07填空题（中档题） 2022年中考数学冲刺复习分题型分层专练（通用版）

这是一份07填空题（中档题） 2022年中考数学冲刺复习分题型分层专练（通用版），共27页。

07填空题（中档题）
二十一．圆周角定理（共1小题）
31．（2022•宝山区模拟）如图，AB是⊙O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D．如果BC＝2，DE＝1，那么AB的长为 　 　．

二十二．点与圆的位置关系（共1小题）
32．（2022•宝山区模拟）已知圆O的半径为5，点A在圆O外，如果线段OA的长为d，那么d的取值范围是 　 　．
二十三．三角形的外接圆与外心（共1小题）
33．（2022•虹口区二模）半径为4的圆的内接正三角形的边长为 　 　．
二十四．直线与圆的位置关系（共2小题）
34．（2022•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，CD为AB边上的中线，CD＝5，以点B为圆心，r为半径作⊙B．如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点，那么⊙B的半径r的取值范围为 　 　．

35．（2022•青浦区二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E是AD上一定点，AB＝3，BC＝6，AD＝8，AE＝2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 　 　．

二十五．正多边形和圆（共1小题）
36．（2022•浦东新区二模）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n＝　 　．
二十六．作图—基本作图（共1小题）
37．（2022•盐城二模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝　 　．

二十七．翻折变换（折叠问题）（共4小题）
38．（2022•松江区校级模拟）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，，将△ABC翻折，使点C与点A重合，折痕DE交边BC于点D，交边AC于点E，那么的值为 　 　．

39．（2022•黄浦区二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ADC＝60°，BC＝3AD．将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，联结AB′交BC于点E，那么的值为 　 　．

40．（2022•青浦区二模）如图，已知在△ABC中，AB＝13，BC＝15，sinB＝，D是边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，如果DE∥AB，那么点E与点B的距离等于 　 　．

41．（2022•普陀区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F．如果∠DAB＝∠BAF，那么BF＝　 　．

二十八．旋转的性质（共3小题）
42．（2022•黄浦区二模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，将△ABC绕着点A旋转，点C恰好落在AB的中点上，设点B旋转后的对应点为点D，则CD的长为　 　．
43．（2022•宝山区模拟）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，sinA＝，把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转．将点A、B的对应点分别记为点A′、B′，如果△AA′B′为直角三角形，那么点A与点A′的距离为 　 　．

44．（2022•宝山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanC＝．将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△AB′C′（点B，C的对应点分别为点B′，C′），延长C′B′分别交AC、BC于点D、E，如果DE＝2，那么AD的长为 　 　．

二十九．相似三角形的判定与性质（共5小题）
45．（2022•宝山区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE交BD于点F，那么S△ABF：S四边形CDFE的比值为 　 　．

46．（2022•松江区校级模拟）如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE∥BC，BD＝2AD，那么S△DEB：S△EBC＝　 　．

47．（2022•普陀区二模）如图，▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFB：S四边形FEDC的值为 　 　．

48．（2022•普陀区二模）如图，线段AD与BC相交于点G，AB∥CD，＝，设＝，＝，那么向量用向量、表示是 　 　．

49．（2022•普陀区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得△ADE，点B落在点D处，点C落在点E处，联结BE、CD，作∠CAD的平分线AN，交线段BE于点M，交线段CD于点N，那么的值为 　 　．

三十．解直角三角形（共1小题）
50．（2022•普陀区模拟）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为 　 　．

三十一．用样本估计总体（共1小题）
51．（2022•嘉定区二模）为了解某中学九年级学生的上学方式，从该校九年级全体300名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有5名学生“骑共享单车上学”．由此，估计该校九年级全体学生中约有 　 　名学生“骑共享单车上学”．
三十二．频数与频率（共1小题）
52．（2022•长宁区二模）已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频率是　 　．
三十三．条形统计图（共1小题）
53．（2022•普陀区模拟）对某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，会议中每人发一瓶500毫升的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，分为四种情况：A．全部喝完；B．喝剩约；C．喝剩约一半；D．开瓶但基本未喝．根据统计结果绘制如下的两个统计图（不完整），则情况“C”所在扇形的圆心角度数为　 　．

