山东省泰安市岱岳区、高新区2022年中考第一轮模拟数学试题及答案

这是一份山东省泰安市岱岳区、高新区2022年中考第一轮模拟数学试题及答案，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 中考第一轮模拟数学试题
一、单选题
1．－3的相反数是（　　）
A．－3 B．3 C．±3 D．
2．下列运算中，正确的是（）
A．a6÷a3＝a2 B．2-2＝﹣4
C． D．3a+2a2＝5a2
3．如图，AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠AEC＝40°，则∠B为（　　）°．

A．40 B．50 C．130 D．140
4．实验中学选择10名青少年志愿者参加读书日活动，年龄如表所示：这10名志愿者年龄的众数和中位数分别是（　　）
年龄
12
13
14
15
人数
2
3
4
1
A．14，13 B．14，14 C．14，13.5 D．13，14
5．华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的 ，则每次降价的平均百分比是（）
A．10% B．20% C．15% D．25%
6．如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过 上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．若∠DAB＝58°，求∠ATC的度数是（）

A．51° B．58° C．61° D．58°
7．图1是2002年世界数学大会（ICM）的会徽，其主体图案（如图2）是由四个全等的直角三角形组成的四边形．若 ，AB＝1，则CD的长为（）

A． B．
C． D．
8．若关于x的不等式4x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（）
A．8＜m≤12 B．8＜m＜12 C．8＜m≤12 D．8≤m＜12
9．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，则该抛物线关于点 成中心对称的抛物线的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分∠ACB，若CD＝4 ，∠CAB＝75°，则AB的长是（）

A．8 B．4 C．8 D．4
11．如图，在 中， 为斜边 的中线，过点D作 于点E，延长 至点F，使 ，连接 ，点G在线段 上，连接 ，且 ．下列结论：① ；②四边形 是平行四边形；③ ；④ ．其中正确论的个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，A点坐标(0，4)，B为x轴上一动点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到BC，连接OC，则B在运动过程中，线段OC的最小值是（）

A．4 B．4 C．2 D．2
二、填空题
13．第24届奥林匹克冬季运动会于2022年2月4号至20号在北京举行，在中国已经有3亿人参与了冰雪运动．根据预测，中国冬季运动的市场价值在2025年将会达到1500亿美元，这也会给全世界的冬季运动带来巨大的推动作用.1500亿美元用科学记数法表示是　 　美元．
14．计算（π﹣3）0﹣| 3|﹣2cos30°＝　 　．
15．如图， ABC内接于⊙O，∠B＝60°，点E在直径CD的延长线上，AE切⊙O于点A，且AE＝AC，AC＝6，阴影部分的面积是　 　．

16．如图，反比例函数y （k＞0）的图象与直线AB交于点A(2，4)，直线AB与x轴交于点B(4，0)，过点B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标是　 　．

17．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则 BEF的面积是　 　．

18．如图， 中， ， ，BC边上的高 ，点P1、Q1、H1分别在边AD、AC、CD上，且四边形P1Q1H1D为正方形，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为正方形，…按此规律操作下去，则线段CQ2022的长度为　 　．

三、解答题
19．先化简，再求值： ，其中x的值从不等式组 的整数解中选取．
20．目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种）并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．

（1）根据图中信息求出m=　 　，n=　 　；
（2）请你帮助他们将这两个统计图补全；
（3）根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？
（4）已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”D同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学，请你通过树状图或表格，求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率．
21．如图1，点A(0，8)、点B(2，a)在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过点B．

（1）求a和k的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三形，求所有满足条件的m的值.
22．北京冬奥会、冬残奥会期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，为双奥的成功举办做出巨大贡献．同时，“绿色办奥”是北京冬奥会、冬残奥会四大办奥理念之一．期间，节能与清洁能源车辆占全部赛事保障车辆的84.9%，为历届冬奥会最高．冬奥会开幕式当天，北京大学组织本校全体参与开幕式活动的志愿者统一乘车去国家体育场鸟巢，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？北京大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
23．如图，将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，使点C恰好落到线段AD上的E点处，连接CE，连接CG交BE于点H．

（1）求证：CE平分∠BED；
（2）取BC的中点M，连接MH，求证：MHBG；
（3）若BC＝2AB＝4，求CG的长．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A（1，0），B（0，2），二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过C点．

