第4讲复数的概念(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

这是一份第4讲复数的概念(核心考点讲与练)2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版），共15页。试卷主要包含了复数的概念，复数的几何意义，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、复数的概念
1.虚数单位：
1）满足；
2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算法则仍然成立．
3）与的关系：就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是．
4）i的周期性：，，，．于是就有．
2.数系的扩充：复数
3.复数的定义：
基本概念：形如（）的数叫复数，称为复数的实部，称为复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．
4.复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：
对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数．
5.两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，， ，那么且．特殊地，当时，．
6.复数模的性质：
1）；
2）；
3）；
4）．
7.共轭复数：
定义：若两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．复数的共轭用表示．虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
数的性质：设，则（1）；（2）；（3）．
二、复数的几何意义
1.共轭复复平面、实轴、虚轴：
概念:复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2.几何表示：复数复平面内的点或向量是向量的几何表示．
注：复数、复平面内的点、向量之间的一一对应中，向量应特别注意它是以原点为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数多个．
考点一：数系的扩充和复数的概念
例1．（2021·全国·高一课时练习）若，则实数的值为（ ）
A．8B．C．0D．8或0
例2．（2022·全国·高一）若（）为实数，（）是纯虚数，则复数为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2021·全国·高一课时练习）请说出下列复数的实部和虚部．
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)0．
例4．（2021·全国·高一课时练习）已知复数（），且，求k的值.
例5．（2021·重庆市江津第五中学校高一期中）当实数为何值时，复数为
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
例6．（2021·全国·高一课时练习）求适合下列方程的实数x与y的值：
(1)；
(2)．
例7．（2021·全国·高一课时练习）当x､y为何实数时，复数等于2？
例8．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高一期中）当实数m分别为何值时，
(1)复数是：实数？虚数？
(2)复数纯虚数？
例9．（2021·全国·高一课时练习）设△ABC的两个内角A，B所对的边分别为a，b，复数z1=a+bi，z2=csA+icsB，若复数z1·z2为纯虚数，试判断△ABC的形状，并说明理由.
例10．（2021·江苏·扬州大学附属中学东部分校高一期中）已知，复数.
（1）当为何值时，复数为实数？
（2）当为何值时，复数为虚数？
（3）当为何值时，复数为纯虚数？
考点二：复数的几何意义
例1．（2022·全国·高一）以下命题中，正确的是（ ）
A．如果两个复数互为共轭复数，那么它们的差是纯虚数
B．如果a+bi=c+di，那么a=c，b=d
C．复平面上，虚轴上的点与纯虚数一一对应
D．复平面上，实轴上的点与实数一一对应
例2．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）设复数，则复数的模为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2022·全国·高一）在复平面内，若复数对应的点的坐标为，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
例4．（2022·全国·高一）若复数为纯虚数，则（ ）
A．B．13C．10D．
例5．（2022·全国·高一）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（ ）个.
A．9B．10C．11D．无数
例6．（2021·全国·高一课时练习）设复数，x，，且，则满足的复数z共有______个．
例7．（2021·全国·高一课时练习）已知复数的实部为1，，则______．
例8．（2021·全国·高一课时练习）若复数，则的最大值为______．
例9．（2022·全国·高一）已知复数z的虚部为1，且，则z在复平面内所对应的点z到虚轴的距离为___________.
例10．（2022·全国·高一）若，则取值范围是______
例11．（2021·湖北·高一期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．
例12．（2021·全国·高一单元测试）已知，且，则的取值范围为______.
例13．（2021·全国·高一课时练习）复数在复平面上所对应的点为.请说出当复数z分别满足下列条件时点Z在复平面上所在的位置.
(1)z是负实数；
(2)z是虚部小于零的纯虚数.
例14．（2021·全国·高一课时练习）在复平面内，描出表示下列复数的点：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)5； (6)．
例15．（2021·全国·高一课时练习）已知，，，求.
例16．（2021·全国·高一课时练习）已知复数在复平面上所对应的点在第三象限，求实数m的取值范围．
例17．（2022·全国·高一）设复数，当取何实数时：
(1)复数z为纯虚数；
(2)在复平面上表示z的点位于第三象限；
(3)表示z的点在直线上．
例18．（2021·全国·高一课时练习）设复数（x，，且），又，且，求的值及Rez的取值范围．
例19．（2021·全国·高一课时练习）设，，，求的最小值．
例20．（2021·上海市建平中学高一期末）对于一组复数，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该复数组的“复数”.