三十四．加权平均数（共1小题）
54．（2022•浦东新区二模）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是　 　株．
植树株数（株）
5
6
7
小组个数
3
4
3
三十五．概率公式（共2小题）
55．（2022•虹口区二模）女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%．现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是　 　．
56．（2022•浦东新区二模）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是　 　．
三十六．列表法与树状图法（共1小题）
57．（2022•徐汇区二模）一个不透明的袋中只装有1个黑球和2个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个，颜色是一黑一白的概率是 　 　．

参考答案与试题解析
二十一．圆周角定理（共1小题）
31．（2022•宝山区模拟）如图，AB是⊙O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D．如果BC＝2，DE＝1，那么AB的长为 　6　．

【解答】解：设OB＝r，则OD＝r﹣1，
∵E是弧BC的中点，OE过圆心O，BC＝2，
∴OE⊥BC，BD＝CD＝，
∴∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
（r﹣1）2+（）2＝r2，
解得：r＝3，
即OB＝3，
∴AB＝3+3＝6，
故答案为：6．
二十二．点与圆的位置关系（共1小题）
32．（2022•宝山区模拟）已知圆O的半径为5，点A在圆O外，如果线段OA的长为d，那么d的取值范围是 　d＞5　．
【解答】解：∵点A在圆外，
∴d＞5，
故答案为：d＞5．
二十三．三角形的外接圆与外心（共1小题）
33．（2022•虹口区二模）半径为4的圆的内接正三角形的边长为 　4　．
【解答】解：如图所示：

∵半径为4的圆的内接正三角形，
∴∠ADB＝90°，OB＝4，∠OBD＝30°，
∴BD＝cos30°×OB＝×4＝2，
∵BD＝CD，
∴BC＝2BD＝4，
即它的内接正三角形的边长为4．
故答案为：4．
二十四．直线与圆的位置关系（共2小题）
34．（2022•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，CD为AB边上的中线，CD＝5，以点B为圆心，r为半径作⊙B．如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点，那么⊙B的半径r的取值范围为 　5＜r≤6或r＝　．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，CD＝5，
∴AB＝10，CD＝BD＝5，
∵cosA＝＝，
∴AC＝8，
∴BC＝＝＝6，
∴CD边的高＝6×8÷2÷2×2÷5＝，
∵⊙B与中线CD有且只有一个公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围为5＜r≤6或r＝．
故答案为：5＜r≤6或r＝．
35．（2022•青浦区二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E是AD上一定点，AB＝3，BC＝6，AD＝8，AE＝2．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 　＜PC≤4或PC＝3　．

【解答】解：根据题意可知：PC的最小值为圆P与AD相切，切点为M，如图所示：

∴PM⊥AD，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝∠A＝90°，
∴四边形ABPM是矩形，
∴PM＝AB＝PC＝3，
PC最大值为圆P′与圆E内切，切点为Q，
∴P′C＝P′Q＝P′E+EQ＝3+1＝4，
当PC＝PA时，此时圆P与线段AD开始有2个交点，不符合题意，
设PC＝PA＝x，则BP＝BC﹣PC＝6﹣x，AB＝3，
∴（6﹣x）2+9＝x2，
∴x＝，
则PC长度的取值范围是＜PC≤4或PC＝3．
故答案为：＜PC≤4或PC＝3．
二十五．正多边形和圆（共1小题）
36．（2022•浦东新区二模）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n＝　6　．
【解答】解：∵正n边形的一个内角和＝（n﹣2）•180°，
∴正n边形的一个内角＝，
∵正n边形的中心角＝，
∴＝2×，
解得，n＝6．（经检验可知n＝6是原方程的解）
故答案为：6．
二十六．作图—基本作图（共1小题）
37．（2022•盐城二模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝　105°　．

