2021长春二十中高一下学期期末考试数学试题含答案

高一数学

一、单选题(每题5分,共60分)

1．在△ABC中，，则△ABC是（）

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

2．平面向量与的夹角为60°，＝(2，0)，||＝1，则等于

A． B．2 C．4 D．12

3．设复数，则（　　）

A．1 B．2 C． D．

4．在复平面内，复数的共轭复数所对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（）

A．4 B．6 C．8 D．

6．如图，是统计某样本数据得到的频率分布直方图，已知该样本容量为300，则样本数据落在内的频数为（）

A．68 B．170 C．204 D．240

7．新型冠状爆发期间，某专家为了解广西某中学学生一天自主学习的时间(单位，小时)，随机抽查该校50名学生的学习时间；了解到以下数据：

根据频率分布表中的数据，可以估计该校50名中学生自主学习时间的平均值(精确到0.1)（）

A．4.7 B．4.6 C．4.5 D．4.4

8．从数字中任取三个不同的数字，则所抽取的三个数字之和能被整除的概率为（）

A． B． C． D．

9．在中，若，，，则等于（）

A． B．或 C． D．或

10．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（）

A．MNAB B．MN与BC所成的角为45°

C．OC平面VAC D．平面VAC平面VBC

11．直三棱柱，，，，分别为2，3，4，则它的外接球表面积为（）

A． B． C． D．

12．已知两个平面相互垂直，下列命题

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线

③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

其中正确命题个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（每题5分，共20分）

13．已知非零向量，，，则的最大值为______．

14．在△中，，，则_____________．

15．已知单位向量的夹角为.与垂直，则___________.

16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F依次是A1D1和B1C1的中点，则异面直线AE与CF所成角的余弦值为_____.

三、解答题（17题10分，其余各题均为12分，共70分）

17．某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有500名志愿者服用此药，结果如下：

如果另有一人服用此药，估计下列事件发生的概率：

（1）这个人的体重减轻了；

（2）这个人的体重不变；

（3）这个人的体重增加了.

18．在中，角分别对应边，已知，．角，求角．

19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求B的大小；

（2）若，求的面积．

20．如图，在中，，，，，.

（1）求的长；

（2）求的值．

21．如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.

（1）证明：BC面PAC；

（2）若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值.

22．如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

参考答案

1．C

2．B

3．D

4．D

5．C

6．C

7．A

8．C

9．D

10．D

11．B

12．A

13．13       14．       15．      16．

17．（1）；（2）；（3）.

18．

解：由正弦定理得，

即，解得，

因为，则必为锐角，

，

.

19．（1）；（2）.

20．（1）；（2）.

（1），，，

，，，.

；

（2），，

，

.

21．（1）证明见解析；（2）.

22．（1）证明见解析；（2）.

（1）设与相交于点，则为中点，连接，

∵为中点，∴，

又∵平面，∴平面；

（2）连接，则，

在正三棱柱中，平面，

则与到平面的距离相等，

∵为的中点，∴，

又平面平面，且平面平面，

∴平面，

在等边三角形中，由，得，

又正三棱柱的侧棱长为，∴，

∴.