2021-2022学年北京八中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京八中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 下列二次根式为最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 若，则的值等于

A.  B.  C.  D.

5. 下列命题中正确的是

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

6. 如图，菱形，，点是对角线上一点，点是边上一点，且，则的度数为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，矩形的对角线、交于点，，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，点是的中点，的周长为，则的周长是

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上且，，则正方形的面积是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在等边中，点、分别在轴、轴上，，当点在轴正半轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点到原点的最大距离是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 在实数范围内因式分解：______．
12. 若根式有意义，则实数的取值范围为______ ．
13. 已知平行四边形邻边之比是：，周长是，则较短的边的边长是______．
14. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______．
15. 比较大小： ______；
    在两个相邻整数______和______之间．
16. 矩形中，，，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，则______．
    
    
    
     

17. 已知是正整数，是整数，则满足条件的所有的值为______．
18. 在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于______．

三、解答题（本大题共9小题，共64分）

19. 计算下列各式：
    ；
    ．
20. 已知，，求的值．
21. 阅读下面的文字后，回答问题：
    对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同：
    甲的解答：原式
    乙的解答：原式
    你认为______的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：______；
    模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中．
22. 如图，在中，，，，求的长．
    
     

23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是、、、均在网格的格点上．
    直接写出四边形的面积与、的长度；
    是直角吗？理由是：______；
    在网格中找到一个格点，并画出四边形，使得其面积与四边形的面积相等．
24. 在▱中，，对角线、交于点，，点、在对角线上，点从点出发以每秒个单位的速度向点运动，到达点时运动停止，同时点从点出发，运动至点后立即返回，点停止运动的同时，点也停止运
    动，设运动时间为秒．
    若点的速度为每秒个单位，
    如图，当时，求证：四边形是平行四边形；
    点、运动的过程中，四边形可能出现的形状是______．
    A.矩形菱形正方形
    若点的速度为每秒个单位，运动过程中，为何值时，四边形是平行四边形？

25. 小云学习了平行四边形的判定后，想利用平行四边形的判定方法探究下列问题．
    利用平行四边形的判定方法作平行四边形，作法是：如图，在中，分别以点，为圆心，，为半径画弧，两弧交于点，连接，，四边形就是平行四边形．小云判定四边形是平行四边形的依据是______．
    
    探究：“四边形中，若，对角线与交于点，且，四边形是平行四边形吗？
    在图中作出符合条件的图形尺规作图，保留作图痕迹；
    结合所作图形，符合条件的四边形 ______填写“是”、“不是”或“不一定是”平行四边形．
    探究：“四边形中，若，对角线与交于点，且，，当与满足什么条件时，四边形一定是平行四边形？”直接写出与满足的条件是：______．
26. 已知在▱中，于点，，平分交线段于点．
    如图，若，
    当时，______，______；
    请直接写出线段、、之间的数量关系：______；
    如图，若且，请写出线段、、之间的数量关系，并证明．

27. 已知正方形，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形的内等边三角形．
    若正方形的边长为，点在边上，是正方形的内等边三角形．
    如图，当点为边的中点时，线段的长度为______；
    当点为边上任意一点时，连接，，则线段的最小值是______，线段的取值范围是______．
    和都是正方形的内等边三角形，当的长最大时，画出和点，，按逆时针方向排序，连接图中与线段相等的所有线段不添加字母有______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：：原式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：．
最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
本题考查最简二次根式，解题的关键是熟练运用最简二次根式的概念，本题属于基础题型．
 

2.【答案】

【解析】解：、，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形三边关系定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

3.【答案】

【解析】解：．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.


，故本选项符合题意；
D.不存在，故本选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的加减，二次根式的性质，二次根式的乘法法则逐个判断即可．
本题考查了二次根式的加减，二次根式的性质，二次根式的乘法法则等知识点，能熟记二次根式的加减、二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解此题的关键．
 

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出 、 的值是解题关键．
根据非负数的和为零，可得 、 的值，根据有理数的乘法，可得答案．
【解答】
解：由 ，得 ，
， ．
解得 ， ．
．
故选 D ．   

5.【答案】

【解析】解：、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以选项错误．
故选：．
根据根据矩形、菱形、正方形和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
 

6.【答案】

【解析】解：连接交于，连接，

四边形是菱形，，，
，，，，
，，，
，
，
故选：．
连接交于，连接，根据菱形的性质得出，进而解答即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角解答．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，矩形的对角线，交于点，，
，
又，
，
是等边三角形，
．
在直角中，，，，

故选：．
利用矩形对角线的性质得到结合知道，则是等边三角形；最后在直角中，利用勾股定理来求的长度即可．
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出、的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．
 

8.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
是中点，≌，
又是中点，
是的中位线，
，
即的周长的周长，
的周长的周长．
的周长．
故选A．
根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，，，点是的中点，可得是的中位线，可得从而得到结果是．
本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线的性质的应用．
 

9.【答案】

【解析】解：作轴于．

四边形是正方形，
，，
，，
，
，
在和中，

≌，
，，
，，
，，
，
，
正方形的面积，
故选：．
作轴于只要证明≌，推出，，由，，推出，，推出，再利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于常考题型．
 

10.【答案】

【解析】解：过点作于点，连接，如图所示：

是等边三角形，
是的中点，
，
，，
根据勾股定理，得，
根据题意，得，
，
，
点到原点的最大距离是，
故选：．
过点作于点，连接，先根据等边三角形的性质求出，再根据直角三角形的性质求出，即可得出答案．
本题考查了等边三角形与直角三角形的综合，涉及等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，最大值问题等，综合性较强．
 

