2022年陕西省西安市长安区中考数学二模试卷（含解析）

2022年陕西省西安市长安区中考数学二模试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 实数，，，中，无理数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是

A.
B.
C.
D.
 

3. 下列式子运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 将一副直角三角板如图放置，其中直角顶点重合，且，，当时，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 如果点为正比例函数的图象上任意一点，且，那么的值是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，为的直径，点为上一点，且，则弦与弦的关系是

A.
B.
C.
D.
 

7. 如图，在菱形中，，，、分别为边、上一点，且，连接，将沿折叠，得到，连接，则的长度为

A.  B.  C.  D.

8. 抛物线与轴正半轴交于点，与轴交于点，平行于轴的直线在轴上方，与该抛物线交于不同两点、，与直线交于点，若实数满足等式，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

9. 已知多项式分解因式后为，则的值为______．
10. 一个正五边形和正六边形如图放置，则的度数为______．
    
     

11. 我国古代南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，它有很多特性，其中一个是：三角形中任意一个数等于它“肩上”两数的和，则图中的值等于______．
    
     

12. 如图，点、为反比例函数图象上第一象限内两点，过点作轴于点，连接，交于点，连接，当点为中点时，则的面积为______．
    
     

13. 如图，在等边中，，点、分别为边、上一点，连接，，若，则的最小值为______．
    
     

三．计算题（本题共1小题，共5分）

14. 计算：．

四．解答题（本题共12小题，共76分）

15. 解不等式组：．
16. 解方程：．
17. 如图，是北师大版教材七年级下册某一页的插图，这幅插图告诉我们可以用铅笔支起一张均匀的三角形卡片．请用尺规作图法，在图的中找到这个支点保留作图痕迹，不写作法．

18. 已知：如图，在中，三角形的两条高，交于点，且，求证：．
    
    
     

19. 在防疫政策的指导下，疫情得到了全面控制某医疗器械厂计划在规定时间内完成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服套，那么就比原计划生产任务少生产套；如果每天生产套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务套，求这批防护服原计划生产任务是多少？
20. 一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，分别标有数，，，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成个面积相等的扇形区域，分别标有数，，如图所示小明和小亮打算通过游戏方式来决定胜负，游戏规则为：小明从口袋中摸出一个小球，记下对应的数；小亮转动圆盘，圆盘停止后，记下指针指示的数若指针指在界限处则重新转动．
    小明从口袋中摸到标有数的小球的概率为______；
    若两数的积为正数，小明获胜；否则小亮获胜．请用列表或画树状图的方法说明两人谁获胜的概率大？

21. 某日下午，老王闲来无事登上离家不远的山坡，如图所示，他到达坡顶时，想知道前方建筑物的高度，在处测得建筑物最高点的仰角为，建筑物最低点的俯角为，若山坡的长为米，坡度为：请根据文中数据帮助老王计算建筑物的高度结果精确到，，，，，，，
22. 我们约定：如果身高在选定标准的范围之内都称为“优身高”为了解某校九年级男生中具有“优身高”的人数，我们从该校九年级男生中随机选出名，分别测量出他们的身高单位：，收集并整理统计如下表：

根据以上表格信息，解答如下问题：
这个数据的中位数是______，众数是______；
如果以中位数作为选定标准，请通过计算说明，上面挑选的名男生中具有“优身高”的有几人？
请根据第问中的信息，估计本校名男生中具有“优身高”的人数．

23. 近期油价持续变化，人们越来越关心汽车的油耗．经常跑高速的张师傅发现当汽车以的速度行驶时，油耗为，之后行驶速度每增加，油耗会随之减少，并且在速度增加到时油耗达到最低．当车速超过后，行驶速度每增加，油耗会随之增加，并且在速度达到时，油耗为．
    当车速在时，求出油耗与车速之间的关系式；
    请你求出的值．
24. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线交于点．
    求证：；
    若，求图中阴影部分的面积．
    
     

25. 如图，已知二次函数的图象交轴于、两点点在点右侧，与轴交于点．
    求点、、的坐标；
    、为直线上两点点在点右侧，且，分别过点、作轴的平行线，交二次函数的图象于、两点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点的横坐标．

