最后一题押题卷+--2022年初中数学中考备考冲刺（含答案）

这是一份最后一题押题卷+--2022年初中数学中考备考冲刺（含答案），共47页。试卷主要包含了【基本模型】等内容，欢迎下载使用。

最后一题考前押题
1．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与 y轴交于点 C．直线 l 与抛物线交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 E，点D 的坐标为（4，3）．

(1)求抛物线的解析式与直线 l 的解析式；
(2)若点 P 是抛物线上的点且在直线 l 上方，连接 PA、PD，求△PAD 面积最大值；
(3)由（2）并求出点 P 的坐标．
2．如图，抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．

(1)直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；
(2)如图①，若，点D在抛物线的对称轴上，，求△BCD与△ACO的周长之比；
(3)如图②，若，动点P在线段OA上，过点P作x轴的垂线分别与AC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△BPM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．
3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴从左至右依次交于，两点，交轴于点，连接，．

(1)求，两点以及抛物线顶点的坐标；
(2)当时，直线平行于且与抛物线只有一个交点，求点的坐标；
(3)当时，二次函数有最小值，求的值．
4．如图，抛物线与x轴交于、两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标是2．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得△PBC的周长最小，并求出点P的坐标；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（1）【基本模型】
如图1，已知，线段AC与BD交于点P，且P为线段BD的中点．求证：；
（2）【应用模型】
如图2，在和中，，，且，，将绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．当在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展迁移】
如图3，在【应用模型】的条件下，当时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论．

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上有一点M，M的横坐标为，过点M作于点H，作ME平行于y轴交直线BC于点E，交x轴于点F，求的周长的最大值．
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当时，直接写出线段PQ与二次函数的图象交点个数及对应的m的取值范围．
7．（1）模型研究如图①，在中，，为边延长线上一点，且则______；
（2）模型应用如图②，在中，若，，求的长；
（3）模型迁移如图③，点为边上一点，，，交的延长线于若，，求的面积．

8．如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点为轴上方抛物线上的动点，点为轴上的动点，连接，，．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，当点的坐标为，求出此时面积的最大值；
(3)如图2，是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线与x轴交于点，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC．

(1)点C的纵坐标为______（用含b的式子表示），______度；
(2)当时，若点P为第一象限内抛物线上一动点，连接BP，CP，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)已知矩形ODEF的顶点D，F分别在x轴、y轴上，点E的坐标为（3，2）．
①抛物线的顶点为Q，当AQ的中点落在直线EF上时，求点Q的坐标；
②当抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，请直接写出b的取值范围．
10．如图，抛物线与直线y＝x＋n交于点和点B．

(1)求m和n的值；
(2)求点B的坐标；
(3)结合图象请直接写出不等式的解集；
(4)点P是直线AB上的一个动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q，若线段PQ与抛物线只有一个公共点，直接写出点P的横坐标的取值范围．
11．已知抛物线于经过点，并与x轴交于另一点B，交y轴于点C，其对称轴为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线BC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点D，交直线BC于点E，当取最大值时，求点P的坐标；
(3)已知点M为抛物线对称轴l上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得点M与点N关于直线BC对称，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知抛物线经过三点，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如果是等边三角形，求的面积；
(3)若直线与抛物线交于D，E两点，直线与抛物线交于F，G两点，的中点为M，的中点为N，且．求点P到直线距离的最大值．
13．在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点．


（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面程为，求的最大值．
14．在平面直角坐标系中，对于点，如果将其坐标作如下变换：，进而得到点，则称点为点P的“变换点”．例如：点的“变换点”是点，点的“变换点”是点．
(1)点的“变换点”的坐标是______；
(2)求直线上所有点的“变换点”所形成的图像的函数解析式；
(3)若抛物线上存在点的“变换点”，求k的取值范围．
15．如图，在中，，，点M在BC边所在的直线上，，，以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，点H为半圆弧PQ上一动点．

