数学必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用学案

这是一份数学必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用学案，共8页。

知识点一 数轴上两点之间的距离公式和中点坐
标公式
1．数轴上两点之间的距离公式
一般地，如果A(a)，B(b)，则线段AB的长为____________．
2．中点坐标公式
如果线段AB的中点M的坐标为x.若a＜b，如图所示，
则M为____________．
知识点二 基本不等式
(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立．
(2)基本不等式：ab________a+b2(a＞0，b＞0)，当且仅当________时，等号成立．其中a+b2和ab分别叫做正数a，b的________和________．
状元随笔 基本不等式ab≤a+b2(a，b∈R＋)的应用：
(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a＞0，b＞0，且a ＋b＝M，M为定值，则ab≤M24，当且仅当
a＝b时等号成立．即：a ＋b＝M，M为定值时，(ab)max＝M24.
(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a＞0，b＞0，且ab ＝P，P为定值，则a ＋b≥2P，当且仅当a ＝b时等号成立．
基础自测
1.已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是( )
A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2ab
C．1a+1b＞2ab D．ba+ab≥2
2．若a＞1，则a＋1a-1的最小值是( )
A．2 B．a
C．2aa-1 D．3
3．(多选)下列不等式中，不正确的是( )
A．a＋4a≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．ab≥a+b2 D．x2＋3x2≥23
4．已知x，y都是正数．
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________．
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________．
第1课时 基本不等式
题型1 对基本不等式的理解[经典例题]
例1 (1)下列不等式中，不正确的是( )
1．举反例、基本不等式⇒逐个判断．
2．明确基本不等式成立的条件⇒逐个判断．
A.a2＋b2≥2|a||b|
B．a2b≥2a－b(b≠0)
C．ab2≥2ab－1(b≠0)
D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2
(2)给出下列命题：
基本不等式的两个关注点
(1)正数：指式子中的a，b均为正数，
(2)相等：即“＝”成立的条件．①若x∈R，则x＋1x≥2；
②若a＜0，b＜0，则ab＋1ab≥2；
③不等式yx+xy≥2成立的条件是x＞0且y＞0.其中正确命题的序号是________．
跟踪训练1 设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
利用基本不等式时先要确定成立的条件，有的要适当变形处理．
A.a＜b＜ab＜a+b2
B．a＜ab＜a+b2＜b
C．a＜ab＜b＜a+b2
D．ab＜a＜a+b2＜b
题型2 利用基本不等式求最值[教材P70例1]
例2 已知x＞0，求y＝x＋1x的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．
【解析】 因为x＞0，所以根据均值不等式有
x＋1x≥2x·1x＝2，
其中等号成立当且仅当x＝1x，即x2＝1，解得x＝1或x＝－1(舍)．
因此x＝1时，y取得最小值2.
教材反思
1．利用基本不等式求最值的策略
2．通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
特别提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件．
跟踪训练2 (1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则 (1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
(2)若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值( )
A．3 B．4
C．92 D．112
状元随笔
1．展开(1＋x)(1＋y)⇒将x＋y＝8代入⇒用基本不等式求最值．
2．利用基本不等式得x＋2y＋x+2y22－8≥0⇒设x＋2y＝t＞0，解不等式求出x＋2y的最小值．
易错点 利用基本不等式求最值
例 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
A．245 B．285
C．5 D．6
错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致．
【错解】 由x＋3y＝5xy⇒5xy≥23xy，
因为x＞0，y＞0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥1225.
所以3x＋4y≥212xy≥212·1225＝245，
当且仅当3x＝4y时取等号，
故3x＋4y的最小值是245.
【正解】 由x＋3y＝5xy可得15y+35x＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)15y+35x＝95+45+3x5y+12y5x≥135＋23x5y·12y5x＝135+125＝5，
当且仅当x＝1，y＝12时取等号，
故3x＋4y的最小值是5.
【答案】 C
2．2.4 均值不等式及其应用
新知初探·自主学习
知识点一
1．AB＝|a－b|
2．x＝a+b2
知识点二
(1)≥ a＝b (2)≤ a＝b 算术平均数 几何平均数
[基础自测]
1．解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以ba>0，ab>0，所以ba+ab≥2 ba·ab，即ba+ab≥2成立．
答案：D
2．解析：a>1，所以a－1>0，
所以a＋1a-1＝a－1＋1a-1＋1≥2a-1·1a-1＋1＝3.
当且仅当a－1＝1a-1即a＝2时取等号．
答案：D
3．解析：a<0，则a＋4a≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则ab答案：ABC
4．解析：(1)x＋y≥2xy＝215，即x＋y的最小值是215；当且仅当x＝y＝15时取最小值．
(2)xy≤x+y22＝1522＝2254，
即xy的最大值是2254.
当且仅当x＝y＝152时xy取最大值．
答案：(1)215 (2)2254
第1课时 基本不等式
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以A正确．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.B中，当b<0时，a2b≤2a－b，所以B不正确．C中，b≠0，则ab2≥2ab－1，所以C正确．D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝a+b2，所以D正确．
(2)只有当x>0时，才能由基本不等式得到x＋1x≥2x·1x＝2，故①错误；当a<0，b<0时，ab>0，由基本不等式可得ab＋1ab≥2ab·1ab＝2，故②正确；由基本不等式可知，当yx>0，xy>0时，有yx+xy≥2yx·xy＝2成立，这时只需x与y同号即可，故③错误．
【答案】(1)B (2)②
跟踪训练1 解析：0答案：B
跟踪训练2 解析：(1)因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋x+y22＝9＋42＝25，
因此当且仅当x＝y＝4时，
(1＋x)·(1＋y)取最大值25.
(2)因为正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，
所以x＋2y＋x+2y22－8≥0.
设x＋2y＝t>0，
所以t＋14t2－8≥0，
所以t2＋4t－32≥0，
即(t＋8)(t－4)≥0，
所以t≥4，
故x＋2y的最小值为4.
答案：(1)B (2)B掌握基本不等式ab≤a+b2(a，b>0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
课堂探究·素养提升——强化创新性