2021湖南省湘中部分学校高一下学期期末考试数学试题含答案

湖南湘中2021年上学期高一期末大联考数学试卷

时量：120分钟   分值：150分

一、选择题（本大题共8小题，总分40分）

1．已知集合，则（    ）

A．      B．        C．     D．

2．若，则下列不等式成立的是（    ）

A．       B．        C．        D．

3．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线，则的解析式为（    ）

A．   B．   C．   D．

4．如图，在中，，，，是边上一点，且，则的值为（    ）

A．2              B．1

C．-2             D．-1

5．已知复数，则（    ）

A．5 B． 

C． D．2

6．如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（    ）

A． B． 

C． D．

7．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

8．已知在中，点在线段的延长线上，若，点在线段上，若，则实数的取值范围（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题满分5分，每小题少选按2分计算，多选或选错按0分计算）

9．下列函数中，在区间上单调递增的是

A． B． C． D．

10．如图，函数的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，的零点为，则（    ）

A．函数有3个零点

B．恒成立

C．函数有4个零点

D．恒成立

11．下列说法中正确的是

A．若事件与事件是互斥事件，则

B．若事件与事件是对立事件：则

C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件

D．把红､橙､黄3张纸牌随机分给甲､乙､丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件

12．点是正方体中侧面正方形内的一个动点，则下面结论正确的是（    ）

A．满足的点的轨迹为线段

B．点存在无数个位置满足直线平面

C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是

D．若正方体的棱长为1，三棱锥的体积的最大值为

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．若关于x的不等式的解集是，则m等于________．

14．若幂函数的图象经过点，则的值是______.

15．从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是____.

16．在中，，，，M是所在平面上的动点，则的最小值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，第17题满分10分，其余每题满分12分）

17．已知.

（1）求与的夹角；

（2）求.

18．在中，设角，，的对边长分别为，，，已知.

（1）求角的值；

（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围.

19．已知关于的方程在复数范围内的两根为、．

（1）若p=8，求、；

（2）若，求的值．

20．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人为了解全校学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生"按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：，，，，，得其频率分布直方图如图所示.

（1）估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数是多少；

（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；

（3）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？

21．如图1，在直角梯形中，，，且.现以为一边向梯形外作矩形，然后沿边将矩形翻折，使，如图2.

（1）求证：平面；

（2）若多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值.

22.已知向量，设.

（1）求函数的增区间；

（2）若，求的值.

湖南湘中2021年上学期高一期末大联考数学答案

一、选择题（本大题共8小题，共40分）

1．A

【分析】

根据集合的并集运算可得选项．

【详解】

因为，所以，

故选：A．

2．D

【分析】

利用列举法排除A，B；利用作差法排除选项C，进而得出正确选项．

【详解】

取，，则，排除A，B；因为，则，，从而.又，即，则，所以，

故选：D.

3．A

【分析】

直接利用函数的图象平移变换与放缩规律，即可得出结论．

【详解】

将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线的图象；

再将上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线的图象，

故选：．

【点睛】

本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.

4．C

【分析】

利用平面向量的加减法结合平面向量的数量积定义计算即可．

【详解】

，

故选：C.

5．C

【分析】

先求出，再根据复数模的求法即可求得结果

【详解】

由复数，得，

所以.

故选：C.

6．D

【分析】

利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解.

【详解】

因为是等腰直角三角形，，所以，

所以原平面图形为：

且，，

所以原平面图形的面积是，

故选：D

7．A

【分析】

首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.

【详解】

设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，

则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；

新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；

新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；

故选A.

点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.

8．A

【分析】

如图设，，则，即可得到，从而求出参数的取值范围.

【详解】

解：如图设，

则

则

故选：

【点睛】

本题考查向量的线性运算及向量相等，属于中档题.

二.多项选择题（本大题共4小题,每小题满分5分,少选按2分计算。多选或选错不能得分）

9．ABC

【分析】

根据基本初等函数的单调性，对选项进行逐一判断即可.

