第2讲 平面向量的基本定理及坐标运算(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

这是一份第2讲 平面向量的基本定理及坐标运算(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版），共13页。试卷主要包含了平面向量的基本定理，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、平面向量的基本定理
1.平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，，使．
2.基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作．叫做向量关于基底的分解式．
注：①定理中，是两个不共线向量；
②是平面内的任一向量，且实数对，是惟一的；
③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．
3.平面向量基本定理的证明：
在平面内任取一点，作，，．
由于与不平行，可以进行如下作图：
过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，
过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，
于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数和
分别有，，
所以
证明表示的唯一性：如果存在另对实数，使，则，
即，由于与不平行，如果与中有一个不等于，
不妨设，则，
由平行向量基本定理，得与平行，这与假设矛盾，因此，，即，．
4‘证明，，三点共线或点在线上的方法：
已知、是直线上的任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，存在实数，使关于基底的分解式为 ……①，并且满足①式的点一定在上．
证明：设点在直线上，则由平行向量定理知，存在实数，使，
∴
设点满足等式，则，即在上．
其中①式可称为直线的向量参数方程式
5.向量的中点的向量表达式：点是的中点，则．可推广到中，若为边中点，则有存在．
二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：
1.向量的直角坐标：如果基底的两个基向量，互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．
2.向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点的位置被点的位置向量所唯一确定．设点的坐标为，由平面向量基本定理，有，即点的位置向量的坐标，也就是点的坐标；反之，点的坐标也是点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
3.向量的直角坐标运算：
设，，则
①；②；③
注：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；
② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．
4.坐标含义：若，，则向量；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．
5.用平面向量坐标表示向量共线条件：
设，，则就是两个向量平行的条件．
若向量不平行于坐标轴，即，，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．
考点一：平面向量基本定理
例1．（2022·四川达州·高一期末）已知，分别是的边和的中点，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）在中，，．若边上一点满足，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·辽宁锦州·高一期末）已知，，BF=23BA+13BC，点M满足且BM=μBFλ,μ∈R，则（ ）
A．B．
C．CM=12CA+14CBD．MA+MB=14CA+14CB
例4．（2020·浙江义乌·高一期末）已知平面向量，的夹角为，且，，在△中，AB=2m+2n，AC=2m-6n，D为BC的中点，则______．
例5．（2021·北京市西城区教委高一阶段练习）如图，在中，点D，E分别在，上，且，若，则___________.
例6．（2022·辽宁营口·高一期末）如图所示，中，F为BC边上一点，，若，
（1）用向量、表示；
（2），连接DF并延长，交AC于点，若，，求和的值．
考点二：平面向量的正交分解及坐标表示
例1．（2021·全国·高一课时练习）若，，，则=（ ）
A．B．0C．1D．2
例2．（2021·全国·高一课时练习）已知､分别是方向与x轴正方向､y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
例3．（2022·全国·高一）已知平行四边形的三个顶点，则第四个顶点的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
例4．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角，求和的坐标.
例5．（2021·全国·高一课时练习）已知向量， ．当k为何值时，与的夹角是钝角？
例6．（2021·全国·高一课时练习）已知点A(-1，-1)， B(1，3)， C(1，5)， D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
考点三：平面向量加、减运算的坐标表示
例1．（2022·全国·高一）渭河某处南北两岸平行，如图所示．某艘游船从南岸码头A处出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度大小为，水流由西向东，速度的大小为设速度与速度的夹角为，北岸的点在码头A的正北方向．那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）
A．在东侧B．在西侧C．恰好与重合D．无法确定
例2．（2022·青海西宁·高一期末）设，，则（ ）.
A．B．C．D．
例3．（2021·湖南·长沙一中高一期末）已知向量，，若与共线，则实数________．
例4．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知两点A（-2，2），B（4，4）的中点坐标为___________.
例5．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知平行四边形ABCD中，，，.
（1）用，表示；
（2）若，，，如图建立直角坐标系，求和的坐标.
考点四：平面向量数乘运算的坐标表示
例1．（2021·全国·高一课时练习）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·辽宁葫芦岛·高一期末）已知向量，，若，则实数（ ）
A．B．C．2D．-2
例3．（2022·全国·高一）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．与可以作为一组基底
C．
D．与方向相反
例4．（2021·全国·高一单元测试）已知，，若，则实数的值为______.
例5．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，，求：
（1）,；
（2）．
例6．（2022·辽宁大连·高一期末）（1）已知，，三点共线，求的值；
（2）在（1）的条件下求线段的两个三等分点的坐标.
考点五：平面向量数量积的坐标表示
例1．（2021·湖北·高一期末）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．向量是单位向量B．与不能作为基底
C．D．与的夹角为
例2．（2020·浙江义乌·高一期末）设向量与的夹角为，，，则（ ）
A．B．1
C．D．
例3．（2021·全国·高一单元测试）下列关于平面向量的说法中不正确的是（ ）
A．，，若，则
B．单位向量，，则
C．若点为的重心，则
D．若，则
例4．（2022·浙江省开化中学高一期末）已知向量 ，，则向量在向量上的投影向量为________（用坐标表示）．
例5．（2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习）（1）在直角三角形ABC中，C=90°，AB=5，AC=4，求；
（2）已知向量，，.若△ABC为直角三角形，求a的值.
例6．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一期末）已知是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角.
一、单选题
1．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知，，那么=（ ）
A．（2，2）B．（3，0）C．（4，1）D．（3，2）2．（2021·全国·高一课时练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国·高一课时练习）已知向量不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
5．（2021·全国·高一课时练习）若向量，则与的夹角余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·湖南·长沙一中高一期末）设，向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期中）下列数学符号可以表示单位向量的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·广东·仲元中学高一期末）已知向量，，则（ ）
A．与的夹角余弦值为
B．
C．向量在向量上的投影向量的模为
D．若，则
9．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·浙江·诸暨中学高一期中）已知E，F分别是的边，的中点，若，则点P在四边形内（包括边界）的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空题
11．（2021·全国·高一单元测试）若向量，，且，则___________.
12．（2021·全国·高一课时练习）若，，则______．
13．（2021·全国·高一单元测试）已知点，，点P是直线AB上一点，且满足，则点P的坐标是___________.
14．（2021·全国·高一课时练习）在▱ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________.
15．（2021·全国·高一课时练习）若向量，不共线，且，，则的取值范围是______．
16．（2021·全国·高一课时练习）已知向量，，.若，则与的夹角的大小为______.
四、解答题
17．（2021·全国·高一课时练习）已知为坐标原点，，，与垂直，与平行，求点的坐标．
18．（2021·全国·高一课时练习）已知，，求，，，．
19．（2021·四川·射洪中学高一阶段练习）已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，求的值．
20．（2021·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知向量，，，且．
(1)求与间的关系；
(2)若，求与的值及四边形的面积．
21．（2021·全国·高一课时练习）在中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且，求t的值．