高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案

函数的零点与方程的解

[课程目标] 1.了解函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点三者之间的关系；2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间，能借助函数的单调性及图象判断零点的个数．

知识点一　 函数的零点

函数y＝f(x)的零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，把使__f(x)＝0__的实数x叫做函数y＝f(x)的__零点__．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)函数的零点是一个点．(　×　)

(2)函数y＝x2－1有零点．(　√　)

(3)有些函数没有零点．(　√　)

(4)函数y＝的零点是2或(2，0).(　×　)

【解析】 (1)函数的零点是一个实数，不是一个点．

(2)函数y＝x2－1的零点是1和－1.

(3)如函数y＝x2＋1没有零点．

(4)函数y＝的零点是2.

知识点二　函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的__实数解__，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的__公共点的横坐标__，即方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)__有零点__⇔函数y＝f(x)的图象与__x轴有公共点__．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)方程ln x－1＝0的解是x＝e，则函数y＝ln x－1的零点是e.(　√　)

(2)函数y＝x2－x的图象与x轴有2个交点，所以函数y＝x2－x有2个零点．(　√　)

(3)函数y＝2x－1有1个零点．(　√　)

(4)函数y＝2＋lg x的图象与x轴有一个交点．(　√　)

【解析】 根据函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的公共点之间的关系知，这四个结论都正确．

知识点三　函数零点存在的判定方法

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__一条连续不断__的曲线，且有__f(a)f(b)<0__，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得__f(c)＝0__，这个c也就是方程__f(x)＝0__的解．

 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)若函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　×　)

(2)若f(a)f(b)>0，则函数y＝f(x)在(a，b)内没有零点．(　×　)

(3)若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内一定有零点．(　×　)

(4)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有两个零点．(　×　)

【解析】 (1)若函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0不一定成立．如y＝(x－1)2在(0，2)内有零点，但f(0)·f(2)>0.

(2)若f(a)f(b)>0，则函数y＝f(x)在(a，b)内零点的个数不能判定．如f(x)＝x2满足f(－1)f(1)>0，但零点为0.

(3)若f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内不一定有零点．如f(x)＝满足f(－1)f(1)<0，但在(－1，1)内没有零点．

(4)依据函数零点存在定理，只能判定函数在(a，b)内有零点，但不能判定有几个零点．

若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则a＝__5__，b＝__－6__．

【解析】 由于函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，所以2和3是方程x2－ax－b＝0的两个根，

所以2＋3＝－(－a)，2×3＝－b，所以a＝5，b＝－6.

活学活用

已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　D　)

A．，0    B．－2，0

C．D．0

【解析】 当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x＞1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D.

函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(　C　)

A．(－2，－1)　　　B．(－1，0)　

C．(0，1)    D．(1，2)

【解析】 因为函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)f(1)<0.故函数f(x)的零点在(0，1)内．

活学活用

若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　C　)

A．(1，3)    B．(1，2)

C．(0，3)    D．(0，2)

【解析】 易知函数f(x)＝2x－－a在区间(1，2)内单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，所以f(1)＜0，且f(2)＞0，即解得0＜a＜3.

在区间(3，5)上一定有零点的函数是(　A　)

A．f(x)＝2x ln(x－2)－3

B．f(x)＝－x3－3x＋5

C．f(x)＝2x－4

D．f(x)＝－＋2

【解析】 对于选项A，f(x)的图象在(3，5)上连续不断，

且f(3)＝－3<0，f(5)＝10ln 3－3>10ln e－3＝10－3>0，

所以f(x)＝2x ln(x－2)－3在区间(3，5)上有零点；而对于选项B，C，D，在(3，5)上都为单调函数，且都有f(3)f(5)>0，所以函数在区间(3，5)上没有零点．

活学活用

二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分对应值如下表：

不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(　A　)

A．(－3，－1)，(2，4)　　     B．(－3，－1)，(－1，1)　

C．(－1，1)，(1，2)　　　D．(－∞，－3)，(4，＋∞)

【解析】 因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以f(x)在区间(－3，－1)内必有实数根；又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以f(x)在区间(2，4)内必有实数根．

[规律方法]

判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数值，进行符号判断即可得出结论(函数图象必须是一条连续不断的曲线).此类问题的难点往往是函数值符号的判断，对此可运用函数的有关性质进行判断．

函数f(x)＝x2＋x－b2的零点的个数是__2__．

【解析】 令x2＋x－b2＝0.因为Δ＝1＋4b2>0，所以方程有两个实数根，即函数f(x)有两个零点．

活学活用

已知函数f(x)＝若方程f(x)＝2有两个解，则实数a的取值范围是__(－∞，5)__．

【解析】 对于函数f(x)＝

当x≥1时，由方程f(x)＝2，可得ln x＋1＝2，解得x＝e，函数有一个零点；当x＜1时，则函数f(x)＝2只有一个零点，即x2－4x＋a＝2在x＜1时只有一个解．因为y＝x2－4x＋a－2的图象开口向上，对称轴为x＝2，函数在(－∞，1)上单调递减，所以f(1)＜2，可得－3＋a＜2，解得a＜5.故答案为(－∞，5).

函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数是__2__．

【解析】 求函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点，即求2x|log0.5x|－1＝0的解，

即|log0.5x|＝的解．作出函数g(x)＝|log0.5x|和函数h(x)＝的图象，如图所示．由图知两函数的图象共有2个交点，故函数f(x)的零点个数是2.

活学活用

函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数是__1__．

【解析】 方法一：因为函数f(x)的图象在(－1，＋∞)上是连续不断的，

且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2＝lg 2>0，

所以f(x)在区间(0，1)上必定存在零点．

又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

故f(x)有且只有1个零点．

方法二：在同一平面直角坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图象如图所示．由图象知这两个函数的图象有且只有1个交点，即f(x)有且只有1个零点．

[规律方法]

确定函数零点个数的方法：

(1)分解因式法：可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采用分解因式法来解决．

(2)判别式法：可转化为一元二次方程根的问题，通常用判别式法来判断根的个数．

(3)能够将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，可用图象法解决．

(4)单调性法：如果能够确定函数在所给区间上有零点，且是单调函数，则零点只有1个．

【迁移探究】

已知关于x的二次方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0有两根，且一根大于2，另一根小于2，则实数a的取值范围是__(0，5)__．

【解析】 令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1，依题意得，函数f(x)有两个零点，且一个零点大于2，另一个零点小于2.所以f(x)的图象大致如图所示．

则a应满足或

即或

解得0<a<5，所以实数a的取值范围为(0，5).

1．若函数y＝x2－bx＋1只有一个零点，则b的值为(　C　)

A．2　　　B．－2　　

C．±2    D．3

【解析】 因为函数只有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.

2．方程x3－x－1＝0在[1，1.5]内的实数根(　C　)

A．有3个    B．有2个

C．至少有1个    D．有0个

【解析】 令f(x)＝x3－x－1，则f(1)＝－1<0，

f(1.5)＝1.53－1.5－1＝1.53－2.5>0.故选C.

3．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　C　)

A．[－1，0)    B．[0，＋∞)

C．[－1，＋∞)    D．[1，＋∞)

【解析】 函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.

4．若函数f(x)＝|x2－4x|－a的零点个数为3，则a＝__4__．

5．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是__2__．

【解析】 作出函数g(x)＝ln x和h(x)＝x－2的图象如图所示．由图可知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．