2021信阳高级中学高一下学期6月月考数学试题含答案

信阳高级中学2020—2021学年高一月考（6月）

数学

一、选择题（共12小题）

1．下列各式中值为的是（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，且，则（    ）

A．    B．    C．    D．

3．如图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（    ）

A．平均数为74

B．众数为60或70

C．中位数为75

D．该校数学月考成绩80以上的学生约占25%

4．某校为了了解高一年级900名新生的身体素质，将这些学生编号为001，002，…，900，用系统抽样的方法抽出60名学生进行体质测试，若编号为004，079，095，634，754的5名学生中有1名没有被抽到，则这个编号是（    ）

A．004    B．079    C．095    D．964

5．设，记，则的大小关系为（    ）

2

A．   B．   C．   D．

6．执行如图所示的程序框图，若输入的值为2019，则（    ）

A．    B．    C．    D．1

7．己知向量，若，则在上的投影为（    ）

A．1    B．    C．    D．

8．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用．0.618就是黄金分割比：的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（    ）

A．    B．   C．2    D．4

9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A．   B．   C．（   D．

10．点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（    ）

A．的最小正周期是

B．的值为2

C．的初相为

D．在上单调递增

11．如图所示．在梯形中，．分别为边的中点，则（    ）

A．    B．    C．3    D．4

12．函数的所有零点之和等于（    ）

A．2    B．4    C．6    D．8

二、填空题（共4小题）

13．将七进制数转化为八进制数为______．

14．______．

15．若实数满足，则的最小值______．

16．已知实数，若函数的最大值为，则的值为______．

三、解答题（共6小题）

17．己知，且．

（1）求的值；

（2）求的值．

18．己知直线，直线

（1）若先后抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的数字依次记为，求“”的概率；

（2）若为实数，且，求直线与的交点在第一象限的概率．

19．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中，

（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；

（3）己知这种产品的年利润与、的关系．根据（2）的结果要求：年宣传费为何值时，年利润最大？

附：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．

20．如图，在底面是正方形的四棱锥中，，点在上，且．

（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得?证明你的结论；

（Ⅱ）求二面角的平面角的大小．

21．已知函数），直线是图象的一条对称轴．

（1）求的单调递减区间；

（2）己知函数的图象是由图象上的各点的横坐标伸长到原来的4倍，然后再向左平移个单位长度得到，若，求的值．

22．在平面直角坐标系中，为坐标原点，三点满足．

（1）求证：三点共线，并求的值；

（2）己知，且函数的最小值为，求实数的值．

高一数学月考试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：

DDDCD  BAACD  BC

二、填空题

13．；14．；15．81；16．．

三、解答题（共6小题）

17．解：（1）∵已知，且，平方可得，

∴，

解得

∴，故．

（2）．

18．解：（1）先后抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子向上的数字依次记为，基本事件有：

共36个基本事件．设“”为事件

∵时与重合，

∴事件只包含两个基本事件，

∴．

（2）解得直线，直线的交点为

∵，

∴试验全部结果构成的区域为是个矩形，，

∵，

∴，设“直线与的交点在第一象限”为事件，

只要满足条件，所以构成事件的区域如图阴影部分，

其面积，

∴

19．【解答】解：（1）根据散点图判断，

更适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；

（2）令，，

由表可知：，

；

所以关于的回归方程为：

；

（3）由（2）可知：

年利润

；

所以当，

即时，年利润最大．

故年宣传费为46.24千元时，年利润最大．

20．解：（Ⅰ）当是棱的中点时，，证明如下，

取的中点，连接，则．①

由，知是的中点．

连接、，设，则为的中点．

所以．②

由①、②知，．

又，所以．

（Ⅱ）作交于，

由，知．

作于，连接，则，即为与为面的二面角的平面角．

又，所以，

从而，∴．

∵，

∴

∵，

∴

∴二面角的平面角的大小为与为面的二面角的平面角的余角

∴二面角的平面角的大小为

21．解：

．

（1）∵直线是图象的一条对称轴，

∴，即，

∴，解得．

∵，∴，

∴．

由，可得，

∴的单调递减区间为．

（2）由（1）知，，

∴．

∵，∴，∴．

又，∴．

∴

．

22．（1）证明：∵，

∴，

∴，

∵有公共点，

∴三点共线，

∴；

（2）∵，

∴，

∴，

又，

∴，

设，

∵，

∴，

∴，

当，即时，无最小值，不合题意，

当时，当时，，解得，

当时，当时，，解得，不合题意，

综上所述，．