（1）设，若是复数组，，的“复数”，求实数的取值范围；
（2）已知，，是否存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
（3）若，复数组，，，…，是否存在“复数”？给出你的结论并说明理由．
例21．（2021·全国·高一课时练习）设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量．
（1）已知，，求；
（2）对于复平面中不共线的三点，，，设，，，求；
（3）设，，的向量分别为，，，已知，，，求的坐标（结果用，，表示）．
一、单选题
1．（2021·山西柳林·高一期中）关于复数的下列说法错误的是（ ）
A．复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系
B．在复平面中，实轴上的点都表示实数
C．在复平面中，虚轴上的点都表示纯虚数
D．复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量可以建立一一对应关系
2．（2021·全国·高一课时练习）复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ）
A．=(1，2)B．=(-3，0)
C．D．=(-1，-2)
3．（2021·全国·高一课时练习）复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（ ）
A．﹣3﹣4iB．4+3iC．﹣4﹣3iD．﹣3+4i
4．（2021·全国·高一课时练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·江苏·高一专题练习）已知复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，若四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点)，则复数的模为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·浙江浙江·高一期末）若复数（a，b为实数）都可以表示为的形式，其中r是复数z的模，是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，规定在范围内的辐角的值为辐角主值，通常记作．例如的三角形式为，则，已知复数，则z的辐角主值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
7．（2021·浙江浙江·高一期末）下列命题正确的（ ）
A．若复数，则
B．若，，则复数的虚部是
C．若，则的最小值为1
D．已知，若关于x的方程有实数根，则实根必为．
8．（2021·湖南·雅礼中学高一期末）设为复数，在复平面内、对应的点分别为、，坐标原点为，则下列命题中正确的有（ ）
A．当为纯虚数时，三点共线
B．当时，为等腰直角三角形
C．对任意复数，
D．当为实数时，
9．（2021·重庆复旦中学高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．当时，复数是纯虚数
B．复数对应的点在第一象限
C．复数，则
D．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为
10．（2021·山东莱西·高一期末）设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限
B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则
C．若复数是纯虚数，则
D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则
11．（2021·山东邹城·高一期中）下列关于复数的命题中正确的是（ ）
A．若是虚数，则不是实数
B．若，且，则
C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D．复数对应的点在实轴上方
三、填空题
12．（2021·黑龙江·绥化市第二中学高一期末）__________．
13．（2021·全国·高一课时练习）在复平面内，设点A､P所对应的复数分别为πi､cs(2t﹣)+isin(2t﹣)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是___________.
14．（2021·上海·华师大二附中高一期末）已知个两两互不相等的复数、、、、、，满足，且（其中、2；、1、2、、），则的最大值为_______
四、解答题
15．（2021·江苏·苏州中学高一期中）若虚数满足的实部与虚部互为相反数且___________，求复数.在下列条件中任选一个填在横线上补全条件，并求解问题.①是实数；②
16．（2021·江苏·扬州中学高一阶段练习）（Ⅰ）在①，②z为纯虚数，③z为实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知复数（i为虚数单位），为z的共轭复数，若_________，求实数m的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分）
（Ⅱ）在复数范围内解关于x的方程：．
17．（2021·全国·高一课时练习）已知i是虚数单位，a，b∈R，z1＝a﹣1+（3﹣a）i，z2＝b+（2b﹣1）i，z1＝z2.
（1）求a，b的值；
（2）若z＝m﹣2+（1﹣m）i，m∈R，求证：|z+a+bi|≥.
18．（2021·全国·高一课时练习）已知，是复平面内的两个定点，点Z在线段的垂直平分线上，根据复数的几何意义，写出它们所对应的复数，，满足的关系式．
19．（2021·全国·高一课时练习）在复数，，，，0，中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？
20．（2021·全国·高一课时练习）求满足下列条件的实数x，y的值：
(1)；
(2)；
(3).
21．（2021·全国·高一课时练习）已知集合A＝{z||z|≤1}，
（1）求集合A中复数z＝x+yi所对应的复平面内动点坐标（x，y）满足的关系？并在复平面内画出图形．
（2）若z∈A，求|z﹣（1+i）|的最大值、最小值，并求此时的复数z
（3）若B＝{z||z﹣ai|≤2}，且A⊆B，求实数a的取值范围．
22．（2021·全国·高一专题练习）已知（i为虚数单位），求：
（1）；
（2）；
（3）类比，探讨（，为虚数）的性质，求的值.
23．（2021·全国·高一课时练习）已知复数，根据以下条件分别求实数的值或范围.
（1）是纯虚数；（2）对应的点在复平面的第二象限.
24．（2021·全国·高一课时练习）对任意的复数，定义运算．则直线：上是否存在整点（、均为整数的点），使得复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．