【详解】

选项A，在上单调递增，所以A正确.

选项B，在上单调递增，所以B正确.

选项C，在上单调递增，所以C正确.

选项D，在上单调递减，所以D不正确.

故选：ABC.

【点睛】

本题考查基本初等函数的单调性，属于基础题.

10．BCD

【分析】

对于A，由图像求出的解析式，则有，又，从而可得函数的零点个数，对于B，由图可知，对于C，由，可判断结论；对于D，令，从而可求出方程的根，

【详解】

当时，设，因为，所以.由此得，又，所以只有1个零点，所以A错误；

由题可知射线经过点，，则射线的方程为.由图可知，所以B正确；

因为，所以有4个零点，所以C正确；

令，则该方程的解为，，，

，令，

则，故恒成立，所以D正确，

故选：BCD

【点睛】

关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是利用待定系数法根据函数图像求出函数解析式，考查计算能力，属于中档题

11．ABC

【分析】

由对立事件和互斥事件的定义可依次判断各个选项得到结果.

【详解】

事件与事件互斥，则不可能同时发生，，正确；

事件与事件是对立事件，则事件即为事件，，正确；

事件“至少两次中靶”与“至多一次中靶”不可能同时发生，且二者必发生其一，故为对立事件，正确；

“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红牌”，故不是互斥事件，错误.

故选：.

【点睛】

本题考查对立事件和互斥事件的辨析，考查对于基础定义的理解，属于基础题.

12．ABD

【分析】

对于A，由正方体的性质和可得平面，从而可得点在线段上时，有；对于B，由正方体的性质可得平面∥平面，所以当点在上时，均有平面，从而可判断；对于C，异面直线与所成的角是，当在线段上运动时，点取的中点时，最小，其正切值为，从而可判断；对于D，由正方体的性质得，平面，若正方体的棱长为1，则点与重合时，三棱锥的体积取得最大，从而可求出其体积

【详解】

解：对于A，如图，在正方体中，平面，平面，所以，因为，，所以平面，所以当点在线段上时，有，所以点的轨迹为线段，所以A正确；

对于B，在正方体中，因为∥，平面，平面，所以∥平面，同理∥平面，而，所以平面∥平面，所以当点在上时，均有平面，所以点存在无数个位置满足直线平面，所以B正确；

对于C，异面直线与所成的角是，当在线段上运动时，点取的中点时，最小，其正切值为，所以不存在点，使异面直线与所成的角是，所以C错误；

对于D，由正方体的性质得，平面，若正方体的棱长为1，则点与重合时，三棱锥的体积取得最大，其值为，所以D正确，

故选：ABD

【点睛】

关键点点睛：此题考查以正方体为模型判断线线垂直，线面平行，求异面直线所在的角等，解题的关键是正确利用正方体的性质，属于中档题

三、填空题（本大题共8小题，共40.0分）

13．2

【分析】

利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理关系求.

【详解】

解：∵的解集是，

∴，

是相应方程的两根，

，解得：或（舍）

故答案为：2．

14．

【分析】

设出幂函数，（α为常数），把点代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可 求的值．

【详解】

设幂函数为，因为幂函数的图象经过点，

所以，解得：，于是所求的幂函数为：，

故，

故答案为：.

【点睛】

本题考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法，属于基础题．

15．

【分析】

基本事件总数n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．

【详解】

解：从2个男生、3个女生中随机抽取2人，

基本事件总数n＝＝10，

抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝＝7，

∴抽中的2人不全是女生的概率p＝．

故答案为．

【点睛】

本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

16．

【分析】

以A为原点，AC所在直线为x轴，建系，如图所示，根据题意，可得A、B、C坐标，设，可得的坐标，根据数量积公式，可得的表达式，即可求得答案.

【详解】

以A为原点，AC所在直线为x轴，建立坐标系，如图所示：

因为，，，

所以，设，

则，

所以

=，

当时，有最小值，且为，

故答案为：

【点睛】

解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，第17题满分10分，其余每题满分12分）

17．（1）；（2）.