26. 问题提出
    如图，正方形的边长为，、分别为边、的中点，连接，点为线段上一点，且，连接并延长交边于点，则的面积等于______；
    问题探究
    如图，在平行四边形中，，对角线的长为，求平行四边形面积的最大值；
    问题解决
    北京冬奥会已经结束，为践行奥运理念，持续合理的利用某场地，现对该场地重新规划要在这片场地中构造一个面积尽可能大的符合条件的三角形，如图，在中，，点为边上一点，且，连接，，求面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是无理数，故本选项符合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：．
根据无理数的定义求解即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

2.【答案】

【解析】解：、选项是原图形绕点按顺时针方向旋转后得到，故A符合题意；
B、选项B是原图形的对称图形，故B不符合题意；
C、选项C是原图形绕点按逆时针方向旋转，故C不符合题意；
D、选项D也是原图形绕点按逆时针方向旋转，故D不符合题意；
故选：．
本题主要考查旋转的性质，旋转过程中图形形状和大小都不发生变化，根据旋转性质判断即可．
本题主要考查旋转的性质，熟练掌握并应用旋转的性质是解题的关键，重点注意旋转的方向和角度．
 

3.【答案】

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用单项式乘单项式的法则，整式的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】

【解析】解：，

，
，
故选：．
根据，求出即可解决问题．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
 

5.【答案】

【解析】解：把点代入正比例函数，可得：，
因为，
所以可得：，
解得：，
故选：．
把点代入正比例函数解答即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数，，且，为常数的图象是一条直线．它与轴的交点坐标是；与轴的交点坐标是直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
 

6.【答案】

【解析】解：如图，过点作，交于，连接，，

是的直径，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
设，则，
，
．
故选：．
如图，过点作，交于，连接，，证明是等腰直角三角形，且，设，则，计算和的比可得结论．
本题考查了圆心角和弧的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，常通过作辅助线构建等腰直角三角形是解本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：过作于，如图：

四边形是菱形，，，
，，
将沿折叠，得到，，
，
四边形是菱形，
，
在中，
，，
，
，
，
故选：．
过作于，根据四边形是菱形，，，将沿折叠，得到，，可得四边形是菱形，，在中，可得，，用勾股定理即可求出答案．
本题考查菱形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质及菱形的性质．
 

8.【答案】

【解析】解：，
顶点坐标为，
令，则，
，
令，则，
解得：，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
设平行于轴且在轴上方的直线为，
则满足，
，，
联立与，
得，
抛物线与有两个不同交点，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据抛物线解析式求出，坐标，在用待定系数法求出直线的解析式，设平行于轴且在轴上方的直线为，得出点坐标与的关系，再联立与，得出，由得出的取值范围，再由根与系数的关系得出的取值范围．
本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求函数解析式、根与系数的关系等知识，关键是一元二次方程与二次函数之间关系的应用．
 

9.【答案】

【解析】解：，
根据题意可得，
，
即．
故答案为：
由应用多项式乘法法则计算可得，再由，即可得出答案．
本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的应用及多项式乘法计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，

由题意得：，，，
，
．
故答案为：．
根据正多边形的定义可得，，根据角的和差即可得到结论．
本题考查了正多边形和圆、熟练掌握正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：由题中数字的变化规律知，，
，
故答案为：．
根据数字的变化规律得出，计算出的值即可．
本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化得出的值，再根据的值得出的值是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：设点的坐标为，则，
轴，
点的横坐标为，
点是的中点，
点的横坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
，
，
故答案为：．
先设点的坐标，得到点的横坐标，然后由点是的中点得到点的坐标，进而得到点的坐标，再得到的长，最后得到的面积．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键根据反比例函数图象上点的坐标特征得到点、的坐标，从而得到线段的长．
 

13.【答案】

【解析】解：设，
是等边三角形，
，，
，，
，
∽，
，
，
，
当时，最大值为，
的最小值为，
故答案为：．
设，利用∽，表示出的长，再利用二次函数的性质可得的最大值，从而得出答案．
本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，运用相似三角形的性质得出的长是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式

．

【解析】原式利用立方根定义，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，负整数指数幂，立方根，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握各自的性质及运算法则是解本题的关键．
 

