2022年江苏省常州市溧阳市中考数学模拟试卷（含解析）

2022年江苏省常州市溧阳市中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算结果正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列几何体中，三棱锥是

A.  B.
C.  D.

4. 根据有关基础资料和国民经济核算方法，我国年国内生产总值简称达到元，这个数据用科学记数法表示正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图所示，直线，有一块直角三角板的三个顶点刚好落在三条直线上，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

6. 如图，中，，，，点、、分别是、、的中点，则四边形的周长是

A.
B.
C.
D.

7. 抛物线上有三个点、、，其横坐标分别为、、，则的面积为

A.  B.  C.  D.

8. 如图所示，矩形的两边落在坐标轴上，反比例函数上的图象在第一象限的分支交于点，交于点，连接并延长交轴于点，连接，若，则的值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20分）

9. ______．
10. 计算的结果为______．
11. 分解因式：______．
12. 点、点在数轴上表示的数分别是，，则线段的长为______．
13. 代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
14. 用圆心角为，半径为的扇形作圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
15. 已知一组数据：，，，，的平均数是，那么这组数据的方差为______．
16. 如图，直线与相切于点，且，则______．
    
     

17. 城市停车问题突出，为了解决这一问题，某小区在一段道路边开辟一段斜列式停车位，每个车位长，宽，矩形停车位与道路成角，则在这一路段边上最多可以划出______个车位．参考数据：，，

18. 如图，矩形中，，，点是矩形对角线上的动点，连接，过点作交所在直线与点，以、为边作矩形，当时，则长为______．

三、解答题（本大题共10小题，共84分）

19. 计算：．
20. 解方程和不等式组
    ；
    ．
21. 已知：如图，将绕点旋转一定角度得到，若．
    求证：≌；
    若，，求四边形的面积．
     

22. 为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高单位：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．
    填空：样本容量为______，______；
    把频数分布直方图补充完整；
    若从该地随机抽取名学生，估计这名学生身高低于的概率．

23. 某校举行校园艺术节，九年级参加了班级歌咏比赛，歌曲有：少年，逆光，隐形的翅膀分别用字母，，依次表示这三首歌曲比赛前，将，，这三个字母分别写在张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，九班先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由九班从中随机抽取一张卡片，进行比赛．
    九班抽中歌曲少年的概率是______；
    试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出九班和九班抽中不同歌曲的概率．
24. 秉承“绿水青山就是金山银山”理念，发展乡村振兴特色旅游，某乡镇购买甲、乙两种树苗对旅游道路进行绿化，已知甲种树苗每棵元，乙种树苗每棵元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的倍少棵，购买两种树苗的总金额为元．
    求购买甲、乙两种树苗各多少棵？
    为保证绿化效果，乡镇决定再购买甲、乙两种树苗共棵，总费用不超过元，则甲种树苗最多可以买多少棵？
25. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点是坐标系原点，点坐标为．
    求出点、的坐标；
    在轴上有一动点，过点作轴，交于点，连接，将四边形沿翻折，当点刚好落在轴上点处时，求点、的坐标．

26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，点的坐标为，，，边与轴交于点．
    直接写出点、、的坐标；
    在轴上取点，直线经过点，与轴交于点，连接．
    当时，求直线的函数表达式；
    当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，求点的坐标．

27. 规定：如果一个凸四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此凸四边形为广义菱形．
    下列图形是广义菱形的有：______．
    平行四边形；矩形；菱形；正方形；
    若、的坐标分别为，，是二次函数的图象上在第一象限内的任意一点，垂直直线于点，试说明四边形是广义菱形；
    如图，在反比例函数的图象上有一点，在轴上有一点，请你在轴和反比例函数上分别找出两点、，使得四边形是广义菱形且，请直接写出、的坐标．

28. 如图，抛物线经过点、．
    求抛物线的函数表达式；
    设抛物线的顶点为，与轴相交于点，连接、、、，请你判断与的数量关系，并说明理由；
    如图，连接，与相交于点，点是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点，使得，且？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：有理数的相反数等于，
故选：．
直接根据相反数的概念解答即可．
此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

2.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】

【解析】解：选项A中的几何体是长方体，因此选项A不符合题意；
选项B中的几何体是四棱锥，因此选项B不符合题意；
选项C中的几何体是三棱锥，因此选项C符合题意；
选项D中的几何体是三棱柱，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据三棱锥的形体特征进行判断即可．
本题考查认识立体图形，掌握棱锥的形体特征是正确判断的前提．
 

4.【答案】

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．
 

5.【答案】

【解析】解：如图

，
．
．
，
．
故选：．
根据平行线的性质可知，进而可求，再根据平行线的性质可知．
本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形熟练运用平行线的性质进行角的转化和计算．
 