【解答】解：如图所示：
∵MN垂直平分BC，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB
∵CD＝AC，∠A＝50°，
∴∠CDA＝∠A＝50°，
∵∠CDA＝∠DBC+∠DCB，
∴∠DCB＝∠DBC＝25°，∠DCA＝180°﹣∠CDA﹣∠A＝80°，
∴∠ACB＝∠DCB+∠ACD＝25°+80°＝105°．
故答案为：105°．

二十七．翻折变换（折叠问题）（共4小题）
38．（2022•松江区校级模拟）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，，将△ABC翻折，使点C与点A重合，折痕DE交边BC于点D，交边AC于点E，那么的值为 　　．

【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，连接AD．

由翻折可知，AE＝CE，DE⊥AC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，BF＝CF．
设AF＝x，
在Rt△ABF中，tan∠B＝，
∴BF＝CF＝2x，
∴AB＝AC＝x，
在Rt△CDE中，tan∠C＝tan∠B＝，
∵CE＝，
∴DE＝，
∴，
则BD＝BC﹣CD＝2BF﹣CD＝，
∴．
故答案为：．
39．（2022•黄浦区二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ADC＝60°，BC＝3AD．将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，联结AB′交BC于点E，那么的值为 　　．

【解答】解：过A作AF⊥BC于F，过B′作B′G⊥BC于G，如图：

∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝120°，
∵△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，
∴∠ADB′＝120°，∠CDB′＝60°，B′D＝BD，
∵BC＝3AD，AD是BC边上的中线，
∴设AD＝m，则BC＝3m，BD＝B′D＝m，
Rt△ADF中，DF＝AD•cos60°＝m，AF＝AD•sin60°＝m，
∴BF＝BD+DF＝2m，CF＝BC﹣BF＝m
Rt△B′DG中，DG＝B′D•cos60°＝m，B′G＝B′D•sin60°＝m，
∴FG＝DG﹣DF＝m，
∵AF⊥BC，B′G⊥BC，
∴AF∥B′G，
∴＝＝，
∵FE+GE＝FG＝m，
∴FE＝m，
∴BE＝BF+EF＝m，CE＝CF﹣EF＝m，
∴＝＝，
故答案为：．
方法二：如图：

∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
∵将△ABD沿直线AD翻折，点B落在平面上的B′处，
∴B'D＝BD＝CD，
∵∠ADC＝60°，
∴∠ADB＝∠ADB'＝120°，
∴∠CDB'＝60°，
∴△CDB'是等边三角形，
∴B'C＝CD＝BD，∠B'CD＝60°，
∴∠B'CD＝∠ADC＝60°，AD∥B'C，
∴，
由BC＝3AD，设AD＝2m，则BC＝6m，B'C＝CD＝BD＝3m，
∴，
∴CE＝CD＝m，DE＝CD＝m，
∴BE＝BD+DE＝m，
∴＝＝，
故答案为：．
40．（2022•青浦区二模）如图，已知在△ABC中，AB＝13，BC＝15，sinB＝，D是边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，点C落在点E处，如果DE∥AB，那么点E与点B的距离等于 　5．　．

【解答】解：如图，作AF⊥BC垂足为F，

∵sinB＝＝，
∵AB＝13，
∴AF＝5，
∴BF＝＝12，
∵BC＝15，
∴CF＝BC﹣BF＝15﹣12＝3，
∴AC＝＝，
∴sinC＝＝，
如图，过点A作AH⊥ED延长线于点H，