探索：如图1，当点P与点M重合时，则______，线段CH的最小值为______．
思考：若点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，同时半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒．解决下列问题：
（1）如图2，当PQ与D点在一条直线上时，求点O到CD的距离及扇形OHQ的面积；
（2）当圆O与CD相切于点K时，求的度数：
直接判断此时：弧HQ长______弦KQ长（填：＜、＞或＝）
（3）当弧HQ（包括端点）与边有两个交点时，直接写出：运动时间t的取值范围．
16．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为劣弧AD上一动点，AG与CD的延长线交于点F，连接AC、AD、CG、DG．tan∠DGF＝m（m为常数，且m>1）

(1)求证：∠AGC＝∠DGF；
(2)求的值（用含m的式子表示）：
(3)设∠GDC－∠GCD＝α，∠F＝β．
①求α与β的数量关系：
②当α＝90°，且时，求m的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF＝2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线：的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，交轴于另一点．


(1)已知：，．
①求抛物线的解析式；
②过点作直线的垂线交轴于点，平移直线交抛物线于点，两点，连结，．若△为以为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．
(2)在（1）的条件下，设对称轴直线与轴交于，点为抛物线上对称轴左侧一点，直线交抛物线于另一点，点关于抛物线对称轴对称点，直线交抛物线对称轴于点，在点运动过程中长是否为一定值，若为定值，请求出其值，若不为定值，请求出其变化范围．

1．(1)（1）y=-x2+x+3，y=x+1
(2)
(3)(1,)
【解析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图1中，过点P作PKy轴交AD于点K．设P（m，-m2+m+3），则K（m，m+1）．因为S△PAD=•（xD-xA）•PK=3PK，所以PK的值最大值时，△PAD的面积最大，求出PK的最大值即可．
（3）根据（2）当PK最大时，求出的m值，代入即可求出P点坐标．
(1)
解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0）、B（6，0）两点，
∴设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），
∵D（4，3）在抛物线上，
∴3=a（4+2）×（4-6），
解得a=-，
∴抛物线的解析式为y=-（x+2）（x-6）=-x2+x+3，
∵直线l经过A（-2，0）、D（4，3），
设直线l的解析式为y=kx+m（k≠0），
则，
解得：，
∴直线l的解析式为y=x+1；
(2)
解：如图1中，过点P作PKy轴交AD于点K．设P（m，-m2+m+3），则K（m，m+1）．

∵S△PAD=•（xD-xA）•PK=3PK，
∴PK的值最大值时，△PAD的面积最大，
∵PK=-m2+m+3-m-1=-m2+m+2=-（m-1）2+，
∵-＜0，
∴m=1时，PK的值最大，最大值为；
(3)
解：由（2）知，P（m，-m2+m+3），当PK最大时，m=1，
则-m2+m+3=-×12+1+3=，
∴P（1，）．
2．(1)，
(2)△BCD与△ACO的周长之比为
(3)存在满足题意的点Q，其坐标为（，－）或（，－）
【解析】
（1）由抛物线，可得到点A，B，C坐标，即可求解；
（2）由圆周角定理和等腰三角形的性质证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）设点P坐标为（n，0），则，，．作，垂足为R，分类讨论点Q在直线PN的左侧时，点Q在直线PN的右侧时，分别求解即可．
(1)
解：抛物线，
当时，
或，
当时，，
，
，，
，
；
(2)
∵△AOC是等腰直角三角形，
∴，
∵点D在抛物线的对称轴上，，
∴，以点D为圆心，DA为半径作圆，
∴由圆周角定理可得：，
∴△BDC也是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴△BCD与△ACO的周长之比．
(3)
存在点Q满足题意．

