2021济南高一下学期期末考试数学试题含答案

这是一份2021济南高一下学期期末考试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了在中，若点满足，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
2．“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位某小区居民，他们的幸福感指数分别为6，7，7，8，9，8，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A．7B．8C．8.5D．9
3．甲、乙、丙和丁四个人站成一排，下列事件互斥的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排尾”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排头”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
4．在中，若点满足，则（ ）
A．B．
C．D．
5．给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据（ ）
A．众数为2B．平均数为2.5C．方差为1.6D．标准差为4
6．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：
169 966 151 525 271 937 592 408 569 683
471 257 333 027 554 488 730 863 537 039
据此估计的值为（ ）
A．0.6B．0.65C．0.7D．0.75
8．如图①所示，在平面四边形中，，，，．现将沿折起，并连接，如图②，只当三棱锥的体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况（该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾为主），随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1000千克的生活垃圾，数据（单位：千克）统计如下：
根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是（ ）
A．“厨余垃圾”投放正确的概率约为
B．“可回收物”投放错误的概率约为
C．该小区这三类垃圾中，“厨余垃圾”投放正确的概率最低
D．该小区这三类垃圾中，“其他垃圾”投放错误的概率最高
10．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则
A．B．3C．5D．6
11．习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推动青少年文化学习和体育锻炼协调发展．某学校对高一和高二年级每周在校体育锻炼时长进行了统计，得到数据（单位：小时）如下：
高一年级在校体育锻炼时长
关于高一和高二年级在校体育锻炼时长，下列说法正确的是（ ）
A．高一年级时长的众数比高二年级的大B．高一年级时长的平均数比高二年级的小
C．高一年级时长的中位数比高二年级的大D．高一年级时长的方差比高二年级的大
12．已知圆锥的顶点为，底面半径为，高为1，，是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积是B．与底面所成的角是
C．面积的最大值是D．该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某医院老年医生、中年医生和青年医生的人数分别为72，120，160，为了解该医院医生的出诊情况，按年龄采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本，已知抽取青年医生的人数为20，则抽取老年医生的人数为______．
14．甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为______．
15．若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为______．
16．在平面四边形中，，，，，交于点，若，则的值为______，的长为______．（第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为和，，．
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若点是线段的中点，且向量与垂直，求实数的值．
18．（12分）一般地，一个大于1的正整数可以表示为两个或两个以上的正整数之和，我们定义：将一个正整数表示为个正整数的和，叫做正整数的拆分，若不考虑拆分部分之间的顺序，称为正整数的无序拆分。例如，4的所有无序2拆分记作：{1，3}，{2，2}．
（1）写出9的所有无序2拆分；
（2）从9的所有无序3拆分中任取一个，求“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”的概率。
19．（12分）如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，分别为，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面．
20．（12分）在中，三个角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
21．（12分）
2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某学校为学生组织了系列学党史活动．为了解学生的学习情况，从全校学生中随机抽取了1名同学进行党史知识测试，满分100分，并将这名同学的测试成绩按，，，，分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．已知测试成绩在的学生为70人．
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）为奖励优胜者，学校将对本次测试成绩排在前40%的学生发放奖品，若某学生获得了奖品，请估算一下该学生的成绩至少达到多少分；
（3）学校组织党史知识测试设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若学生的平均成绩不低于80分，只需发放下一步学习资料，否则要举办党史知识大讲堂加强学习．请根据所学的统计知识，估计该校是否需要举办党史知识大讲堂，并说明理由．（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
22．（12分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广。刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．
（1）求二面角的大小；
（2）求三棱锥的体积；
（3）点在直线上，满足（），在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
高中一年级学情诊断考试
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1~4．ABCA5~8．CDBC
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．AC10．AD11．BD12．ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．914．15．
16．，（第一个空2分，第二个空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）【解析】方法一：
（1）由已知得，，
所以：，，，
所以所求余弦值为．
（2）因为，，
而向量与向量有垂直，
所以，
所以．
所以，
解得．
方法二：
（1）因为，，
所以，，，
所以所求余弦值为．
（2），，
因为向量与向量垂直，
所以，
又
，
所以，
所以．
18．（12分）
【解析】（1）9的所有无序2拆分为：{1，8}，{2，7}，{3，6}，{4，5}，共4个。
（2）9的所有无序3拆分为：
{1，1，7}，{1，2，6），{1，3，5}，{1，4，4}，{2，2，5}，{2，3，4}，{3，3，3}，共7个。
把每个“9的无序3拆分”看作一个样本点，用表示“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”，则中含有{1，4，4}，{2，3，4}和{3，3，3}，共3个样本点．
由于每个样本点被选中的机会相等，所以这些样本点是等可能发生的，所以“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”的概率．
19．（12分）
【解析】（1）因为底面为菱形，所以．
因为四棱柱为直四棱柱，所以平面．
因为平面，
所以．
因为，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
（2）方法一：
设交于点，连接，．
因为底面为菱形，
所以为中点．
因为为中点，
所以，．
又因为为的中点，，，
所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
方法二：
连接交于点．
因为底面为菱形，
所以为中点．
因为为点，所以，．
因为为中点，，，
所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
方法三：
取中点，连接，．
因为为中点，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
因为，，为中点，
所以四边形为平行四边形，
所以．
因为平面，平面，
所以平面．
因为，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
20．（12分）
【解析】（1）方法一：
由正弦定理知，已知条件可化为，
又在中，
所以，因为，所以，
又因为，所以．
方法二：
由余弦定理得，
所以即，
由余弦定理得，
因为，所以．
（2）方法一：
因为，
所以，得，
由知，，
所以，，
所以的周长为．
方法二：
因为，
所以，得，
由正弦定理得，
所以，，
所以，，
所以的周长为．
21．（12分）
【解析】（1）由已知条件可得，
由频率和为1得，
解得．
（2）方法一：
因为，所以问题转化为估计样本数据的第60百分位数，
因为，
，
所以第60百分位数在区间内，
设该生得分最低为，则，
解得，所以估计该生的得分至少达到86分。
方法二：
因为，所以问题转化为估计样本数据的第60百分位数，
因为，
，
所以第60百分位数在区间内，
则第60百分位数为（或写成），
所以估计该生的得分至少达到86分。
（3）由频率分布直方图可得
，
因为，
所以按照学校的预案，只需要发放学习资料即可。
22．（12分）
【解析】（1）过点分别作，，分别交，于，，连接，
则为二面角的平面角，
因为四边形为正方形，，
所以，，
由已知得，
所以．
（2）过点作，垂足为．
因为，平面，平面，
所以平面．
因为，，
所以．
因为，
所以平面．
因为平面，
所以．
因为，，平面，
所以平面，
所以为三棱锥的高，．
因为，
所以．
（3）方法一：
假设存在点．
①当点在线段上时，连接交于，
则，
所以．
因为平面，平面，
平面平面，
所以，
所以．
②当点在延长线上时，连接交于，
则，
所以．
因为平面，平面，
平面平面，
所以，
所以．
综上，在直线上存在点，使平面，的值为或．
方法二：
当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交于点，
因为，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
因为平面，平面平面，
所以．
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以．
当点在线段延长线上时，过点作交于，连接，过点作交于点．
因为，
所以平面平面．
因为平面，
所以平面．
因为平面，平面平面，
所以．
因为，，
所以，
所以，
所以．
所以．
综上，在上存在点使得平面，此时或．
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾的投放质量
400
200
100
可回收物的投放质量
30
140
30
其他垃圾的投放质量
20
20
60
分组
频率
0.25
0.30
0.20
0.25