∵DE∥AB，
∴四边形AHEB是直角梯形，
过点E作EG⊥AB于点G，得矩形AHEG，
∴EG＝AH，AG＝EH，
在Rt△AEH中，∠AHE＝90°，
∵△ADE是由△ADC翻折，
∴∠ACB＝∠AEH，AE＝AC＝，
∴AH＝AE•sin∠AEH＝AE•sin∠ACB＝×＝5，
∴EG＝AH＝5，
∴AG＝EH＝＝＝3，
∴BG＝AB﹣AG＝13﹣3＝10，
∴BE＝＝＝5．
∴点E与点B的距离等于5．
故答案为：5．
41．（2022•普陀区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F．如果∠DAB＝∠BAF，那么BF＝　2﹣2　．

【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵△ADC′是将△ABC沿直线AD翻折得到的，
∴∠CAD＝∠C′AD，
∵∠DAB＝∠BAF，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝15°，
∵∠ABF＝135°，
∴∠F＝30°，
∴CF＝＝＝2，
∴BF＝CF﹣BC＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．

二十八．旋转的性质（共3小题）
42．（2022•黄浦区二模）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，将△ABC绕着点A旋转，点C恰好落在AB的中点上，设点B旋转后的对应点为点D，则CD的长为　3　．
【解答】解：如图：过点D作DF⊥AC于F，交CA的延长线于F．

由旋转可得△ACB≌△AED，AC＝AE，
∵AC＝3，E是AB的中点，
∴AE＝BE＝AC＝3，即AB＝AD＝6．
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠DAE＝60°，
∴∠FAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°．
在Rt△FAD中，AF＝AD＝3，DF＝＝3，
∴FC＝3+3＝6，
在Rt△FCD中，DC＝＝3．
故答案为：3．
43．（2022•宝山区模拟）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，sinA＝，把△ABC绕着点C按顺时针方向旋转．将点A、B的对应点分别记为点A′、B′，如果△AA′B′为直角三角形，那么点A与点A′的距离为 　或，　．

【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，sinA＝，
∴＝，
∴BC＝3，
∴AB＝＝4，
∴sin∠ABC＝＝，cos∠ABC＝，
∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，
∴B′C＝BC＝3，A′C＝AC＝4，A′B′＝AB＝5，
①当∠A′AB′＝90°时，如图，过点C作CD⊥AA′，

∵∠CBA+∠CAB＝90°，∠A′AB′＝∠BAC+∠CAA′＝90°，
∴∠CAA′＝∠CBA，
∴AD＝AC•cos∠A′AC＝4×＝，
∵AC＝A′C，
∴AA′＝2AD＝；
②当∠AB′A′＝90°时，如图，过点C作CE⊥AB′，

∵∠AB′A′＝90°，
∴∠A′B′C+∠CB′A＝90°，∠A′B′C+∠B′A′C＝90°，
∴∠CB′A＝∠CA′B′＝∠CAB，
∴sin∠CB′E＝sin∠CAB＝，cos∠CB′E＝cos∠CAB＝，
∴CE＝B′C•sin∠CB′E＝3×＝，B′E＝BC•cos∠CB′E＝3×＝，
在Rt△CEA中，AC＝4，CE＝，
∴AE＝＝＝，
∴AB′＝AE+B′E＝，
在Rt△AB′A′中，
AA′＝＝＝，
③当∠AA′B′＝90°时，如图，过点C作CF⊥AA′，

∵∠AA′B′＝90°，
∴∠B′A′C+∠CA′A＝90°，∠A′B′C+∠B′A′C＝90°，
∴∠A′B′C＝∠CA′A＝∠ABC，
∴cos∠CA′F＝cos∠ABC＝，
∵CA′＝CA＝4，
∴AA′＝2A′F＝2×A′C•cos∠CA′F＝2×4×＝，
综上所述，AA′＝或，
故答案为：或．
44．（2022•宝山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tanC＝．将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△AB′C′（点B，C的对应点分别为点B′，C′），延长C′B′分别交AC、BC于点D、E，如果DE＝2，那么AD的长为 　14　．