6.【答案】

【解析】解：点、、分别是、、的中点，
，，，，
四边形的周长，
故选：．
根据三角形中位线定理、线段中点的性质得到，，，，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：抛物线上有三个点、、，其横坐标分别为、、，
，，，
设直线的解析式为，则有，
解得：，，，
的长为，
．
故选：．
把横坐标代入抛物线解析式，可得相应的纵坐标；设出直线的解析式，把，两点代入，即可求得直线的解析式，作轴，交直线于点，可得的长度，那么的面积可分为和的面积的和，把相关数值代入即可求解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，根据三角形面积公式得到是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：设点的坐标为，
四边形为矩形，
，，
点，在反比例函数图形上，
，，
直线解析式为，
令，代入得，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是平行四边形，
，
故选：．
设点的坐标为，得到，，利用待定系数法求出直线解析式为，得出点的坐标，进而可证出，所以四边形是矩形，证得四边形是平行四边形，所以，由此可得出结论，
本题是反比例函数的综合题，主要考查了矩形的性质，三角形和平行四边形的面积，平行四边形的判定和性质，待定系数法，判断出四边形是平行四边形是解本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：原式；
故答案为：．
根据负整数指数幂：可直接得到答案．
此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数幂公式．
 

10.【答案】

【解析】解：
故答案为：．
根据合并同类项的法则合并即可．
本题考查了合并同类项法则的应用，注意：把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变．
 

11.【答案】

【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

12.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
利用两点间的距离公式计算即可．
本题考查了两点间的距离公式，解题的关键是用右边的数减去左边的数．
 

13.【答案】且

【解析】解：代数式在实数范围内有意义，
且，
解得：且．
故答案为：且．
直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：设此圆锥的底面半径为，由题意，得
，
解得．
故答案为：．
利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．
本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
 

15.【答案】

【解析】解：数据：，，，，的平均数是，
，
解得，
这组数据的方差是：
；
故答案为：．
先根据平均数求出的值，再根据方差公式列出算式，进行计算即可求出这组数据的方差．
此题考查了方差，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，关键是根据平均数求出的值．
 

16.【答案】

【解析】解：连接，

由弦切角定理可得：，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
．
连接，有弦切角定理可得，可推出为等边三角形，进而得出答案．
本题考查圆的性质及切线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定及性质．
 

17.【答案】

【解析】解：如图：

在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在这一路段边上最多可以划出个车位，
故答案为：．
先算出左侧第一个车位的左侧距离，再算出两个车位之间的距离，然后再算出右侧最后一个车位的右侧距离，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出左侧第一个车位的左侧距离，再算出两个车位之间的距离，然后再算出右侧最后一个车位的右侧距离是解题的关键．
 

18.【答案】或

【解析】解：如图，作于点，交于点，设，
四边形是矩形，
，，，
，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
整理得，
解得，，
当时，如图，
当时，如图，
故答案为：或．
作于点，交于点，设，先根据勾股定理求出的长，再证明∽，可求得，则，可推导出，再用含的代数式表示、，而，推导出，再根据列方程求出的值即可．
此题考查矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、解直角三角形、勾股定理、动点问题的求解等知识与方法，设，求出用含的代数式表示的式子是解题的关键．
 

19.【答案】解：


．

【解析】先计算特殊角的三角函数值、二次根式、绝对值和零次幂，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

20.【答案】解：方程两边都乘以得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是．

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程及不等式组的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】证明：将绕点旋转一定角度得到，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌；
解：由知，≌，
，
，，
，
四边形是菱形，
，
设，交于，
，
，
，
四边形的面积．

【解析】根据旋转的性质得到，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形，根据菱形的性质得到，设，交于，根据勾股定理得到，求得，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了旋转的性质全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

22.【答案】；；
；
．

【解析】解：，
所以样本容量为；
组的人数为，
所以，则；
故答案为，；
补全频数分布直方图为：

样本中身高低于的人数为，
样本中身高低于的频率为，
所以估计从该地随机抽取名学生，估计这名学生身高低于的概率为．
用组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算组所占的百分比得到的值；
利用组的频数为补全频数分布直方图；
计算出样本中身高低于的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．
本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．也考查了统计中的有关概念．
 

23.【答案】

【解析】解：九班抽中歌曲少年的概率是，
故答案为：；

树状图如图所示：

共有种可能，其中九班和九班抽中不同歌曲的有种，
则九班和九班抽中不同歌曲的概率．
直接根据概率公式计算可得；
画树状图得出所有等可能的结果，再从中找到符合条件的结果数，然后利用概率公式计算可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

