　

A．1 B．2 C．3 D．4

10. 下列命题为真命题的是(    )

A．，

B．当时，，

C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为

D．“”是“”的充要条件

11. 若函数的值域是，则实数的可能取值是　　

A．6 B．7 C．8 D．9

12．对任意两个实数，，定义，若，，下列关于函数,的说法正确的是　　

A．函数是偶函数                   B．方程有两个解 

C．函数有4个单调区间               D．函数有最大值为0，无最小值

三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分.

13．若函数，则___________.

14. 已知函数的定义域为R，对任意的，且都有成立，若对任意恒成立，则实数的取值范围是___________.

15．已知正实数，满足，则的最小值是___________.

16．已知函数，，对于任意的,，总存在,，使得成立，则实数的取值范围是_______________．

四、解答题：本题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

已知集合，.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围.

18.（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）若函数在定义域内是单调函数，求的取值范围；

（2）当时，求函数的最大值；

（3）对分类讨论求函数的最小值的表达式.

19.（本小题满分12分）

近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制. 尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步. 华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲. 今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机. 通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且. 由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

（1）求出2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额—成本）；

（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

20.（本小题满分12分）

已知定义在上的函数同时满足下列三个条件：①；②对任意都有；③当时，．

（1）求、的值；

（2）证明：函数在上为减函数；

（3）解关于的不等式．

河北正定中学高一第一次半月考

数学答案

1. A【解析】，

，，．故选：．

2. C【解析】对于，的定义域是，的定义域是，与不是同一函数，故错误；

对于，的定义域是，的定义域是，与不是同一函数，故错误；

对于，与对应关系相同，定义域都是，与是同一函数，故正确；

对于，，当时，与对应关系不同，与不是同一函数，故错误．故选：．

3. B【解析】要使函数有意义，则需且，即且，

则定义域为，，．故选：．

4. D【解析】根据题意，的解集为，

①时，恒成立，满足题意；

②时，，解得，

综上得，实数的取值范围是．故选：．

5. D【解析】因为函数为上的减函数，

所以当时，递减，即，当时，递减，即，

且，解得，综上可知实数的取值范围是，故选：D.

6. B【解析】由，①

以替换，得，②

把②代入①，可得，即．

．故选：．

7. A【解析】做出函数的图象，如图所示

方程有三个互不相等的实根，等价于函数与直线有三个不同的交点，由图象易知. 故选：A.

8. B【解析】在上单调递增，故为定值．

设，则，，

，  ，

，．故选：B．

9. BC【解析】函数是开口向上，对称轴为的抛物线，

函数的定义域为，，

当时，，当时，，

函数在定义域内函数的最大值与最小值之和为，

当时，或，，故选：．

10. ABC【解析】A：故该命题是真命题；

B：当时，所以，因此一元二次方程的根的判别式为：

，所以方程有实根，故该命题是真命题；

C：由，得的定义域为，故正确；

D：

，显然当成立时，一定能推出，但由不一定能推出，故该命题是假命题. 故选：ABC.

11.CD【解析】由题意可知函数的复合函数，要使的值域为，，只需

要的值域包括0即可．

令，要使值域包括0，即最小值小于等于0．

那么：，解得：．故选：CD．

12. ABCD【解析】解：由题意可得，，作出函数图象可得，

所以该函数的图象关于轴对称，是偶函数，有两个零点，，四个单调区间，当时，函数取得最大值为0，无最小值．故选：．

13. 0【解析】函数

14. 【解析】由，则函数在上为增函数，由对恒成立，故，即，解得.

15. 【解析】

，当且仅当，时取等号．

16. 【解析】（1）函数，

当，时，，的值域是,；

（2）又当，时，

①若，则在，上是增函数，最小值，最大值；的值域是,，

，即，解得，此时无解；

②若，则在，上是减函数，最小值，最大值；的值域是,，

，,，

即，解得，此时无解；

③若，则在,上是先减后增的函数，

最小值是，最大值是，,；

当时，的值域是，，

，，，即，

解得，或（不符合条件，舍去）；则取；

当时，的值域是,，，,，

即；解得，或，不符合条件，舍去；

综上知，实数的取值范围是：,．故答案为：．

17. 【解析】(1) ………………………………………………....…2分

因为，应满足……………………………………………...4分

解得，………………………………………………………………………………….…6分

(2)由可得 ………………………………………………………………....7分

，， ………………………………………………………8分



，………………………………………………………10分

得………………………………………………………………………………………..11分

综上.…………………………………………………………………………..12分 

18.【解析】（1）由题意知，函数对称轴为，因为在定义域内是单调函数，

所以对称轴，即或. ………………………………………...…2分 

（2）当时，，对称轴，则函数在定义域内先减后增，

因为，所以当或时，函数的最大值为………………..…5分 

（3）当时，此时函数在上单调递增，当时，；

当时，此时函数在上先减再增，则当时，；

当时，此时函数在上单调递减，则当时，………11分 

综上所述，…………………………………………………12分 

19.【解析】

（1）当时，；

当时，，

………………………………………...……6分 

（2）若，，

当时，万元…………………………………………………………8分 

若，，

当且仅当时，即时，万元…………………………11分 

2021年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元…………12分

20. 【解析】（1）令,得…………………..2分

令得，…………………………4分

（2）证明：设

∴

∴在上为减函数．………………………………………………………………8分

（3）由（1）可知，又因为，所以

，………………………………………………9分

所以，不等式等价于，

解得．………………………………………………………………………………12分