（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P是抛物线的一个动点且在x轴的下方，则当点P运动至何处时，恰好使△PBC的面积等于△ABC的面积的两倍．
（3）若点Q是抛物线上的一个动点，则当点Q运动至何处时，恰好使∠QAC＝45°？请你求出此时的Q点坐标．
25．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．

（1）求证：PE•PF＝ ．
（2）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，求证： POC∽ AEC．
（3）PE ，OE ，求EF的长及菱形的边长．

答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：-（-3）=3，故-3的相反数是3．
故答案为：B
【分析】根据只有符号不同的两个互为相反数即可求解。
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A．a6÷a3＝a3，不符合题意；
B.2-2＝ ，不符合题意；
C． ，符合题意；
D.3a和2a2不是同类项，不能合并，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用同底数幂的除法、负指数幂、二次根式的除法及合并同类项的计算方法逐项判断即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠AEC＝40°，
∴∠FED=∠AEC=40°
∵BE⊥AF，即∠AEB＝90°
∴∠DEB=90°-∠FED=50°
∵AB∥CD，
∴∠B=∠DEB＝50°．
故答案为：B．
【分析】先利用平角的性质求出∠DEB，再根据平行线的性质可得∠B=∠DEB＝50°。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：这10名志愿者年龄出现次数最多的是14，因此众数是14，
将这10名志愿者年龄从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为 ＝13.5，因此中位数是13.5，
故答案为：C.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是将这10个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后位于第5与6两个位置的数的平均数，据此即可得出答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：设平均降低率为x，起始价格为m元，根据题意，得
，
解得x=0.2或x=1.8(舍去)，
故答案为：B．
【分析】 设平均降低率为x，起始价格为m元，根据题意列出方程求解即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OT，如图所示：

∵CT为⊙O的切线，
∴OT⊥CT，
∵TC⊥AC，
∴OT∥AC，
∴∠DAT=∠OTA，
∵OA=OT，
∴∠OAT=∠OTA，
∵∠DAB=58°，
∴∠DAT=∠OAT= ∠DAB=29°，
∵TC⊥AC，
∴∠ACT=90°，
∴∠ATC=90°﹣29°=61°．
故答案为：C．
【分析】连接OT，根据切线的性质可得OT⊥CT，结合已知条件即可求出∠ATC的度数。
7．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，

在 中， ，AB＝1，
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：A
【分析】在 中，利用锐角三角函数的定义求出AC和BC的长，即可解答。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵4x+m⩾0，
∴ ，
∵不等式4x+m⩾0有且仅有两个负整数解，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D
【分析】先解关于x的不等式，再根据不等式有三个正整数解可得关于m的不等式组，解不等式组即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】解:当x=0时，y=5，
∴C（0，5）；
设新抛物线上的点的坐标为（x，y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，
由 ， ；
∴对应的原抛物线上点的坐标为 ；
代入原抛物线解析式可得： ，
∴新抛物线的解析式为： ；
故答案为：A.

【分析】先求出抛物线与y轴交点C的坐标，设新抛物线上的点的坐标为（x，y），根据中心对称的特点求出对应的原抛物线上点的坐标，再代入原抛物线的解析式整理即得结果.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：过点O作 交于点E，连接OC，

则 ，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB＝75°，
∴∠CBA=90°-∠CAB=15°，
∵ ，
∴ ，
∵CD平分 ，
∴ ，
∴ ，
设OE=x，则OC=2x，
在 中，由勾股定理得，
，

解得 ， （舍），
∴OC=4，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】过点O作 交于点E，连接OC，先求出∠OCE=30°，再设OE=x，则OC=2x，由勾股定理可得，最后求出x的值即可。
11．【答案】D
【解析】【解答】解：∵在 中， 为斜边 的中线，
∴DA=DB=DC，
∵ 于点E，且 ，
∴AE=EC，
∴四边形ADCF为菱形，
∴FC∥BD，FC=AD=BD，
∴四边形DBCF为平行四边形，故②符合题意；
∴DF=BC，
∴DE= BC，故①符合题意；
∵四边形ADCE为菱形，