设点P坐标为（n，0），则，，．
作，垂足为R，
∵，
∴，
∴
①点Q在直线PN的左侧时，
当x=n-1时，，
Q点的坐标为，R点的坐标为，N点的坐标为（n，）．
∴在中，，
∴时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为（，－）；
②点Q在直线PN的右侧时，当x=n+1时，，
Q点的坐标为．
同理，，
∴时，NQ取最小值1，此时Q点的坐标为，－）．
综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为（，－）或（，－）．
3．(1)，B(4m,0)，
(2)
(3)
【解析】
（1）令，解一元二次方程，再根据点和点的位置得出，的坐标；将二次函数化简为顶点式即可得出结论；
（2）将代入抛物线方程，可得出点，的坐标，进而可得出直线的解析式，由平行线的性质可得出，联立直线与抛物线的解析式，利用一元二次方程的解的唯一性可得出的值，进而可得出结论；
（3）需要分情况讨论：当，当，当时，利用二次函数的最值分别讨论即可得出结论．
(1)
∵抛物线与轴从左至右依次交于，两点，
令，即，解得或，
，B(4m,0)，
，
该抛物线的顶点坐标
(2)
∵当时，代入抛物线，得，
，，
当时，代入抛物线，得，
；
直线的解析式为：，
直线平行于，
∴直线BC的解析式为，
与只有一个交点，
令，整理得只有一个解，
，解得．
把代入上式得，解得，
．
(3)
∵二次函数，
由二次函数的性质可知，当，则，则，
同理，当，即，
由二次函数的图象性质可得，当时，，
解得或，均不符合题意，舍去，
同理，当，则，
由二次函数的图象性质可得，当时，，
解得或，均不符合题意，舍去；
综上，的值为．
4．(1)
(2)
(3)存在，E的坐标为或或
【解析】
（1）把、两点代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为： 结合关于直线对称，所以AC与对称轴的交点为点P，此时 此时的周长最短，再求解AC的解析式即可得到答案；
（3）分三种情况讨论，再利用中点坐标公式列方程，从而可得答案．
(1)
解： 抛物线与x轴交于、两点，

解得：
所以抛物线的解析式为：
(2)
解：
抛物线的对称轴为：
关于直线对称，所以AC与对称轴的交点为点P，
此时
此时的周长最短，
点C的横坐标是2，


设AC为
解得：
所以直线AC为：
当时，


(3)
解： 设
当为对角线时，
所以 解得：

当为对角线时，
所以 解得：

当为对角线时，
所以 解得：

综上：E的坐标为或或
5．（1）见解析；（2），，理由见解析；（3），，证明见解析
【解析】
（1）根据ASA证明即可；
（2）延长EP交BC于F，先证，得出数量关系，再证明是等腰直角三角形，得出位置关系即可；
（3）过点B作，交EP延长线于点F，连接CE，CF，先证，得出数量关系，再证明是等腰直角三角形，得出位置关系即可．
解：（1）

∵，
∴，
∵点P为BD中点，
∴
在和中，
∴（ASA）
（2），，理由如下：

如图2，延长EP交BC于F，
∵，
∴，
∴，
∵点P是线段BD的中点，
∴，
又∵，
∴（ASA），
∴，，
又∵，，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，；
（3），，理由如下：

如图3，过点B作，交EP延长线于点F，连接CE，CF，
同理（2）可证，
∴，，
∵，
∴，
∵当时，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴（SAS）
∴，，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
6．(1)
(2)
(3)①；②当时，1个交点，当时，2个交点
【解析】
（1）待定系数法求解析式；
（2）根据等腰直角三角形的性质，勾股定理，可得的周长为，根据二次函数的性质判断的最值，从而即可求解；
（3）①根据题意，表示出的长，根据一次函数的性质结合函数图象即可求解；
②根据①的结论，在点的左侧，进而求得关于对称，观察函数图象可知，当的纵坐标小于点纵坐标时，有2个交点，其他情形只有1个交点，据此即可求解．
(1)
由，令，得，即，
，
，
，
即，
，，在抛物线上，
设，将点代入，的，
解得，
，
即；
(2)
，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，