15.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：
方程两边同乘以
得
整理，得

检验，把代入．
所以，原方程的根是．

【解析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
解分式方程一定注意要验根．
 

17.【答案】解：如图，点为所作．
 

【解析】作和的垂直平分线，它们的交点为．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

18.【答案】证明：三角形的两条高，交于点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：设这批防护服原计划生产任为套，
依题意得：，
解得：，
答：这批防护服原计划生产任为套．

【解析】可设这批防护服原计划生产任为套，根据生产时间的关系列出方程，解方程即可．
本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
 

20.【答案】

【解析】解：小明从口袋中摸到标有数的小球的概率为，
故答案为：．
列表如下：

由图知，共有种等可能结果，其中两数的积为正数的有种结果，两数的积为负数的有种结果，
所以小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，
小亮获胜的概率大．
直接利用概率公式求解即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到积为正数和负数的情况，根据概率公式分别求出小明、小亮获胜的概率，继而得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：过点作与点，作于，

斜坡的坡度或坡比：，米，
设，则．
在中，，
解得舍去，，
米，
在中，
，
，即米，
在中，
，
，即米，
米．
答：建筑物的高度约为米．

【解析】过点作与点，作于，根据斜坡的坡度或坡比：可设，则利用勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出和的长，进而可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：这个数据的中位数是：，众数是，
故答案为：；；
如果以中位数作为选定标准，上面挑选的名男生中具有“优身高”的有、、、共人；
人，
答：估计本校名男生中具有“优身高”的人数为人．
根据中位数和众数的定义分别进行计算，即可求出答案；
根据“优身高”的定义解答即可；
用样本估计总体即可．
此题考查了中位数、众数，本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

23.【答案】解：设当车速在时，油耗与车速之间的关系式为，由题意可知，直线经过和，
则，
解得，，
；
设时，油耗与车速之间的关系式为，由题意可知，直线经过和，
则，
解得，
，
联立方程组，
解得，
故．

【解析】利用待定系数法求出时，油耗与车速之间的关系式；
利用待定系数法求时，油耗与车速之间的关系式，再建立方程组解答即可．
本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解答本题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，，
为直径，
，又，
是切线，
是切线，
，
，
，
，，
，
，
，
；
解：在中，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积


．

【解析】连接，，由为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到为直角，再由为直角，得到为圆的切线，利用切线长定理得到，利用等边对等角得到一对角相等，由为直角，得到两对角互余，利用等角的余角相等得到，利用等角对等边得到，等量代换即可得证；
根据已知条件得到是等边三角形，求得，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：二次函数的图象交轴于、两点点在点右侧，与轴交于点，
令，则，解得或，
，，
令，则，
；
由可知，，，；
，，直线的解析式为：，
，
如图，过点作于点，

∽，
：：：：：：，
，
，，
设点的横坐标为，则，，
轴，轴，
，，，即，
，
，
若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，只需，
，解得或或．
综上，点的横坐标为或或．

【解析】令，得出的值，即可得出点的坐标；令，得出的值即可得出和的坐标；
过点作于点，则∽，根据的长，可求出和的长，设出点的坐标，可分别表达出点，，的坐标，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，因为，所以只需，建立方程求解即可．
本题属于二次函数综合题，涉及二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质与判定，得出是解题关键．
 

26.【答案】

【解析】解：，
，
正方形的边长为，
，
，
，，
∽，
，
，为，中点，
，
，
，
故答案为：；
为平行四边形的对角线，
，
，
，
，
如图，以为弦作，点在上，最大，即最大，

，
点为中点，
，
，
，
，
，
，
平行四边形面积的最大值为；
如图，过点作交的延长线于点，

，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设的面积为，则的面积为，的面积为，
的面积为，的面积为，
当最大时，也最大，
如图，作的外接圆，为的弦，点在上，
连接，交于，当时，最大，

，
，
，
，
，
，
，
，
的面积为，
，
即面积的最大值为．
利用∽，得，求出的长，可得面积；
由平行四边形的性质得，只有面积最大即可，根据定边对定角可知，时，的面积最大，
过点作交的延长线于点，则∽，得，可得和的长，根据定边对定角求出的最大面积，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，利用定边对定角构造圆是解决问题和的关键．