∴CF=CD，
∴∠CFE=∠CDE，
∵∠CDE+∠EGC=180 ，而∠FGE+∠EGC=180 ，
∴∠CDE=∠FGE，∠CFE =∠FGE，
∴EF=EG，故③符合题意；
∵∠CDF=∠FGE，∠CFD=∠EFG，
∴△FEG ∽ △FCD，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴BC =DF ，故④符合题意；
综上，①②③④都符合题意，
故答案为：D．
【分析】①证出DE是△ABC的中位线，则DE= BC，①正确；②证出DF=BC，则四边形DBCF是平行四边形，故②正确；③由直角三角形斜边上中线的性质得出CF=CD，则∠CDE=∠FGE，∠CFE =∠FGE，所以EF=EG，③正确；④证明△FEG ∽ △FCD，求出FD的长，即可得到BC =DF ，故④正确，从而得解。
12．【答案】C
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D
∴∠CDB=90°
又线段AB绕点B顺时针旋转90°
∴∠ABC=90°，AB=BC
∵∠ABO+∠CBD=90°，∠BCD+∠CBD=90°
∴∠ABO=∠BCD
由图可知，∠AOB=90°
∴∠AOB=∠CDB
∴△AOB≌△BDC（AAS）
∴OB=CD，OA=BD=4
令点B（x，0）
①当x>0时，如图1

在Rt△COD中
OC= = =
∴当x=-2时，OC有最小值
又x>0
∴x=-2不符合题意，舍去
②当x<0时，如图2

在Rt△COD中
OC= = =
∴当x=-2时，OC有最小值，且最小值为2
故答案为：C．
【分析】设点B（x，0），分两种情况：①当x>0时，②当x<0时，分别画出图象，再利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可。
13．【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
故答案为： ．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
14．【答案】-2
【解析】【解答】解：原式=1﹣| 3|-2×
=1+ -3-
=-2
故答案为：-2．
【分析】先利用0指数幂、绝对值的性质和特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA．

AE切⊙O于点A．
，即 ．
．
，则 ．
在 中， ．
，设半径OA的长为r，则 ．

解得：



故答案为： ．
【分析】连接OA，利用割补法可得，再利用三角形和扇形的面积公式求解即可。
16．【答案】（2，2）或（2，6）或（6，-2）
【解析】【解答】解：∵反比例函数y （k＞0）的图象与直线AB交于点A(2，4)
∴k=2×4=8
∴反比例函数解析式为
∵点B(4，0)，BC⊥x轴，交反比例函数的图象于点C
∴当x=4时，y=2
即点C的坐标为（4，2）
令点D的坐标为（x，y）
①当AB，CD为对角线时
解得
∴点D的坐标为（2，2）
②当AC，BD为对角线时
解得
∴点D的坐标为（2，6）
③当AD，BC为对角线时
解得
∴点D的坐标为（6，-2）
综上可知，点D的坐标为（2，2）或（2，6）或（6，-2）
故答案为：（2，2）或（2，6）或（6，-2）.
【分析】分三种情况讨论：①当AB，CD为对角线时；②当AC，BD为对角线时；③当AD，BC为对角线时，再分别列出方程求解即可。
17．【答案】
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥BF于H ．

∵AD=AC，∠DAC=90°，CD=8，
∴AD=AC=4
∵DF=FC，AE=EC，
∴EF= AD=2 ， EF//AD，
∴∠FEC=∠DAC=90°，
∵∠ABC=90°，AE=EC，
∴BE=AE=EC=2 ，
∴EF=BE=2 ，
∵∠BAD=105°， ∠DAC=90°，
∴∠BAE=105°-90°=15°，
∴∠EAB=∠EBA=15° ，
∴∠CEB=∠EAB+∠EBA=30°，
∴∠FEB=90°+30°=120°，
∴∠EFB=∠EBF=30°，
∵EH⊥BF，
∴EH= EF= ， FH= EH= ，
∴BF=2FH=2 ，
S△EFB=
故答案为 ．
【分析】过点E作EH⊥BF于H，利用三角形中位线定理以及直角三角形斜边上中线的性质证明△BFE是顶角为120°的等腰三角形即可解决问题。
18．【答案】
【解析】【解答】解：∵BC边上的高 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵四边形P1Q1H1D是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ， ，
即 和 的相似比为 ，
同理： 和 的相似比为 ，
∴ 和 的相似比 ，
依次类推， 和 的相似比为 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为： ．
【分析】先求出BD，DC和AC的长，设 ，则 ， ，根据正方形的性质可得AD//Q1H1，所以，然后求得其相似比，同理求得 和 的相似比为 ， 和 的相似比 ，依次类推， 和 的相似比为 ，进而可得结果。
19．【答案】解：