的周长为
设的直线解析式为，将，代入得，

解得
的直线解析式为
M的横坐标为，则，

当时，的长随着的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值为
的周长最大值为
(3)
①的横坐标为m，轴，点Q的横坐标为．
1）当点在点的左边时，如图，


，的长度随着的增大而减小，
此时
解得
2）当点在点左边时，此时

，的长度随着的增大而增大，
故不符合题意，
综上所述当，的长度随着的增大而减小
②由①可知，当时，
设，
的横坐标为m，轴，点Q的横坐标为．
关于对称，
如图，设与抛物线交于点，过点作轴的平行线，

当时，，
令
解得
根据图像可知，当位于上方时，与二次函数的图象1个交点，当位于下方时，2个交点，
即当时，1个交点，当时，2个交点．
7．（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）根据三角形外角的性质即可得到；
（2）以为圆心，长为半径画弧交于，作于，这样构造中模型，进一步得出结果；
（3）作交延长线于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作于，这样构造出（2）中模型，进一步求得结果．
解：（1）在中，
，，
，
是的外角，
，
故答案为：；
（2）如图，

以A为圆心，长为半径画弧交于，作于，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图，

作交延长线于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作于，
，
，，，
设，则，，
，
，
又∵，
，
，
由（2）模型知：，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
8．(1)
(2)
(3)存在，，
【解析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PEy轴，交直线AF于点E，用待定系数法求出直线AF的解析式为，设P（n，-n²+2n+3），则E（n,n-4），PE=-n2+2n+3-(n-4)=n2+n+7，所以S△AFG==-,由二次函数最值求解即可；
（3）分两种情况：①当∠PAF=90°时，当∠FPA=90°时，分别求解即可．
(1)
解：把A（3，0）、B（-1，0）代入，
得，
解得，
.
(2)
解：过点P作PEy轴，交直线AF于点E，

设直线AF的解析式为，
，解得：，
，
设P（n，-n²+2n+3），则E（n,n-4），
∴PE=-n2+2n+3-(n-4)=n2+n+7，
∴S△AFG==-=-,
∵-<0，
∴当时，S△AFG有最大值，最大值为．
(3)
解：存在，理由如下：
设，F（0，m）,
①当∠PAF=90°时，过点A作直线l1y轴，作PM1⊥l1于点M1，FN1⊥l1于点N1，

则，N1（3，m），
，FN1=3，AN1=－m，PM1=3-t，
，
，
，
，
又，
，
，
，
解得，
，
②当∠FPA=90°时，过点P作直线l2∥x轴，交y轴于点M2，过点A作AN2⊥l2于点N2．