【分析】

（1）由已知可以求出的值，进而根据数量积的夹角公式，求出，进而得到向量与的夹角；

（2）要求，我们可以根据（1）中结论，先求出的值，然后开方求出答案．

【详解】

（1），，

，

，

∴，∴，

∴向量与的夹角.

（2），

.

【点睛】

掌握平面向量数量积运算定律及定义是解题的关键．

18．（1）；（2）.

【分析】

（1）利用已知和正弦定理化简，结合余弦定理可得角的值；

（2）由于，，利用正弦定理，可得，以及的面积，利用为锐角三角形，可得面积的取值范围．

【详解】

（1）由已知及正弦定理，得，即，即，即.

由余弦定理，得，因为，所以.

（2）因为，，由正弦定理，得

.

所以.

因为为锐角三角形，则，从而，所以.

19．（1），；（2）．

【分析】

（1）利用求根公式即可求解.

（2）将代入方程即可求解.

【详解】

（1）由题意得，，

∴，

∴，．

（2）已知关于x的方程的一根为，

所以，

所以，解得．

20．（1）人；（2）；（3）该校需要增加初中学生课外阅读时间.

【分析】

（1）先利用分层抽样确定初中生和高中生的人数，再利用频率分布直方图求解初中生和高中生阅读时间在小时内频率，即可得出结果；（2）先求出阅读时间不足10个小时的初中生和高中生的人数，再利用列举法求出总的事件个数和满足题意的事件个数，利用古典概率模型求解即可；（3）利用频率分布直方图求解出平均数，判断即可得出结论.

【详解】

解：（1）由分层抽样知，抽取的初中生有名，

高中生有名，

初中生中，阅读时间在小时内的频率为

，

∴所有的初中生中，阅读时间在小时内的学生约有人；

同理，高中生中，阅读时间在小时内的频率为

，

学生人数约有人，

该校所有学生中，阅读时间在小时内的学生人数约有人.

（2）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少抽到2名初中生”为事件A，

初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，

样本人数为人；

高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，

样本人数为人

记这3名初中生为A､B､C，这2名高中生为d､e，

则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共10种，

即：，，，，，，，，，；

而事件A的结果有7种，

它们是：，，，，，，；

∴至少抽到2名初中生的概率为；

（3）初中生平均每阅读时间(小时)，

(小时)，

因为，该校需要增加初中学生课外阅读时间.

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概率模型概率的求法，考查了利用频率分布直方图求解平均数的问题，考查了运算求解能力.属于中档题.

21．（1）证明见解析；（2）；

【分析】

（1）根据线面垂直的判定有面，由线面垂直的性质得，结合勾股定理，线面垂直的判定可证平面；

（2）由题设可求，过D作于G，连接CG，则直线与平面所成角的平面角为，利用勾股定理、直角三角形的面积求、，再由余弦定理求，进而可得其正弦值.

【详解】

（1）由题设，，，知：，即，又，，

∴面，面，则，

∵直角梯形中，，

∴，，有，

∴，而，

∴平面.

（2）若，由多面体的体积为，而，

∴，即，则，

过D作于G，连接CG，则直线与平面所成角的平面角为，

由（1）知：，且，而，

∴，则，又，

∴在△中，，则.

【点睛】

关键点点睛：

（1）根据勾股定理、线面垂直的判定及性质证明线面垂直；

（2）利用线面角的定义构造其平面角，综合应用勾股定理、三角形面积、余弦定理及同角三角函数关系求其正弦值.

22．（1）增区间为（2）

【分析】

（1）由向量的数量积的运算公式和三角函数恒等变换，得到，再结合三角函数的性质，即可求解.

（2）由（1）知，根据因为，求得，进而求得的值.

【详解】

（1）由题意，函数

令，解得

所以函数的增区间为.

（2）由（1）可知，

因为，

可得，

解得，因为，所以，

所以.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及三角函数的化简求值，其中解答中涉及到向量的数量积的运算，以三角恒等变换的应用，同时熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.