解不等式组 的解集为
∴不等式组的整数解为－3，－2，－1，0
∵x的值从不等式组的整数解中选取，且分式有意义
∴当 时，原式
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再求出不等式组的解集，最后将x的值代入计算即可。
20．【答案】（1）100；35
（2）解：网购人数为100×15%=15人，微信对应的百分比为 ×100%=40%，
补全图形如下：

（3）解：估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%=800人；
（4）解：列表如下：
　
A
B
C
D
A
　
BA
CA
DA
B
AB
　
CB
DB
C
AC
BC
　
DC
D
AD
BD
CD
　
共有12种情况，这两位同学最认可的新生事物不一样的有10种，
所以这两位同学最认可的新生事物不一样的概率为 ．
【解析】【解答】解：(1)∵被调查的总人数m=10÷10%=100人，
∴支付宝的人数所占百分比n%= ×100%=35%，即n=35，
【分析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得其百分比n的值；
（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得其百分比即可补全两个图形；
（3）总人数乘以样本中微信人数所占百分比可得答案；
（4）先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
21．【答案】（1）解：∵点A(0，8)在直线y＝﹣2x+b上，
∴﹣2×0+b＝8，
∴b＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B(2，a)代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，
∴a＝4，
∴B(2，4)，
将B(2，4)代入反比例函数解析式y＝ (x＞0)中，得k＝xy＝2×4＝8；
（2）解：①由(1)知，B(2，4)，k＝8，∴反比例函数解析式为y＝ ，
当m＝3时，将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D(2+3，4)，即D(5，4)，
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝ 的图象于点E，
∴E(5， )；
②如图，

∵将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A(0，8)，B(2，4)，
∴C(m，8)，D((m+2，4)，
△BCD是等腰三形，
当BC＝CD时，BC＝AB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴m＝2×2＝4，
当BC＝BD时，B(2，4)，C(m，8)，
∴ ，
∴ ，
∴m＝5，
当BD＝AB时， ，
综上所述，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5或2 .
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入直线AB的解析式中，求出a，即可得到点B的坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式中求出k的值即可；
（2）①先确定出点D（5，4），再求出点E的坐标即可；
②先求出点C、D的坐标，再分三种情况：当BC＝CD时，判断出点B在AC的垂直平分线上，即可得出结论；当BC＝BD时，表示出BC，用BC=BD建立方程求解即可得出结论；当BD＝AB时，m=AB，根据勾股定理计算即可。
22．【答案】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，则调配22座新能源客车（x+4）辆，
由题意，得
36x+2=22（x+4）-2
解得x=6
则志愿者的人数为：36x+2=36×6+2=218
答：计划调配36座新能源客车6辆，北京大学共有218名志愿者．
（2）解：设调配36座新能源客车a辆，则调配22座新能源客车b辆，
由题意，得
36a+22b=218
∴18a+11b=109
∵a，b为正整数
∴当a=3，b=5时， 既保证每人有座，又保证每车不空座
答：调配36座新能源客车3辆，调配22座新能源客车5辆．
【解析】【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，则调配22座新能源客车（x+4）辆，根据题意列出方程36x+2=22（x+4）-2求解即可；
（2）设调配36座新能源客车a辆，则调配22座新能源客车b辆，根据题意列出方程36a+22b=218 ，再求解即可。
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴BC=BE，DE∥BC，
∴∠BEC=∠BCE，∠BCE=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC，
∴CE平分∠BED．
（2）证明：过点C作CN⊥BE，垂足为N，