，，
，，，，
同理可证，
，
由PM2=AN2，得，
解得，
由PN2=M2F，，
，
．
综上，存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形，所有点的坐标为，，．
9．(1)；45；
(2)面积的最大值为1，；
(3)①；②或．
【解析】
（1）将点代入抛物线中可求得，从而得点C的纵坐标，继而有，令，求得，得OB=OC，求得的度数；
（2）由（1）得， ，直线BC的方程为，设点，表示的面积，运用二次函数的对称性可求得面积的最大值和此时点P的坐标；
（3）①运用配方法得抛物线，求得点，运用中点坐标公式得AQ的中点坐标为，从而有，求解即可得答案；
②分情况讨论：抛物线的对称轴在y轴的左侧时，点C在点O的上方时；当抛物线的对称轴在y轴的右侧时，点C在点F或点F的上方，且当 时，抛物线所对应的点的纵坐标小于2，建立不等式组，求解可得答案．
(1)
解：将点代入抛物线中得，
解得，
所以点C的纵坐标为，
所以，
令，
解得，
所以，
所以OB=OC，
所以，
故答案为：；45；
(2)
解：当时，，
所以，，
设直线BC的解析式为，
∴，解得：，
所以直线BC的解析式为，
设点，
当时，，
所以的面积为，
当时，的面积取得最大值1，此时，
所以面积的最大值为1，此时点P的坐标为；
(3)
解：①因为抛物线，
所以点，
又点，
所以AQ的中点坐标为，
因为AQ的中点落在直线EF上时，点E的坐标为（3，2）．
所以，
解得（舍去），
所以；
②因为抛物线在矩形内部的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，
所以当抛物线的对称轴在y轴的左侧时，点C在点O的上方时，满足题意，
此时，
解得，
当抛物线的对称轴在y轴的右侧时，点C在点F或点F的上方，且当 时，抛物线所对应的点的纵坐标小于2，满足题意，
此时，
解得，
所以或．
10．(1)
(2)（-1，-3）
(3)或
(4)或
【解析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）联立抛物线和直线解析式进行求解即可；
（3）根据不等式的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的取值范围，进行求解即可；
（4）分点P在点B下方，点P在线段AB上，点P在A点上方进行讨论求解即可．
(1)
解：∵抛物线与直线y＝x＋n交于点和点B，
∴，
∴；
(2)
解：由（1）得抛物线解析式为，直线解析式为，
联立，
解得或（舍去），
∴点B的坐标为（-1，-3）；
(3)
解：由题意得不等式的解集即为抛物线函数图象在直线函数图象下方或交点处的自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或；
(4)
解：如图所示，当点P在点B下方时，线段PQ与抛物线没有交点；
当点P在线段AB之间（包含B不包含A）时，线段PQ与抛物线只有一个交点，此时，当P在A点时，线段PQ与抛物线有两个交点；
当线段PQ恰好经过抛物线顶点时，线段PQ与抛物线恰好只有一个交点，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为（1，1），
∴此时点P的纵坐标为1，
∴点P的坐标为（3，1），
∴；
综上所述，线段PQ与抛物线只有一个公共点，或．

11．(1)
(2)点P的坐标为
(3)存在，点N的坐标为或
【解析】
（1）点代入解析式和对称轴为，建立方程组，求出a、b值即可求解；
（2）先利用（1）问求得的抛物线解析式，求出点B、C坐标，然后用待定系数法求出直线BC的解析式为，再设P的坐标为，则，由题意可得，从而可求得点D的坐标为，点E的坐标为，则，，所以，然后由二次函数最值可求解；
（3）设直线BC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，由，，可求得，从而证得轴，继而求出点F的坐标为（1，2），所以点N的纵坐标为2，设N的坐标为，所以，求解得出t值，即可求得点N坐标．
(1)
解：抛物线经过点，对称轴为，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
(2)
解：∵抛物线的表达式为，
令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为，
令y=0，则，解得：，，
∴点B的坐标为，
设直线BC的表达式为，可得，
∴，
∴直线BC的表达式为，
设P的坐标为，则，由题意可得．
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴点D的坐标为，点E的坐标为，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，
此时，
∴当最大时，点P的坐标为；
(3)
解：如图，设直线BC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，

∵，，
∴，
∴，
若点M，N关于直线BC对称
则直线BC为线段MN的垂直平分线
∴，，
∵轴，所以，
∴，
∴轴，
由（2）知，直线BC的表达式为，
又∵点F在抛物线对称轴x=1上，
∴当时，，
∴，
∴点N的纵坐标为2，
设N的坐标为，
∴，解得：
∴点N的坐标为或．
12．(1)
(2)
(3)
【解析】
（1）根据点A和点B的坐标，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，由此可得出b的值，把点C坐标代入即可求出c；
（2）由A，B的坐标可知AB∥x轴，过点P作PQ⊥AB于点Q，根据等边三角形的性质可得出m和n等量关系，由此求出n的值，进而可求出△PAB的面积；
（3）分别联立直线l1，直线l2和抛物线的解析式，根据根与系数的关系可分别表示出点M和点N的坐标，由此求出直线MN的解析，得出直线MN过定点（1，），根据三角形三边关系可得点P到直线MN距离的最大值．
(1)
解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（m，n），B（2﹣m，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2，
∵抛抛物线y＝x2﹣2x+c经过C（2，﹣1），
∴4﹣4+c＝﹣1，
∴c＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣1；
(2)
解：由（1）得抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣1，对称轴为直线x＝1，
令x＝1，则y＝1﹣2﹣1＝﹣2，
∴P（1，﹣2），
∵A（m，n），B（2﹣m，n），
∴ABx轴，
不妨设点A在点B左侧，如图，过点P作PQ⊥AB于点Q，

