2021南宁三中、北海中学高一下学期6月联考数学试题含答案

南宁三中  北海中学 2020级高一6月联考

数学试题

一、选择题 （本题共12小题，每小题有且仅有一个正确答案，每小题 5 分 ，共60分）  

1．下列命题正确的是（    ）

 A．铺得很平的一张纸是一个平面 B．四边形一定是平面图形

 C．三点确定一个平面 D．梯形可以确定一个平面

2．已知向量，，若，则实数m的值为（    ）

 A．4 B． C．1 D．

3．的值是（    ）

 A．     B．     C． D．

4．由首项a1＝1，公比q＝2确定的等比数列{an}中，当an＝64时，序号n等于（    ）

 A．4        B．5        C．6        D．7

5．某圆锥的侧面展开图是面积为且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（    ）

 A． B．  C． D．

6．当时，若，则的值为（    ）

 A． B． C． D．

7．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

 A． B． 

 C． D．8

8．已知变量，满足约束条件则的最大值为（    ）

 A． B．1 C． D．

9．三棱锥中，平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

 A． B． C． D．

10．已知直三棱柱中，，，且直线A1B与平面ABC所成的角为，D为的中点，则异面直线与AD所成角的余弦值为（    ）

 A． B． C． D．

11．已知数列的通项公式是，其中的部分图象如图所示，为数列的前n项和，

则的值为（    ）

 A． B． 

 C． D．

12．已知数列（其中第一项是，接下来的项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，下列判断：

 ①是的第项；②存在常数，使得恒成立；

 ③；             ④满足不等式的正整数的最小值是.

其中正确的序号是（    ）

 A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④

二、 填空题（本题共4小题，每小题 5分，共20分 ）

13．在中，边所对的角分别为，若，则______．

14．函数的定义域是，则实数的取值范围是________．

15．已知等差数列，正整数，，，满足，则的取值范围是___________.

16．给出下列说法：

 ①和直线都相交的两条直线在同一个平面内；

 ②三条两两相交的直线一定在同一个平面内；

 ③有三个不同公共点的两个平面重合；

 ④两两相交且不过同一点的四条直线共面．

 其中正确说法的序号是______ ．

三、 解答题 （本题共 6 小题，共70分）

17．（本小题满分10分）记为等差数列的前项和，已知，.

（1）求公差及的通项公式；

（2）求，并求的最小值.

18．（本小题满分12分）已知向量，，函数．

（1）求函数的单调增区间；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．

19．（本小题满分12分）在正方体中，是棱的中点．

（1）求证：平面；  

（2）若是棱的中点，求证：平面平面．

20．（本小题满分12分）在三棱锥中，，，是线段的中点，是线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

21．（本小题满分12分）在中,角对应边分别为,若.

（1）求角；

（2）若，求的取值范围.

22．（本小题满分12分）已知数列，满足，为数列的前项和，记的前项和为，的前项积为，且.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若，对任意自然数，都有，求实数的取值范围.

南宁三中  北海中学 2020级高一6月联考

数学试题答案

1．D   A：平面是一个无限延展的面，而一张纸只是平面图形，错误；B：若四个顶点不共面，四边形不是平面图形，错误；C：三点共线时有无数个平面，错误；D：梯形是一个平面图形，故可以确定一个平面，正确.

2．B   解：因为，所以，解得：.

3．D 

       .

4．D   因为数列{an}为等比数列，所以an＝a1·qn－1＝2n－1＝64，解得n＝7.

5．B   设圆锥底面的半径为，母线长为，则侧面展开图的面积为，则，

又因为圆心角为，所以，解得 ，所以圆锥的高为，故圆锥的体积为.

6．B    ∵∴∵，

∴，∴.

7．C  由给定的三视图知，这个几何体是四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面ABCD，如图：四棱锥P-ABCD的高PA=2，底面ABCD面积为S=AB2=4，则该几何体体积为.