【解答】解：过点E作EF⊥AC于点F，连接AE，

∵tanC＝＝，
设AB＝a，BC＝2a，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△AB′C′，
∴AB＝AB'＝a，∠C＝∠C'，∠BAB'＝60°，
∵AB＝AB'，AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AB'E（HL），
∴∠BAE＝∠B'AE＝30°，
∴BE＝EC＝a，
∵tanC＝＝，
∴EF＝a，
∵∠AB'D＝∠EFD＝90°，∠EDF＝∠ADB'，
∴△EDF∽△ADB'，
∴，
∴，
∴AD＝14，
故答案为：14．
二十九．相似三角形的判定与性质（共5小题）
45．（2022•宝山区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE交BD于点F，那么S△ABF：S四边形CDFE的比值为 　2：5　．

【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S△ABD＝S△BCD，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴AD：BE＝DF：BF＝AF：EF，
∵E是BC的中点，
∴AD：BE＝DF：BF＝AF：EF＝2：1，
设S△BEF＝a（a＞0），则S△ABF＝2a，S△AFD＝4a，S△ABD＝6a，
又∵S△ABD＝S△BCD，
∴S△BCD＝6a，
∴S四边形CDFE＝6a﹣a＝5a，
∴S△ABF：S四边形CDFE＝2：5．
故答案为：2：5．
46．（2022•松江区校级模拟）如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE∥BC，BD＝2AD，那么S△DEB：S△EBC＝　　．

【解答】解：∵BD＝2AD，
∴AD：AB＝1：3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴DE：BC＝1：3．
∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h，
∴S△DBE：S△EBC＝＝＝，
故答案为：
47．（2022•普陀区二模）如图，▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFB：S四边形FEDC的值为 　2：5　．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝DE，
∴＝＝＝，
∴S△BCF＝2S△ABF＝2S△AEF，
设S△AEF＝m，则S△ABF＝2m，S△CBF＝4m，
∴S△ACB＝S△ADC＝6m，
∴S四边形FEDC＝6m﹣m＝5m，
∴S△AFB：S四边形FEDC＝2：5；
故答案为：2：5．
48．（2022•普陀区二模）如图，线段AD与BC相交于点G，AB∥CD，＝，设＝，＝，那么向量用向量、表示是 　2﹣2　．

【解答】解：∵＝+＝﹣+，
∵AB∥CD，CD＝2AB，
∴＝2（﹣+）＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
49．（2022•普陀区模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后得△ADE，点B落在点D处，点C落在点E处，联结BE、CD，作∠CAD的平分线AN，交线段BE于点M，交线段CD于点N，那么的值为 　　．

【解答】方法一：解：由∠C＝90°和tanA＝可设BC＝5k，AC＝12k，
∴AB＝13k，
由旋转得，AE＝AC＝12k，ED＝BC＝5k，AB＝AD＝13k，
如图，以点C为原点，BC和AC所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则A（0，12k），B（﹣5k，0），
∵旋转角为90°，
∴E（12k，12k），D（12k，7k），
过点N作NF⊥AC于点F，交BE于点P，作NH⊥AD于点H，
∵AN平分∠CAD，
∴NF＝NH，
∴＝＝，
又∵△ANC在边CN上的高和△AND在边DN上的高相等，
∴＝＝，
∴点N的坐标为（，），
设直线BE的解析式为y＝mx+n，则
，解得：，
∴直线BE的解析式为y＝x+，
当y＝时，x+＝，
解得：x＝﹣，
∴P（﹣，），
∴NP＝﹣（﹣）＝6k，
∵NF⊥AC，∠EAC＝90°，
∴AE∥NP，
∴△MAE∽△MNP，
∴＝2，
∴＝，
方法二：
解：由题可知，∠BAC＝∠DAE，∠CAM＝∠MAD，
∴∠BAC+∠CAM＝∠DAE+∠MAD，
∴∠BAN＝∠NAE，
如图，延长AN，交BC的延长线于点F，
∵AE∥BC，
∴∠EAN＝∠AFC，
∴∠BAN＝∠AFC，
∴BF＝BA，
设BC＝5，AC＝12，AB＝13，
∴，
∴△AME∽△FMB，
∴，
∴＝，
延长AD与BC的延长线交于点H，延长ED与BH交于点I，
∵DE＝5，
∴四边形ACIE为正方形，
∴DI＝7，
延长CD与AE延长线交于点G，
易证△EDG∽△IDC，
∴，即，
∴EG＝，
∴AG＝12+＝，
易知，△ANG∽△FNC，
∴，
∵BF＝13，BC＝5，
∴CF＝8，
∴＝，
∴＝，
∵，
∴＝＝，
故答案为：．


