2022年河北省保定市清苑区中考数学一模试卷（含解析）

2022年河北省保定市清苑区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共42分）

1. 下列实数中，为无理数的是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连结，则

A.  B.  C.  D.

3. 若表示实数的点在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是

A. 是正整数 B. 的相反数是
C. 的倒数是 D. 的绝对值是

4. 如图，小明手持激光灯照向地面，激光灯发出的光线与地面形成了两个角，，则的度数是

A.  B.  C.  D.

5. 下面运算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 某种计算机完成次基本运算的时间约为纳秒，已知，该计算机完成次基本运算，所用时间用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

7. 在“爱我河北”白色垃圾清理活动中，小霞同学从点出发，沿北偏西方向到达地，已知，此时营地在的

A. 北偏东方向上
B. 北偏东方向上
C. 南偏西方向上
D. 北偏西方向上
 

8. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为

A.  B.  C.  D.

9. 根据数值转换机的示意图，输出的值为

A.
B.
C.
D.

10. 已知线段，按如下步骤作图：作射线，使；作的平分线；以点为圆心，长为半径作弧，交于点；过点作于点，则：

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

11. 小明去商店购买、两种玩具，共用了元钱，种玩具每件元，种玩具每件元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量多于种玩具的数量．则小明的购买方案有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

12. 李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是
    已知：如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，
    求证：∽．
    证明：又，
    ，
    ，
    ，
    ∽．

A.  B.  C.  D.

13. 已知和有相同的外心，，则的度数是

A.  B.  C. 或 D. 不能确定

14. 已知分式：的某一项被污染，但化简的结果等于，被污染的项应为

A.  B.  C.  D.

15. 如图，在平面直角坐标系中，横纵坐标都为整数的点称为整点，等边三角形的顶点在第一象限，点，双曲线把分成两部分，若这两部分内的整点个数相等不含边界，则的取值范围为

A.
B.
C.
D.

16. 如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，点，分别对应点，给出下列结论：
    顺次连接点，，，的图形是平行四边形；
    点到它关于直线的对称点的距离为；
    的最大值为；
    的最小值为．
    其中正确结论的个数是

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共3小题，共11分）

17. 如图，在平面直角坐标系中，有一个由四个边长为的正方形组成的图案，其中点坐标为，则点坐标为______．
    
     

18. 年是中国共产党成立周年，某校举行“喜迎中国共产党建党周年”党史知识竞赛，如表是名决赛选手的成绩．这名决赛选手成绩的中位数是______，如果再加一位选手参加决赛，加上这位选手的成绩后，发现名选手与之前位选手的成绩的中位数一样．设最后参赛选手的成绩是分，则的取值范围是______．

19. 某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以支彩铅为例，可以设计如图的两种收纳方案；
    如果要装支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是______．
    如果你要装只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，则底面半径的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共67分）

20. 如图，在一个长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛，若圆形的半径为米，广场的长为米，宽为米。
    请列式表示广场空地的面积；
    若休闲广场的长为米，宽为米，圆形花坛的半径为米，求广场空地的面积。计算结果保留

21. 图、图是某月的月历．
    
    图中带阴影的方框中的个数之和与方框正中心的数有什么关系？请说明理由．
    如果将带阴影的方框移至图的位置，中的关系还成立吗？若成立，说明理由．
    甲同学说，所求的个数之和可以是，乙同学说，所求的个数之和也可以是，甲、乙的说法对吗？若对，求出方格中最中间的一个数，若不对，说明理由．
22. 疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统计表：

表中，______，______，______；
依据表中数据，求哪个年级教师接种率最高；
若该市初中七、八、九年级一共约有名教师，根据抽样结果估计未接种的教师约有多少人；
为更好地响应号召，立德中学从最初接种的名教师其中七年级名，八年级名，九年级名中随机选取名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．

23. 如图，是的直径，，点是射线上一点且，过点作交射线于点．
    求证：；
    求证：≌；
    当与相切时，若的半径为，求弧的长．

24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线经过点，且与轴、轴分别相交于点、，与正比例函数的图象直线交于点，点的横坐标为．
    求、的值；
    直线与直线，分别相交于点、，且点与关于轴对称．求的值；
    若一次函数的图象直线与线段有交点，直接写出的取值范围．
25. 某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件的生产成本为元，销售价格在元件至元件之间含元件和元件，销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用不含生产成本总计万元，其销售量万件与销售价格元件之间的函数关系如图所示．
    当时，求与之间的函数关系式；
    求出该种产品从生产到销售完，获得的利润万元与销售价格元件之间的函数关系式；
    当销售价格定为多少元件时，获得的利润最大？最大利润是多少？

26. 课本再现
    在证明“三角形内角和定理”时，小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图即可证明，其中与相等的角是______ ；
    
