2022年山东省济南市历城区中考数学线下二模试卷（含解析）

2022年山东省济南市历城区中考数学线下二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 实数，，，中，最大的数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是

A.  B.  C.  D.

3. 年月日晚，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，约有人参与冬奥志愿服务．将数字用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，，直线分别与直线、相交于点、，平分交直线于点，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，下列四个有关环保的图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

6. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在方格线的格点上，将绕点逆时针方向旋转，得到，则点的对应点的坐标为

A.  B.  C.  D.

8. 班长王亮依据今年月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量单位：本，绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是

A. 每月阅读数量的平均数是 B. 众数是
C. 中位数是 D. 每月阅读数量超过的有个月

9. 经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在▱中，，，：：，依据尺规作图的痕迹，则▱的面积为

A.
B.
C.
D.

11. 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图所示，点是栏杆转动的支点，点是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆最多只能升起到如图所示的位置，其示意图如图所示栏杆宽度忽略不计，其中，，，米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为参考数据：，，

A.  B.  C.  D.

12. 已知抛物线与轴交于，两点，当时，随的增大而增大，则下列结论中：；；；若图象上两点，对一切正数，总有，则则正确的个数为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 因式分解：______．
14. 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为______．
15. 若代数式与代数式的值相等，则______．
16. 如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是______．
    
     

17. 如图，已知、两地相距千米，甲从地出发步行到地，分钟后乙从地出发骑自行车到地，甲乙两人离地的距离千米与甲所用时间分之间的关系如图所示，由图中的信息可知，乙到达地的时间为______．
18. 如图，在矩形中，，，在边上且，若点在边上，将矩形沿直线折叠，折叠后点落在上的点处，过点作于点，与交于点，则的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共78分）

19. 计算：．
20. 解不等式组，并写出它的所有整数解．
21. 如图，▱的对角线，相交于点，点、在上，且．
    求证：．
     

22. 为庆祝中国共产党建党周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，，，，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图请结合统计图，解答下列问题：
     

本次调查一共随机抽取了______ 名学生的成绩，频数分布直方图中 ______ ；
补全学生成绩频数分布直方图；
所抽取学生成绩的中位数落在______ 等级；
若成绩在分及以上为优秀，全校共有名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？

23. 如图，在中，，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点，，连结已知是的切线．
    求证：．
    若，，求的半径．

24. 书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买支毛笔和张宣纸需要元；购买支毛笔和张宣纸需要元．
    求毛笔和宣纸的单价；
    计划用不多于元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计，则学校最多可以购买多少支毛笔？
25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点．
    求一次函数与反比例函数的表达式；
    过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点，当：：时，求点的坐标；
    在的条件下，点是直线上的一个动点，当是以为斜边的直角三角形时，求点的坐标．

26. 【方法尝试】
    如图，矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，、分别是它们的对角线，则与数量关系______，位置关系______；
    【类比迁移】
    如图，在和中，，，，，将绕点在平面内逆时针旋转，设旋转角为，连接，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
    【拓展延伸】
    如图，在中，，，过点作，在射线上取一点，连结，使得，请求线段的最大值．

27. 已知，如图，在平面直角坐标系中，、，把点绕原点逆时针旋转，使其落在轴负半轴点处，抛物线过、、三点，连接．
    求抛物线的解析式；
    把直线向上平移，平移后的直线交轴于点，交轴右侧的抛物线于点，连接、，若，求点的坐标；
    点为直线上一个动点，设点的横坐标为，若以、、三点组成的三角形为钝角三角形，试求出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
最大的数是，
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较大小，再求出最大的数，最后得出选项即可．
本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小是解此题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此不符合题意；
三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此不符合题意；
球的主视图、俯视图都是圆，因此选项C符合题意；
圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此不符合题意；
故选：．
根据圆柱、三棱柱、球、圆锥的主视图、俯视图进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
 

3.【答案】

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：，，
，
平分，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质和角平分线的定义，可以求得的度数．
本题考查了平行线的性质，灵活运用平行线的性质进行推理是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

6.【答案】

【解析】解：、与不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则，完全平方公式，积的乘方的运算法则，同底数幂的乘法法则分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式、积的乘方，同底数幂的乘法，正确掌握相关运算法则和公式是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：如图，即为所求，．

故选：．
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
 

8.【答案】

【解析】解：、每月阅读数量的平均数是，故A错误，不符合题意；
B、出现次数最多的是，众数是，故B错误，不符合题意；
C、由小到大顺序排列数据，，，，，，，，中位数是，故C错误，不符合题意；
D、由折线统计图看出每月阅读量超过的有个月，故D正确，符合题意；
故选：．
根据平均数的计算方法，可判断；根据众数的定义，可判断；根据中位数的定义，可判断；根据折线统计图中的数据，可判断．
本题考查了折线统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况．注意求中位数先将该组数据按从小到大或按从大到小的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
 

9.【答案】

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为种，
恰好有一车直行，另一车左拐的概率，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，过点作于，

由作图可知，垂直平分线段
，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
：：，
，，
平行四边形的面积，
故选：．
过点作于，证明是等边三角形，求出，即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．
过点 作 的平行线 ，过点 作 于 ，则 ， 先求出 ，则 ，然后在 中，利用正弦函数的定义得出 ，则栏杆 段距离地面的高度为： ，代入数值计算即可．
【解答】解：如图，过点 作 的平行线 ，过点 作 于 ，

则 ，
，
，
，
在 中， ， ， 米，
米 ，
米，
米．
故选： ．   

12.【答案】

【解析】解：时，随的增大而增大，
抛物线开口向下，，错误．
，
，
，
，
，，错误．
，
，
抛物线经过，
，
，正确．
，，
，
，正确．
故选：．
由时，随的增大而增大可知抛物线开口向下，从而判断，由点，坐标及的取值范围可得，从而判断及，由抛物线开口向下，，，可得点在对称轴右侧，从而判断．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