三十．解直角三角形（共1小题）
50．（2022•普陀区模拟）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为 　3　．

【解答】解：过B作BE⊥直线a于E，延长EB交直线c于F，过C作CD⊥直线a于D，则∠CDA＝∠AEB＝90°，

∵直线a∥直线b∥直线c，相邻两条平行线间的距离相等（设为d），
∴BF⊥直线c，CD＝2d，
∴BE＝BF＝d，
∵∠CAB＝90°，∠CDA＝90°，
∴∠DCA+∠DAC＝90°，∠EAB+∠DAC＝90°，
∴∠DCA＝∠EAB，
在△CDA和△AEB中，
，
∴△CDA≌△AEB（AAS），
∴AE＝CD＝2d，AD＝BE＝d，
∴CF＝DE＝AE+AD＝2d+d＝3d，
∵BF＝d，
∴cotα＝＝＝3，
故答案为：3．
三十一．用样本估计总体（共1小题）
51．（2022•嘉定区二模）为了解某中学九年级学生的上学方式，从该校九年级全体300名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有5名学生“骑共享单车上学”．由此，估计该校九年级全体学生中约有 　25　名学生“骑共享单车上学”．
【解答】解：根据题意，估计该校九年级全体学生中“骑共享单车上学”的人数为300×＝25名，
故答案为：25．
三十二．频数与频率（共1小题）
52．（2022•长宁区二模）已知一组数据有40个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频率是　0.1　．
【解答】解：根据第五组的频率是0.2，其频数是40×0.2＝8；
则第六组的频数是40﹣（10+5+7+6+8）＝4．
故第六组的频率是，即0.1．
三十三．条形统计图（共1小题）
53．（2022•普陀区模拟）对某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，会议中每人发一瓶500毫升的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，分为四种情况：A．全部喝完；B．喝剩约；C．喝剩约一半；D．开瓶但基本未喝．根据统计结果绘制如下的两个统计图（不完整），则情况“C”所在扇形的圆心角度数为　72°　．

【解答】解：根据题意得：5÷﹣10﹣25﹣5＝10，
×360°＝72°，
则情况“C”所在扇形的圆心角度数为72°．
故答案为：72°
三十四．加权平均数（共1小题）
54．（2022•浦东新区二模）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是　6　株．
植树株数（株）
5
6
7
小组个数
3
4
3
【解答】解：这10个小组植树株数的平均数是＝6（株），
故答案为：6．
三十五．概率公式（共2小题）
55．（2022•虹口区二模）女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%．现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是　　．
【解答】解：∵小琳所在班级的女生共有40×60%＝24人，
∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，小琳被抽到的概率是，
故答案为：
56．（2022•浦东新区二模）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是　　．
【解答】解：∵在等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图形有圆、矩形、菱形这3个，
∴抽到中心对称图形的概率是，
故答案为：．
三十六．列表法与树状图法（共1小题）
57．（2022•徐汇区二模）一个不透明的袋中只装有1个黑球和2个白球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个，颜色是一黑一白的概率是 　　．
【解答】解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球，颜色是一黑一白的有4种情况，
∴颜色是一黑一白的概率为＝．
故答案为：．