8．D  不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（包括边界）．作出直线并平移，数形结合可知当平移后的直线经过点时取得最大值．由得故，所以．

9．C  因为，所以的外接圆的半径3，其外接圆的圆心为其斜边的中点，三棱锥中，平面ABC，所以，作平面，并且取，所以点是三棱锥的外接球的球心，连结，则，所以三棱锥外接球的表面积为.

10．A因为三棱柱是直三棱柱，则平面，所以即为直线A1B与平面ABC所成的角，所以，所以， 取中点，中点，连接，则，，所以或其补角即为异面直线与AD所成角，设，则，，在中， ， 在中，，，∴，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线与AD所成角的余弦值为      .

11．D  观察图象知：函数周期为T，，，又，而，则，所以，，数列是周期数列，周期为6，其前6项依次为，则，，则.

12．B由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项，将数列中的项排成数阵，且使得第行每项的分母为，该行有项，如图所示，

对于命题①，位于数阵第行最后一项，对应于数列的项数为，命题①正确；对于命题②，数阵中第行各项之和为，则，且数列的前项之和为，当时，，因此，不存在正数，使得，命题②错误；对于命题③，易知第行最后一项位于数列的项数为，第行最后一项位于数列的项数为，且，则位于数阵第行第项（即），所以

，命题③错误；由①知 ，，且，则恰好满足的项位于第行，假设位于第项，则有，可得出，由于，，则，，因此，满足的最小正整数，命题④正确．

13．   ，，，

，又，所以，，，，，，.

14．[0，＋∞)  因为函数的定义域是，当m＝0时，符合题意；当m≠0时，由题意知mx2－2mx＋m＋2≥0对x∈R恒成立，则， 解得m＞0.综上，m≥0.所以实数的取值范围是[0，＋∞).

15．   由为等差数列，且，则，所以，当且仅当时，取等号，又，所以，即，所以，故的取值范围是.

16．④  如图，在正方体中，，，但是 异面，故①错误.又交于点，但不共面，故②错误.如果两个平面有3个不同公共点，且它们共线，则这两个平面可以相交，故③错误.如图，因为，故共面于，因为，故，故即，而，故，故即即共面，故④正确.

17．（1）设的公差为，由题意得.由得.

所以的通项公式为.(5分)

(2)由(1)得.所以时取得最小值，最小值为. (10分)

18.（1）

(3分)

由，得

∴的单调增区间是(6分)

（2）由（1）知在上单调递增，

∴当时，；当时，.(10分)

由题设可得解得，∴的取值范围是(12分)

19．（1）连，使，连．(1分)

∵是正方形，，．

又是中点，，(4分)，

又平面，平面，∴平面． (6分) 

（2）∵是棱的中点，是棱的中点，

且,所以四边形是平行四边形(8分)

,又平面,平面，平面.  (10分)

由(1)平面,又，∴平面//平面.   (12分)

20．（1）由，，有，从而有，且.

又是边长等于的等边三角形，

(2分)，.

又，从而有，

，.(4分)

又，平面.(6分)

（2）过点作交于点，连.由（1）知平面，得，

又，平面，是直线与平面所成的角.(9分)

由（1）证，从而为线段的中点，，

，，

直线与平面所成的角的正弦值是.(12分)

21.解：（1）∵，

∴由正弦定理可得，(2分)

∴，∴，

∴，∵，∴，∴；(6分)

（2）由题意：，∴由余弦定理(8分)

则3（当且仅当时取等号），即，

∴.∵，∴.(12分)

22.解：（1）∵，(2分)

.∵，∴，(4分)

∵，∴.(5分)

∵，∴，∴.(6分)

（2）∵，，∴.∵，

∴，∴，∴，.(8分)

∵

两边同乘以(时，)，

∴条件不等式等价于(10分)，

∴当n为偶数时，恒成立，当时，，故；

当 n为奇数时，恒成立，当时，，故；

故.(12分)