专题07 点到直线的距离公式及两平行直线间的距离练习-2021-2022学年高二数学重难点手册

这是一份专题07 点到直线的距离公式及两平行直线间的距离练习-2021-2022学年高二数学重难点手册，共10页。试卷主要包含了概念，公式，已知A，B两点到直线l，已知直线l与直线l1等内容，欢迎下载使用。

专题07 点到直线的距离公式及两平行直线间的距离

要点一　点到直线的距离
1．概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
2．公式：点P(x0，y0)到直线：l：Ax＋By＋C＝0的距离，d＝.
要点二　两平行直线间的距离
1．概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．
2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
【方法技巧】
①求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式．
②利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
③当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
当两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
当两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
【基础自测】
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1 B. C．2 D.
【答案】D
【解析】由点到直线距离公式得：d＝＝.故选D.
2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　)
A．3 B．2 C．1 D.
【答案】C
【解析】由平行线间的距离公式得：d＝＝1，故选C.
3．若第二象限内的点P(m,1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
【答案】－4
【解析】由＝，得m＝－4或m＝0，又∵m＜0，∴m＝－4.

题型一　点到直线的距离公式的应用
1．已知点A(a,2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)
A. B．2－ C.－1 D.＋1
【答案】C
【解析】由点到直线的距离公式知，d＝＝＝1，得a＝－1±.又∵a＞0，∴a＝－1.故选C.
2．垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程是____________．
【答案】3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0
【解析】设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，
则由点到直线的距离公式知：
d＝＝＝.
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
【方法技巧】
点到直线的距离的求解方法
(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.
(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
题型二　两条平行线间的距离
【例1】(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
【答案】(1)
【解析】(1)由题意，得＝，∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间距离公式，得＝＝.
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________．
【答案】(2)2x－y＋1＝0
【解析】(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得＝，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
【方法技巧】
求两条平行线间距离的方法
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
【变式训练】
1.与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程是________．
【答案】5x－12y＋45＝0，或5x－12y－33＝0.
【解析】∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
根据两平行直线间的距离公式得＝3，
解得b＝45或b＝－33.
所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0，或5x－12y－33＝0.
题型三　对称问题
【例2】如图，一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．

【分析】先求出原点关于l的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程.

【解析】设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
解得
∴A的坐标为(4,3)，∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等．故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组解得
由于反射光线为射线，
故反射光线的方程为y＝3(x≤).
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
∴光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
【方法技巧】
光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．
(1)点A(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)，
可由方程组求得．
(2)常用对称的特例有：
①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)；
②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)；
③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)；
④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)；
⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)；
⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)．
【变式训练】
1.若点P(m,0)到点A(－3,2)及B(2,8)的距离之和最小，求实数m的值．
【解析】点A(－3,2)关于x轴的对称点为A′(－3，－2)．
因为点P(m,0)在x轴上，由对称性可知|PA|＝|PA′|，
所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|，
所以当A′，P，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小．
因为kA′B＝＝2，
所以直线A′B的方程为y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.
令y＝0，得x＝－2，
即A′，P，B三点共线时，点P的坐标为(－2,0)，
所以所求实数m的值为－2.
【易错辨析】选用直线方程的形式不当引发错误
【例3】过点P(2,5)，且与点(－4,1)距离等于6的直线方程为________．
【答案】5x＋12y－70＝0或x＝2
【解析】当斜率存在时，设所求直线方程为y－5＝k(x－2)，即kx－y－2k＋5＝0，由点到直线的距离公式得：＝6，解得k＝－，
故所求直线方程为5x＋12y－70＝0.
当斜率不存在时，直线平行于y轴，直线方程为x＝2，符合题意．
综上，所求直线方程为5x＋12y－70＝0或x＝2.
【易错提醒】
易错原因
纠错心得
忽略了直线的斜率不存在的情况而漏解致错.
一般地，求直线方程，设为点斜式或斜截式是常见的两种形式．因此，一定要考虑斜率不存在而直线存在的形式.