则AB＝2﹣2m，PQ＝n+2，且n＝m2﹣2m﹣1，
∵△PAB是等边三角形，
∴∠ABQ＝60°，BQ＝AB＝1﹣m，
在Rt△BPQ中，∠ABQ＝60°，
∴PQ＝BQ，即m2﹣2m﹣1+2＝（1﹣m），
解得m＝1（舍）或m＝1﹣．
∴AB＝2﹣2m＝2，BQ＝，
∴PQ＝BQ＝3，
∴S△PAB＝•AB•PQ＝×2×3＝3．
(3)
联立直线l1：y＝k1x﹣k1和抛物线y＝x2﹣2x﹣1，
∴ ，
整理得，y＝x2﹣（2+k1）x﹣1+k1，
∴xD+xE＝2+k1，
同理可得，xF+xG＝2+k2，
∵点M是DE的中点，点N是FG的中点，
∴xM＝   ，xN＝，
∴yM＝，yN＝，
∴M（ ，），N（，），
∴直线MN的解析式为：y＝（k1+k2）（x﹣1﹣）+，
∵k1k2＝﹣3，
∴直线MN的解析式为：y＝（k1﹣）（x﹣1﹣）+＝（k1﹣）（x﹣1）+，
∴当x＝1时，y＝，即直线MN过定点K（1，），
∴点P到直线MN距离的最大值为PK的长，即为．
13．（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；
（2）先根据和勾股定理求得，，过点E做平行于交y轴于T，易证，利用相似三角形的性质求得，，进而求得点E坐标，求得直线OE的解析式，和抛物线联立方程组，解之即可求得点D坐标；
（3）延长于至点F，使轴，过A点作于点H，作轴交于点T，过M点作于点D，证明，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可得，利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而可求得AF，设，则，根据二次函数求最值的方法求的MT的最大值，进而可求得的最大值．
解：（1）依题意，设，
代入得：，解得：
∴；

（2）由， 设=x，则，
∵BE⊥OD，
∴在Rt△OEB中，OB=3，由勾股定理得：，
即，解得：（舍），
∴，，
过点E做平行于交y轴于T，
∴，
∴，
∴，
即，解得：，
∴，
∴ ，
∴直线的解析式为，
∵的延长线交抛物线于点D，
∴，解得：（舍），
当时，，
∴   ；                 
（3）如图所示，延长于至点F，使轴，过A点作于点H
作轴交于点T，过M点作于点D，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，                 
设直线的解析式为，将B，C两点代入得
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴ ，            
∴．
14．(1)
(2)
(3)或．
【解析】
（1）根据点的坐标变换即可求出的变换点；
（2）设出直线上点的坐标，根据横坐标分成两种情况讨论即可求出直线上所有点的“变换点”所形成的图像的函数解析式；
（3）由（2）知点在直线上，因此抛物线上存在点的“变换点”即分两种情况讨论：当时，；当时，由，解出即可．
(1)
解：
点的“变换点”的坐标是；
(2)
解：设直线上的任意点P为．
当时，点为，形成的图像的函数解析式为；
当时，点为，形成的图像的函数解析式为；
所以，所求的函数解析式为；
(3)
解：如图1，

当时，由得．
若此时二次函数的图像上存在点的“变换点”，
则，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴．
如图2，