13.【答案】

【解析】解：原式．
故答案是：．
利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查了运用公式法因式分解，解题的关键是能够灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

14.【答案】

【解析】解：正方形的面积为，黑色部分的总面积为，
向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为，
故答案为：．
用黑色部分的总面积除以正方形的面积即可得答案．
本题考查了几何概率，解题关键是掌握概率公式．
 

15.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
方程两边都乘，得，
解得：，
，
，
，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
故答案为：．
根据题意得出方程，再方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：该正九边形内角和，
则每个内角的度数．
故答案为：．
先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．
本题主要考查了多边形的内角和定理：，比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．
 

17.【答案】用时分钟

【解析】解：设甲离地的距离与所用的时间的函数关系式为：，
把代入得：，
解得：，
即设甲离地的距离与所用的时间的函数关系式为：，
把代入得：
，
解得：，
即甲离地的距离与所用时间的函数图象与乙离地的距离与所用时间的函数图象交点为，
设乙离地的距离与所用时间的函数关系式为：，
把和代入得：
，
解得：，
即乙离地的距离与所用时间的函数关系式为：，
当时，
，
解得：，
即乙从地到达地所用的时间为：分钟，
故答案为：用时分钟．
根据函数图象，用待定系数法求出甲离地的距离与所用的时间的函数关系式，从而求出甲离地的距离与所用时间的函数图象与乙离地的距离与所用时间的函数图象交点坐标，根据待定系数法求出乙离地的距离与所用时间的函数关系式，把代入，即可求出乙从地到达地所用的时间，从而得到答案．
本题考查了一次函数的应用，正确掌握待定系数法求一次函数并正确分析图象是解题本题的关键．
 

18.【答案】

【解析】解：由翻折可得，
，，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，，
∽，
，
即，
解得，．
，
，
，
，
．
故答案为：．
由已知条件及翻折性质可得，，，，，，，，证明∽，可求得，根据，可得，则所求即求，即可得出答案．
本题考查翻折变换折叠问题、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：


．

【解析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

20.【答案】解：，
解不等式，得；
解不等式，得，
这个不等式组的解集是，
这个不等式组的整数解是、、．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】只要证明≌即可；
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】；   
等级人数为，
补全学生成绩频数分布直方图如下：


估计成绩优秀的学生有人．

【解析】解：一共调查学生人数为，等级人数，
故答案为：，；
见答案；
由于一共有个数据，其中位数是第、个数据的平均数，而第、个数据都落在等级，
所以所抽取学生成绩的中位数落在等级；
故答案为：．
见答案

由等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以等级对应百分比可得的值；
总人数乘以等级人数所占百分比求出其人数即可补全图形；
根据中位数的定义求解即可；
总人数乘以样本中、等级人数和所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】证明：连接，

，
，
为圆的切线，
，
，
，
，
，
；
解：在中，，，
，
，，
∽，
，
，
，
在中，，
设，则，
，
解得：，
即的半径为．

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，根据余角的性质即可得到；
根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元，
依题意得：，
解得：，
答：毛笔的单价为元，宣纸的单价为元；

设可以购买支毛笔，则购买宣纸的数量为张，
根据题意可得：，
解得：，
答：学校最多可以购买支毛笔．

【解析】设毛笔的单价为元，宣纸的单价为元，根据“购买支毛笔和张宣纸需要元；购买支毛笔和张宣纸需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设可以购买支毛笔，则购买宣纸的数量为张，根据中所求，结合计划用不多于元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计得出不等式求出答案．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：将点和代入得，
，，
，反比例函数，
将点代入得，
，
，
一次函数；
如图，一次函数中，当时，，
，
，

：：，
，
解得，
，
直线的解析式为，
，
，
，
；
如图，取的中点，连接，

，
，
，，
点，
，
，
设，
，
解得，，
或

【解析】将点和代入得，，，在将点坐标代入一次函数解析式，解方程即可；
分别表示出梯形和的面积，从而得出的坐标，求出直线的解析式，与双曲线且交点即可；
取的中点，连接，设，根据可得，解方程即可．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，直角三角形斜边上直线的性质等知识，求出直线的解析式是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】【方法尝试】：证明：如图中，延长交于，

矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，
，，，，
≌，
，
，
，
，
故答案为：；；
【类比迁移】：解：，，
理由：如图中，延长交于点，交于点，

，
，
即，
，，，，
，
∽，
，，
，
，
，；
【拓展延伸】：解：如图中，过点作，使得，取的中点，连接，，，，

，，
，
，
即，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
的最大值为．
【方法尝试】如图中，延长交于，利用旋转的性质证明≌，可得结论；
【类比迁移】结论：，，证明∽，可得结论；
【拓展延伸】如图中，过点作，使得，取的中点，连接，证明∽，推出，可得，再求出的取值范围，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

27.【答案】解：，
，
点绕原点逆时针旋转到点，
，
将、，代入，
，
，
；
，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
联立，
解得或，
点在轴右侧的抛物线上，
，
；
设直线的解析式为，
，
，
，
点横坐标为，
，
如图：过点作交于点，过点作交于点，
，，，，

，
，
，
，
当时，为钝角；
过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
与都是等腰直角三角形，
，
，
，
当时，为钝角；
当或时，为钝角三角形；
综上所述：或时，为钝角三角形．

【解析】求出，再将、，代入，即可求解；
由平行可知，则，求出直线的解析式为，联立，即可求；
由题可知，过点作交于点，过点作交于点，分别求出当为直角和为直角时的值，此时的值是临界值，再结合图象即可确定的取值范围．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，数形结合解题是关键．