第1讲 平面向量的概念和线性运算(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

这是一份第1讲 平面向量的概念和线性运算(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版），共10页。试卷主要包含了向量的概念，向量的加法，实数与向量的积，平面向量的坐标运算等内容，欢迎下载使用。
第1讲 平面向量的概念和线性运算(核心考点讲与练)一、向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点.向量的长度又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.4. 与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量.要点诠释： ①有向线段的起、终点决定向量的方向，与表示不同方向的向量；②有向线段的长度决定向量的大小，用表示，.③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关.二、向量的加法、减法1．向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD中（如图），向量与的和为,记作:.（起点相同）2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有:，即在Δ中，.首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.规定:零向量与向量的和等于.3. 向量的减法向量与向量叫做相反向量.记作:.则.要点诠释：①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”.三、实数与向量的积1．定义：一般地，实数与向量的积是一个向量,记作，它的长与方向规定如下：（1）；（2）当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反； 当=0时，；2．运算律设，为实数，则（1）；（2）；（3）3．向量共线的充要条件已知向量、是两个非零共线向量，即，则与的方向相同或相反.向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使.要点诠释：①向量数乘的特殊情况：当时，；当时，也有；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差.②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量.四、平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示选取直角坐标系的x轴、y轴上的单位向量，为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量表示成的形式，由于与数对（x,y）是一一对应的，因此把（x,y）叫做向量的坐标表示.2．平面向量的坐标运算已知，，则（1）（2）3．平行向量的坐标表示已知，，则（）要点诠释：①若，，则的充要条件不能表示成，因为有可能等于0，所以应表示为；同时的充要条件也不能错记为，等.②若，，则的充要条件是，这与在本质上是没有差异的，只是形式上不同.考点一：平面向量的概念 例1．（2021·浙江高一单元测试）下列说法正确的是（    ）A．向量与向量是相等向量B．与实数类似，对于两个向量有，，三种关系C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合例2．（2021·全国高一课时练习）下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形为平行四边形，则．其中正确命题的个数是（    ）A．1 B．2C．3 D．4例3．（2021·全国高一课时练习）设，都是非零向量.下列四个条件中，使成立的条件是（    ）A． B．C． D．且例4．（2021·全国高一课时练习）下列关于向量的结论：（1）若，则或；（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量与同向，且，则．其中正确的序号为（    ）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）例5．（2021·全国高一课时练习）下面几个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若向量满足，则．其中正确命题的是________例6．（2021·江苏高一课时练习）已知四边形中，，且，则四边形ABCD的形状是___________.例7．（2020·全国高一课时练习）给出下列几种说法：①若非零向量与共线，则；②若向量与同向，且，则；③若两向量有相同的基线，则两向量相等；④若，，则其中错误说法的序号是__.例8．（2020·湖北武汉市·高一期中）下列命题中正确的有________.(填序号)①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则；③若，则四点构成平行四边形；④在▱ABCD中，一定有；⑤若，，则；⑥若，，则；考点二：向量的几何运算例1.设不平行，点在上存在实数使得例2.如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.例3.如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且AN＝NC，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.     考点三：向量的坐标运算例1.若，，  则与共线的单位向量为        .                    例2.已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.   例3.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，求的值．  例4.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．    例5.已知，，求的取值范围．并指出为何值时，取得最大值．   例6.已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，试求m的值．      例7.设向量，其中为坐标原点，，若三点共线，则的最小值为_____例8.在直角坐标系内，点在直线上，且，求出的坐标.     一、单选题1．（2021·全国高一课时练习）向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为（    ）A．－2 B．11C．－2或11 D．2或112．（2021·全国高一课时练习）已知、，且、、三点共线，则点的坐标可以是（    ）A． B．C． D．3．（2021·湖南长沙一中高一月考）在中，点D是线段(不包括端点)上的动点，若，则（    ）A． B． C． D．4．（2021·浙江高一期末）在中，为边上的点，且，满足则（    ）A．有最小值 B．有最小值C．有最小值12 D．有最小值165．（2019·四川德阳市·什邡中学）已知为四边形所在的平面内的一点，且向量，，，满足等式，若点为的中点，则（   ）A． B． C． D．6．（2020·榆树市第一高级中学校高一期末）已知,,,,,为坐标原点,则的取值范围是（    ）A． B．C． D．二、填空题7．（2021·全国高一课时练习）是正三角形，给出下列等式：①；②；③；④．其中正确的有__________．(写出所有正确等式的序号)8．（2021·全国高一课时练习）已知，，，且相异三点、、共线，则实数________.9．（2021·内蒙古包头市·高一期末）在矩形中，已知、分别是、上的点，且满足，．若，则的值为______．10．（2020·全国高一）已知向量，，若，则单位向量______.11．（2020·江西高一期末（文））O为坐标原点，已知向量，，，为非负实数且，，则的最小值为_______________12．（2019·四川遂宁市·高一期末（理））在平面内,定点满足，动点满足则的最大值为________.三、解答题13．（2020·全国高一单元测试）设直线与线段AB有公共点P，其中，试用向量的方法求实数的取值范围．     14．（2021·浙江高一期末）已知向量，，．（1）若点，，三点共线，求的值；（2）若为直角三角形，且为直角，求的值．         15．（2020·全国高一）已知向量，k､t为正实数，.（1）若求k的最大值；（2）是否存在k､t使得？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由.       16．（2021·浙江高一单元测试）已知平面非零向量，的夹角是.（1）若，，求；（2）若，，求t的值，并求与共线的单位向量的坐标.            17．（2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中）已知向量与向量的对应关系用表示.（1）证明：对任意向量、及常数、，恒有；（2）设，，求向量及的坐标；（3）求使（、为常数）的向量的坐标.