当时，由得，
若此时二次函数的图像上存在点的“变换点”，
则，
∴，
解得：（经检验，满足题意）或（不合题意，舍去），
∴．
综上：或．
15．探索：；
思考：（1）；（2）；＜
（3））
【解析】
探索：利用勾股定理可以求出BQ的长，利用“两点之间，线段最短”可以求出CH的最小值．
思考：（1）利用面积法建立方程求出O点到CD的距离，再利用扇形面积公式计算扇形OHQ的面积．
（2）利用勾股定理求出CP，进一步求出运动时间后，可以求出角度，利用等边三角形的判定与性质和弧长公式计算后即可完成求解．
（3）分析弧与平行四边形的边有两个交点情况的界点值即可求解．
索：解：如图，连接BQ，CO，
当点P与点M重合时，
∵以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，
∴，
∵，，，
∴，，
∴；
当C、H、O三点共线时，CH+HO的值最小，由HO为定值，即CH的值最小，
∵，
∴，
故答案为：；．

思考：（1）如图所示，当PQ与D点在一条直线上时，
则，
∵在中，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
设O点到CD的距离为h，
∵
∴，
∵，半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，
∴运动了4秒，
∵点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，
∴，
∴扇形OHQ的面积为；
故答案为：O点到CD的距离为，扇形OHQ的面积为．

（2）如图，连接OK，CO，当圆O与CD相切于点K时，
则OK⊥CD，
∴CO平分∠DCM，
∴∠DCO=∠OCM=30°，
∴CO=2OK=6，
∴Rt△COP中，，
∴，
∴运动时间为秒，
∴∠HOQ= ，
∴的度数为，
弧HQ的长为；
连接KQ，由∠DCP=60°，∠OKC=90°，∠OPC=90°，
∴∠KOP=120°，
∴∠KOQ=60°，
∵OK=OQ，
∴△KOQ是等边三角形，
∴KQ=3，
∴弧HQ长＜弦KQ长，
故答案为： ，弧HQ长＜弦KQ长．

（3）
理由：如图，当半圆的圆弧与AB相切时，切点记为N，连接ON，OB，
∴BO平分∠ABP，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABP=60°，
∴∠OBP=30°，
∴，
∴，
∴运动时间为秒，
此时，，；
当Q点运动到AB上时，如图所示，
此时，
∴
∴运动时间为秒，
此时，，；
∴．
．
16．(1)证明见解析；
(2)；
(3)①；②；
【解析】
（1）连接BG，由垂径定理可得，则∠CGB=∠BGD，由圆周角定理可得∠AGB=∠FGB=90°，再计算角度差即可证明；
（2）由垂径定理可得∠ACD=∠ADC，于是∠AGC=∠ACD，由△CGA∽△FCA可得，解Rt△ACE可得，便可解答；
（3）①设AB、CG交于点M，连接MD，OC，OG，由AB垂直平分CD可得∠ACM=∠ADM，由△CGA∽△FCA可得∠ACG=∠AFC=，由MC=MD可得∠GDC－∠GCD=∠MDG=α，再由∠ADG=∠ACG，便可解答；②由可得GD∥AC，于是∠FDG=∠FCA=∠ADC=∠AGC=∠FGD=67.5°，由△MDG是等腰直角三角形可得MG=MD=MC，由∠ACG=∠AFC=45°可得GO⊥AB，由OG∥CF可得△GMO∽△CME，于是OG=OA=OC=CE，勾股定理求得OE，即可解答；
(1)
证明：如图，连接BG，

直径AB⊥弦CD，则，
∴∠CGB=∠BGD，
AB是圆D直径，则∠AGB=∠FGB=90°，
∴∠AGB-∠CGB=∠FGB-∠BGD，
∴∠AGC=∠DGF；
(2)
解：由垂径定理可得AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ADC=∠AGC，
∴∠AGC=∠ACD，
又∠CAG=∠FAC，
∴△CGA∽△FCA，
∴，
∴，
Rt△ACE中，∠ACE=∠AGC=∠DGF，则AE=CE•tan∠ACE=mCE，
，
∴=；
(3)
解：如图，设AB、CG交于点M，连接MD，OC，OG，
过点G作GP⊥AC于P，过点D作DQ⊥AC于Q，则GP∥DQ，