11.【答案】

【解析】

【试题解析】
【分析】
本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．利用平方差公式即可分解．
【解答】
解：
故答案是   

12.【答案】

【解析】解：根式有意义，
，
解得．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：平行四边形的周长是，一组邻边之比是：，
设两邻边分别为，，
则，
解得：，
较短的边的边长是，
故答案为：．
可先设出两边的长度，再利用周长建立方程，进而求解即可．
此题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．注意解此题需要利用方程思想．
 

14.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
直接根据勾股定理计算即可．
本题考查了两点间的距离的计算以及勾股定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方
 

15.【答案】   

【解析】解：，，
；
故答案为：；

，
；
故答案为：，．
根据平方法比较大小即可；
估算无理数的大小即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：由翻折变换可得，，
四边形是矩形，
，
在中，设，则，，
由勾股定理，得
，
即，
解得，
故答案为：．
根据翻转变换的性质可得，在中，设未知数，利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查翻折变换，矩形的性质，掌握翻折变换的性质，直角三角形的边角关系是正确计算的关键．
 

17.【答案】或或

【解析】解：由题意：，
．
是正整数，
．
又是整数，
或或．
故答案为：或或．
利用算术平方根的意义与题意解答即可．
本题主要考查了算术平方根的意义，利用题意与算术平方根的意义求得的取值范围是解题的关键．
 

18.【答案】或

【解析】解：过作于，
在中，，，
，
由勾股定理，，
在中，，
，

如图，，
平行四边形的面积，

如图，，
平行四边形的面积，
故答案为：或．
过作于，解直角三角形得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式的运用和度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．
 

19.【答案】解：原式
．
原式
．

【解析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：当，时，
，，



．

【解析】根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及平方差公式，本题属于基础题型．
 

21.【答案】甲 

【解析】解：当时，，
，
我认为甲的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：，
故答案为：甲，；



当时，，，
原式
．
根据二次根式的性质，即可解答；
利用完全平方公式，和二次根式的性质，即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，整式的加减，熟练掌握完全平方公式，和二次根式的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：过作于．

在中，，
所以，，
所以，
即是等腰直角三角形，，
所以，
所以，

【解析】先过点作于点，根据三角形内角和定理求出的度数，得出是等腰直角三角形，再根据锐角三角函数的定义求出、的长，进而可得出结论．
本题考查的是解直角三角形及勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

23.【答案】

【解析】解：四边形的面积，，；

不是直角．
理由：，，，
，，
，
，
；
故答案为：；


如图四边形即为所求．

把四边形的面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可，利用勾股定理求出，；
利用勾股定理的逆定理判断即可；
利用等高模型解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，四边形的面积，勾股定理，等高模型等知识，解题的关键是学会用割补法求四边形面积，属于中考常考题型．
 

24.【答案】

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形；

解：点、运动的过程中，当时，，此时四边形是矩形．
故答案为：；

解：在点的返回过程中，时，则有，
解得，
时，四边形是平行四边形．
证明，，可得结论；
根据矩形的判定方法，可得结论；
在点的返回过程中，时，则有，解方程可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
 

25.【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形  不一定是 

【解析】解：由题意得：，，
四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
如图，四边形、四边形是符合条件的图形；
四边形是平行四边形，四边形不是平行四边形，
符合条件的四边形不一定是平行四边形，
故答案为：不一定是；
当与满足时，四边形一定是平行四边形，理由如下：
如图，过作于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
与重合，
，
，，，
，
，
，
，
四边形一定是平行四边形，
故答案为：．
由题意得：，，再由平行四边形的判定定理即可得出结论；
连接，以为圆心，为半径画弧，交的延长线于、两点，再连接、、、即可；
四边形是平行四边形，四边形不是平行四边形，即可得出结论；
过作于，证是等腰直角三角形，得，再证，则与重合，得，同理可证，则，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、尺规作图等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定和尺规作图是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：如图，四边形是平行四边形，
，，，
于点，，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
，，，
≌，
，
，
故答案为：．
，
证明：如图，延长到点，使，连接，
四边形是平行四边形，
，，，
于点，
，
，
≌，
，，
，，
，，且，
，
，
，
．
由四边形是平行四边形得，，，因为于点，所以，则，所以，再根据勾股定理求得，则，而，则，即可根据勾股定理列方程求出的长；
由，，，证明≌，，所以；
延长到点，使，连接，先证明≌，得，，再证明，由，，且，得，所以，即可证明．
此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、同角或等角的余角相等、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】      ，

【解析】解：如图所示，四边形是正方形，
，

过作于，
是等边三角形，
，，
，
；
如图，

是等边三角形，
，
点在与成的直线上移动，
当时，有最小值，
此时，，
，
的最小值为，
当时，有最小值，
此时，，
，，
当点与点重合时，有最大值，最大值为，
线段长的取值范围为，
故答案为：，；
图形如图所示，结论：．

理由：边的长最大，
点在上，点在上，
四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：，．
根据正方形的性质得到，过作于，根据等边三角形到现在得到，，根据勾股定理即可得到结论；
由题意可得点在与成的直线上移动，则当时，有最小值，当时，有最小值，当点与点重合时，有最大值，最大值为，即可求解；
如图所示，结论：利用全等三角形的判定解决问题即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确地作出辅助线，属于中考压轴题．