1．（2020·陕西高新一中高二期中）已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝(　　)
A．0 B.
C．3 D．0或
【答案】D　
【解析】点M到直线l的距离d＝＝，所以＝3，解得m＝0或m＝，选D.
2.（多选）（2020·海南中学高二期中）已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ）
A．y=x+1 B．y=2 C． D．y=2x+1
【答案】BC　
【解析】A. 点M(5，0)到直线 y=x+1的距离为：，故错误；
B. 点M(5，0)到直线y=2的距离为：，故正确；
C. 点M(5，0)到直线的距离为：，故正确；
D. 点M(5，0)到直线y=2x+1的距离为：，故错误；故选：BC
3.（2020秋•海淀区校级期中）点到直线距离的最大值为　　
A．1 B． C． D．2
【答案】
【解析】：点到直线距离：，
当时，点到直线距离取最大值为2．故选．
4．（2020·四川省绵阳南山中学高二期中）已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)
A．(1,2)或(2，－1) B．(3，－4)
C．(2，－1) D．(1,2)
【答案】A　
【解析】设点P的坐标为(a,5－3a)，由题意，得＝，解得a＝1或2，∴点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．
5．（2020·怀仁市第一中学校云东校区高二月考）已知两平行直线l1，l2分别过点P(－1,3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．[0,5]
C．(0,5] D．[0，]
【答案】C　
【解析】当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0＜d≤5.
6．（2020·赣州市赣县第三中学高二月考）已知A(－2，－4)，B(1,5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．
【答案】－3或3　
【解析】由题意得＝，解得a＝－3或3.
7．（2020·安徽省怀宁县第二中学高二期中）已知直线3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则m＝________，它们之间的距离是________．
【答案】2　
【解析】∵3x＋y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，∴m＝2.直线6x＋2y＋1＝0可以化为3x＋y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝.
8．（2020·瓦房店市高级中学高二月考）已知直线l与直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0间的距离相等，则直线l的方程是________．
【答案】2x－y＋1＝0　
【解析】由题意可设直线l的方程为2x－y＋c＝0，于是有＝，即|c－3|＝|c＋1|.∴c＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
9．（2020·深州长江中学高二期末）求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程．
【解析】法一：∵点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，∴直线l的斜率存在，设为k.
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，
得＝，解得k＝0或k＝1.
∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等．
∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，
∴直线l的方程是x－y＋2＝0；
当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等．
∵直线AB的斜率为0，
∴直线l的斜率为0，∴直线l的方程为y＝2.
综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
10．（2020·安徽省岳西中学高二月考）已知直线l过点P(0,1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分．
(1)求直线l的方程；
(2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积．
解：(1)∵点B在直线l1上，∴可设B(a,8－2a)．
又P(0,1)是AB的中点，∴A(－a,2a－6)．
∵点A在直线l2上，∴－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即B(4,0)．
故直线l的方程是x＋4y－4＝0.
(2)由(1)，知A(－4,2)．
又AD∥l1，∴kAD＝＝－2，∴m＝－6.
点A到直线l1的距离d＝＝，
|AD|＝ ＝4，
∴S△ABD＝|AD|·d＝×4×＝28.


11．（2020·海南华侨中学高一期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】C　
【解析】根据题意，作图如下：

因为点，设其关于直线的对称点为
故可得，解得，即
故“将军饮马”的最短总路程为.
故选C.
12.（多选）（2020·山东潍坊一中高二月考）如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.下列四个命题中正确命题为( )

A．若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个
B．若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个
C．若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个
D．若，则点M在一条过点O的直线上
【答案】ABC　
【解析】A. 若，则“距离坐标”为的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确.
B. 若，且，则“距离坐标”为或的点有且仅有2个，故正确.
C. 若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个，如图，

故正确.
D. 若，则点M在的轨迹是两条过0的直线，分别为交角的平分线所在直线，故不正确.故选ABC.
13．（2020·江西临川一中高二月考）在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有________条．
【答案】2　
【解析】由题可知所求直线显然不与y轴平行，
∴可设直线为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0.
∴d1＝＝1，d2＝＝2，两式联立，解得b1＝3，b2＝，
∴k1＝0，k2＝－.故所求直线共有两条．
14. （2020·石嘴山市第三中学高二期末）如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
　
【解析】设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形的面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.
又b>1，∴b＝3.
从而得直线l2的方程是x＋y－3＝0.

15．（2020·江西南昌二中高二月考）已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
【解析】(1)法一：联立⇒交点P(2,1)，
当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，
即kx－y＋1－2k＝0，
∴＝3，解得k＝，
∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0.
而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，
故所求l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
法二：经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或，
∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
(2)由解得交点P(2,1)，
过P任意作直线l，设d为A到l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，
∴dmax＝|PA|＝.