①∵AB垂直平分CD，
∴AC=AD，MC=MD，
又AM=AM，则△AMC≌△AMD（SSS），
∴∠ACM=∠ADM，
∵∠ACG=∠ADG，
∴∠ADM=∠ADG=∠ACG，
由（2）△CGA∽△FCA可得∠ACG=∠AFC=，
由MC=MD可得∠MCD=∠MDC=∠GCD，
∴∠GDC－∠GCD=∠MDG=α，
∵∠MDG=∠ADM+∠ADG=2，
∴；
②，则GP=DQ，又GP∥DQ，
∴四边形GPQD是平行四边形，
∴GD∥AC，
∴∠FDG=∠FCA=∠ADC=∠AGC=∠FGD，
由①结论可得∠F=45°，
∴∠FGD=∠AGC=67.5°，
∴∠DGC=180°-∠FGD-∠AGC= 45°，
∠MDG=90°，则△MDG是等腰直角三角形，
∴MG=MD=MC，
∵∠ACG=∠AFC=45°，
∴∠AOG=90°，即GO⊥AB，
∵AB⊥CF，
∴GO∥CF，
∴△GMO∽△CME，
∴，即OG=OA=OC=CE，
Rt△OEC中，OE=，
Rt△AEC中，tan∠ACE=，
∵∠ACE=∠DGF，
∴m=；
17．(1)
(2)①；②存在，D（-2，3）
【解析】
（1）根据题意得到A（-4，0），C（0，2）代入y=-x2+bx+c，于是得到结论；
（2）①如图1，令y=0，解方程得到x1=-4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（-，0），得到PA=PC=PB=，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，解直角三角形即可得到结论．
(1)
解：对于函数：y=x+2，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=-4，
∴A（-4，0），C（0，2），
∵抛物线y=-x2+bx+c经过A．C两点，
∴，
∴b=-，c=2，
∴y=-x2-x+2；
(2)
解：①如图，令y＝0，
∴，
∴，，
∴B（1，0），
过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，

∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵B（1，0），
∴，
∴，
∵-<0，
∴当a＝-2时，的最大值是；
②∵A（-4，0），B（1，0），C（0，2），
∴，，AB＝5，
∴，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，
∴，
∴，
∴∠CPO＝2∠BAC，
∴，
过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，如图，

∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG＝∠BAC，
∴，即，
令，
∴DR＝-a，，
∴，
∴（舍去），，
∴，．
∴D（-2，3）．
18．(1)；或
(2)
【解析】
（1）①抛物线对称轴，，，利用待定系数法求出抛物线的解析式；②由两直线垂直，相交的直线的斜率为，求出直线的解析式，再设平移后直线的解析式．设，，联立抛物线与直线，利用弦长公式求得的边长，最后利用勾股定理求得平移后的解析式．
（2）长是否为一定值转化为求的纵坐标是否为定值．由、点斜式得的解析式，，，联立直线与抛物线解析式，利用韦达定理得，与的关系式，点，对称得，设，再利用，，三点共线，两点连线斜率相等求出的纵坐标为定值，即为定值．
(1)
①的对称轴为直线，
．
又，在抛物线上上，

抛物线上的解析式为．
②抛物线上的解析式为的对称轴，，
．
，，
直线的解析式．
直线的斜率为，解析式．
设直线的解析式，，，，
，
，，．
△为以为斜边的直角三角形，
．
，
，
，即，
整理得，解得或，
平移后的直线的解析式为或．

(2)
抛物线上的解析式为，对称轴直线与轴交于点，
．
设直线的解析式为，，，
直线交抛物线于另一点，点关于抛物线对称轴对称点，
，，，
，．
设，
斜率，
，
整理得，，
．