    类比迁移
    如图，在四边形中，与互余，小明发现四边形中这对互余的角可类比中思路进行拼合：先作，再过点作于点，连接，发现，，之间的数量关系是______ ；
    方法运用
    如图，在四边形中，连接，，点是两边垂直平分线的交点，连接，．
    求证：；
    连接，如图，已知，，，求的长用含，的式子表示．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意．
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】

【解析】解：，点是直线上的一个动点，连结，
，
故选：．
根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论．
本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，
应是负整数，故选项A不符合题意；
的相反数应该是，故选项B不符合题意；
的倒数是，故选项C符合题意；
的绝对值是，故选项D不符合题意．
故选：．
根据数轴判断的值是，进行判断即可．
本题考查了实数的性质，解题的关键是判断点表示哪个数．
 

4.【答案】

【解析】解：设，则，
，
，
解得．
故选：．
设，则，结合可求出的值，即可得出答案．
本题考查邻补角的定义、角的计算，熟练掌握邻补角的定义是解答本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、不是同类项不能合并，故A错误；
B、系数相加字母部分不变，故B正确；
C、不是同类项不能合并，故C错误；
D、系数相加字母部分不变，故D错误；
故选：．
根据合并同类项：系数相加字母部分不变，可得答案．
本题考查了合并同类项，合并同类项时系数相加字母部分不变．
 

6.【答案】

【解析】解：计算机完成次基本运算的时间约为纳秒，，
次基本运算，所用时间用科学记数法表示为：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

7.【答案】

【解析】解：过点作，

由题意得：
，
，
，
，
，
此时营地在的南偏西方向上，
故选：．
过点作，根据题意可得，然后再利用平行线的性质可求出的度数，然后再求出的度数，即可解答．
本题考查了方向角，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：俯视图为正方形，根据主视图可得：正方形对角线为，长方体的高为，
长方体的体积为：．
故选：．
根据对角线为，俯视图是一个正方形，则底面面积为，再根据长方体体积计算公式即可解答．
此题考查了由三视图判断几何体，用到的知识点是三视图的基本知识以及长方体体积计算公式．
 

9.【答案】

【解析】解：当时，




，
故选：．
由数值转换机的示意图得出代数式，再把代入计算，即可得出答案．
本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，掌握负整数指数幂的意义是解决问题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
设，
故AE，
：．
故选：．
直接利用基本作图方法得出，再结合等腰直角三角形的性质表示出，的长，即可得出答案．
此题主要考查了基本作图以及等腰直角三角形的性质，正确掌握基本作图方法得出线段之间关系是解题关键．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元一次不等式组的应用题，正确表示出购买 种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键所在．
设小明购买了 种玩具 件，则购买的 种玩具为 件，根据题意列出不等式组进行解答便可．
【解答】
解：设小明购买了 种玩具 件，则购买的 种玩具为 件，根据题意得，

解得， ，
为整数， 也为整数，
或 或 ，
有 种购买方案．
故选： ．   

12.【答案】

【解析】证明：，
，
又，
，
∽．
故选：．
由，，得到，，即可证明∽．
本题考查了相似三角形的判定及平行线的性质；关键是证明三角形相似．
 

13.【答案】

【解析】解：和有相同的外心，设外心为，则和外接圆的半径都为，
和是同一外接圆，
当点和在的异侧时，，
，
，
当点和在的同侧时，，
综上所述：的度数是或，
故选：．
证明和是同一外接圆，分两种情况：当点和在的异侧和同侧，根据根据圆内接四边形的性质和圆周角的性质即可求得结论．
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，能够正确画出图形，分类讨论是解决问题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：设被污染的项应为，
原式


，
化简的结果等于，
，
．
故选：．
设被污染的项应为，利用分式的加减的运算法则进行化简运算，根据化简的结果等于，得到关于的等式，利用对应项的系数相等即可得出结论．
本题主要考查了分式的加减法与分式的约分，设被污染的项应为，利用对应项的系数相等求得结论是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：等边三角形的顶点，
内部的整数点为和，
双曲线把分成两部分内的整点个数相等不含边界，则的取值范围为，
故选：．
根据反比例函数图象上点的横纵坐标之积为求得即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，反比例函数为常数，的图象上点的横纵坐标之积为是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：
如图中，当与不重合时，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
当点与重合时，四边形不存在，故错误，
作点关于直线的对称点，连接交于，交于点，作于点，由平移的性质，得 ，
，由矩形的对称性，得，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，故正确，
，
，
的最大值为，故正确，
如图中，，
，
作点关于的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值为，
由∽，可得，
，
，
，
由∽，可得，
，
，，
，
，
的最小值为故正确，
故选：．
根据平行四边形的判定可得结论．
作点关于直线的对称点，连接交于，交于点，则利用面积法求出即可．
根据，推出，可得结论．
作点关于的对称点，连接交于，过点作交的延长线于，连接交于，此时的值最小，最小值为．
本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