24.【答案】解：设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
依题意得：，
解得：，
．
答：购买甲种树苗棵，乙种树苗棵．
设可以购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，
依题意得：，
解得：．
答：甲种树苗最多可以买棵．

【解析】设购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，利用总价单价数量，结合购买两种树苗的总金额为元，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出购买甲种树苗的棵树，再将其代入中即可求出购买乙种树苗的棵树；
设可以购买甲种树苗棵，则购买乙种树苗棵，利用总价单价数量，结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：分别过点、做轴的垂线，垂足为、；

四边形  是正方形
，，
≌，
，，
 点坐标为，
，，
，，
 ，
同理可得 ，
点与点  关于  成轴对称，
， 且平分，
 ，
根据上面全等可以得到  ，
点  的纵坐标是，
点  在直线  上，
设直线  为 ，
由条件可得，
解之得，
，
当时，
．

【解析】分别过点、做轴的垂线，垂足为、，证明≌，得到，，推出，，所以，，所以 ，同理可得 ，
根据上面全等可以得到  ，点  的纵坐标是，设直线  为 ，由条件可得，解之得，所以，当时，，因此．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、解含绝对值符号的一元一次方程以及一次函数图象上点的坐标特征，属于中考常考题型．
 

26.【答案】解：点的坐标为，
．
矩形中，，
，，，．
，，；
点，
．
，
．
．
，
．
．
．
．
解得：．
直线的函数表达式为：；
设的中点为，过点作于点，延长交于点，则，如图，

由题意：以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线相交．
以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线可能相切．
Ⅰ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，
则．
设，则．
．
，，，
．
，
为梯形的中位线．
．
．
解得：．
经检验，是原方程的根，
；
Ⅱ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，
则．
，，，
．
，
为梯形的中位线．
．
．
解得：．
经检验，是原方程的根，
．
综上，当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，点的坐标为或．

【解析】利用矩形的性质求出相应线段，利用点的坐标的意义解答即可；
求出线段，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求得点的坐标，再利用待定系数法解答即可；
利用分类讨论的思想方法分两种情况：Ⅰ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，Ⅱ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，待定系数法确定直线的解析式，点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

27.【答案】

【解析】解：平行四边形符合一组对边平行，不符合一组邻边相等，不是广义菱形，
矩形符合一组对边平行，不符合一组邻边相等，不是广义菱形，
菱形符合一组对边平行，且一组邻边相等，是广义姜形，
正方形符合一组对边平行，且一组邻边相等，是广义菱形，
故答案为：；

证明：设点，则，
，，
点在第一象限，
，
，
，
又，
四边形是广义菱形；

解：由题意，设，
，，
，，
，
，
解得，
，
四边形是广义菱形时，有两种情况：
当时，如图，作轴，轴，与交于，

，
，轴，
，
∽，
，
设，
，
，，
，
解得或此时，与重合，舍去，
；
当时，如图，作轴，轴，与交于，作轴于点，

，
，轴，
，
∽，
，
，，
，，
，
设，
，
，，
，
解得或舍去，
当时，，
；
综上，，或．
根据题干中广义菱形的定义，结合选项中各个图形的特点，逐项判断即可；
设点，则，根据两点间距离公式求出，，可知，由可证四边形是广义菱形；
设，根据两点间距离公式求出，的表达式，利用求出值，即可求出点的坐标；四边形是广义菱形且时，有和两种情况，画出示意图，构造相似三角形，利用相似三角形对应边成比例即可求解．
本题是二次函数综合题，考查新定义，二次函数的性质，特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形，菱形，二次函数的图象及性质，将广义菱形的性质转化为已学知识是求解的关键．
 

28.【答案】解：将点、代入，
，
解得，
；
，
，
令，则，
，
，，
，
、，，
，，，
，
是直角三角形，
，
，
；
存在点，使得，且，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
，
联立方程组，
解得，
，
设，
如图，当点在对称轴的右侧时，
过点作轴，过点作轴交于点，过点作交于点，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
舍或，
；
如图，当点对称轴的左侧时，
过点作垂直对称轴交于点，过点作轴，过点作交于，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
舍或，
；
综上所述：点的坐标为或

【解析】将点、代入，即可求解；
判定是直角三角形，分别求出，，可得；
利用直线与直线的解析式求出点的坐标，设，分两种情况讨论：点在对称轴的右侧时，过点作轴，过点作轴交于点，过点作交于点，证明∽，求出，再将点代入抛物线解析式即可求的值；当点对称轴的左侧时，过点作垂直对称轴交于点，过点作轴，过点作交于，证明∽，可得，再将点代入抛物线解析式即可求的值．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解的关键．