∵四边形ABCD是矩形，
∴CD⊥DE，
∵CE平分∠BED，
∴CD=CN，
∵矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，
∴CD=BG，∠GBH=∠CNH=90°，
∴CN=BG，∠BHG=∠NHC，
∴△BHG≌△CHN，
∴HG=HC，
∴H是GC的中点，
∵BC的中点是M，
∴MH是△BGC中位线，
∴MH BG．
（3）解：过点C作CN⊥BE，垂足为N，过G作GQ⊥CB，垂足为Q
∵四边形ABCD是矩形，BC＝2AB＝4，矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF，

∴GB⊥BH，GB=BM=2，
∵MH是△BGC中位线，
∴MH=1，
∴∠HBM=∠QGB，
∵GB=BM=2，∠BHM=∠GQB，
∴△QBG≌△HMB，
∴QB=MH=1，GQ=BH= ，QC=5，
∴CG= ．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到CB=CE，求得∠BEC=∠BCE，根据平行线的性质得到∠BCE=∠DEC，可证得结论；
（2）过点C作CN⊥BE，垂足为N，根据角平分线的性质可得CN=BG，根据全等三角形的性质得到CH=GH，再根据三角形的中位线定理可得结论；
（3）过点C作CN⊥BE，垂足为N，过点G作GQ垂直CB的于点Q，利用中位线的性质求出MH=1，再利用△QBG≌△HMB，可得QB=MH=1，GQ=BH= ，QC=5， 最后利用勾股定理求出CG的长即可。
24．【答案】（1）解：如图，过 作 于
则 而



而


二次函数y＝x2+bx﹣2的图象经过C点，
解得：
二次函数的解析式为：
（2）解：


过P作 轴交 于

设直线 为
解得：
所以直线 为：
设 则


整理得：
解得：
当 时，
当 时，
或
所以当点P运动至坐标为 或 时，恰好使△PBC的面积等于△ABC的面积的两倍．
（3）解：如图，作B关于 的对称点 连接 作 的角平分线 交 于 交抛物线于
由 则


平分

则

同理可得直线 的解析式为：

解得： 或 （不合题意，舍去）

如图，同理可得：当 平分 时，射线 与抛物线的交点 满足

同理：
直线 为：

解得： 或 （不合题意舍去）

【解析】【分析】（1）首先构造全等三角形，求出点C的坐标，再将点C的坐标代入y＝x2+bx﹣2，求出b的值即可；
（2）过P作PH//y轴交BC于H，先求出直线BC的解析式，设则表示出PH，由三角形面积公式求出x的值，则可得出答案；
（3）分两种情况：①作B关于 的对称点 连接 作 的角平分线 交 于 交抛物线于 先求出直线AH的解析式，再联立方程组，求出x、y的值即可得到点Q的坐标； ②当 平分 时，射线 与抛物线的交点 满足 先求出直线AH的解析式，再联立方程组，求出x、y的值，即可得到点Q的坐标。
25．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴DC//BF，DE//BC，
∴△DPC∽△BPF，△DPE∽△BPC，
∴ ，
∴ ，
故PE•PF＝ ．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴DA//BC，AO=OC，DO⊥CO，
∵CE⊥BC，
∴CE⊥DA，
∴∠POC=∠AEC=90°，∠PCO=∠ACE，
∴ POC∽ AEC．
（3）解：根据(1)，得PE•PF＝ ，
∴ = PF．
∵ POC∽ AEC．
∴ ，
∵四边形ABCD是菱形，CE⊥DA，
∴AO=OC，OE是斜边AC上的中线，
∴OA=0C=OE= ，AC=2 ，

∴ ，
∴ ，
解得PC= 或PC= -4(舍去)，
∴ = PF，
解得PF= ，
∴EF=PF-PE= - = ．
∵△DPC∽△BPF，
∴ ，
设DC=3k，则BF=5k，CF=4k=PC+CF= ，
解得k= ，
∴DC=3k=5．
【解析】【分析】（1）由菱形的性质得到DC//BF，DE//BC，再利用平行线分线段成比例的性质可得，从而得到，所以PE•PF＝ ；
（2）证明出CE⊥DA，DO⊥CO，可得∠POC=∠AEC=90°，再结合∠PCO=∠ACE，即可得到△POC∽△AEC；
（3）先利用相似三角形的性质求出PC的长，再利用△DPC∽△BPF，可得， 设DC=3k，则BF=5k，CF=4k=PC+CF= ， 求出k的值，即可得到DC=3k=5。