17.【答案】

【解析】解：图象是由四个边长为的正方形组成的图案，
点是由点向右平移个单位，再向下平移个单位得到，
，
，
故答案为：．
利用正方形的性质观察点的坐标与点的坐标关系即可求得结论．
本题主要考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，利用正方形的性质得出点的平移规律是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：共名选手的成绩，第名选手的成绩是中位数，
中位数是；
加上一名选手后，名选手成绩的中位数仍是，
，
故答案为：，．
根据众数和中位数的定义解答即可．
本题考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解题关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图中，圆的半径为，

底面积为
如图中，连接，．

，，，
，
，
等边三角形的边长，
底面积，
等边三角形作为底面时，面积比较小，底面积为

如图中，设计方案如图所示，

在中，，，
，
底面半径的最小值为．
故答案为：．
利用圆面积，等边三角形的面积，即可判断．
设计方案如图所示，利用勾股定理求出半径即可．
本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

20.【答案】解：广场空地的面积为：平方米；

当，，时，平方米。

【解析】空地的面积长方形的面积个半径为的圆的面积；
把相应数值代入中式子求值即可。
本题主要考查了列代数式，关键是得到四个角的花坛的面积正好为一个圆的面积。
 

21.【答案】解：，
，
图中带阴影的方框中的个数之和是方框正中心的数的倍；
将带阴影的方框移至图的位置，中的关系还成立．
，
，
倍关系成立；
甲说法正确，
设最中间的数为，
则，
解得，
甲正确，中间数为，
乙说法错误，
设最中间的数为，
则，
解得，
不是的整数倍，
乙说法错误．

【解析】求出方框中个数的和，再除以方框正中心的数即可得出结论；
求出方框中个数的和，再除以方框正中心的数即可得出结论；
设最中间的数为，由结合个数的和为即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，对照图形即可得出不可以；设最中间的数为，由结合个数的和为即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，对照图形即可得出不可以．
本题考查了一元一次方程的应用以及代数式求和，利用代数式的加法找出方框中的个数的和是方框正中心的数的倍是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：；
；
；
故答案为：，，；
七年级接种率为，
八年级接种率为，
九年级接种率为，
，
七年级教师接种率最高；
人，
所以估计未接种的教师约有人；
画树状图为：

共有种等可能结果，其中两名老师恰好不在同一年级的结果有种．
所以选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．
利用表中数据计算、、的值；
分别计算各年级教师接种率，从而得到接种率最高的年级；
用乘以样本中未接种的教师的百分比即可；
画树状图展示所有种等可能结果，再找出两名老师恰好不在同一年级的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．也考查了统计图．
 

23.【答案】证明：，
点是的中点，
点是的中点，
，
，
；
证明：，，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
在和中，
，
≌
解：如图，

连结
与相切时

在中
为等边三角形

．

【解析】可证得是三角形的中位线，进一步得出结论；
可证得，，进一步得出结论；
连接，可证得，根据弧长公式求得结果．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定，弧长公式等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识．
 

24.【答案】解：当时，，
点的坐标为．
将、代入，
，解得，
，；

，，
一次函数，
当时，，
当时，，
与，
与关于轴对称
，
解得；

一次函数与轴交于点，
．
直线经过时，
，解得，
直线经过时，，
直线与线段有交点时，的取值范围为．

【解析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值；
将分别代入直线，，可得点、的坐标，根据点与关于轴对称即可求解；
求出点将、的坐标分别代入求出的值，即可得的取值范围．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，关于轴对称的点的坐标特点，两直线相交问题，熟练掌握一次函数的相关性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：在中，令，得，
，
当时，设，图象过和
，
解得：
；
根据题意，当时，，
当时，，
综上所述：；
当时，，
当时，取最大值为万元，
当时，，
，随的增大而增大，
当时，取最大值为万元，
综上所述，当或时，获得的利润最大，最大利润是万元，
答：当销售价格定为元件或元件，获得利润最大，最大利润是万元．

【解析】求出，用待定系数法即得；
分两种情况：当时，，当时，；
当时，，可得当时，取最大值为万元，当时，，当时，取最大值为万元．
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，求二次函数最大值等，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

26.【答案】
证明：如图中，连接，作的外接圆．

点是两边垂直平分线的交点
点是的外心，
，
，
，
，，
，
．

解：如图中，在射线的下方作，过点作于．

，，
∽，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，，，
，
．

【解析】解：如图中，由图形的拼剪可知，，
故答案为：．
解：如图中，


，，
，
．
故答案为：．

见答案．

见答案．
 

根据图形的拼剪可得结论．
利用勾股定理解决问题即可．
如图中，连接，作的外接圆利用圆周角定理以及三角形内角和定理，即可解决问题．
如图中，在射线的下方作，过点作于利用相似三角形的性质证明，求出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了三角形的外心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．