2022年湖北省黄石市九年级终极模拟考试数学试题（含答案）

黄石市2022年6月九年级终极模拟考试

数学试题卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1. 若a与5互为相反数，则|a-5|等于(     )

A. 0 B. 5 C. 10 D. -10

2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

3. 下列计算正确的是（　　）

A. =±3     B. sin2α=2sinα    C.       D.

4. 如图是一个几何体的正视图，则这个几何体可能是（　　） 

5. 在函数中，自变量x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

6.下列说法正确的是（    ）

A. 了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查

B. 一组数据5，5，3，4，1的中位数是3

C. 甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为甲2，乙2，说明乙的成绩比甲稳定

D. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件

7. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC的顶点都在格点上．若A，B，C，是由ABC绕点P按逆时针方向旋转得到，且各顶点仍在格点上，则旋转中心P的坐标是（       ）

A．(0，0)    B．(0，﹣1)     C．(1，﹣1)         D．(1，﹣2)

8. 在等腰三角形ABC中，AC=BC=2，D是AB边上一点，以AD为直径的⊙O恰好与BC相切于点C，则BD的长为（　　）A. 1                       B.                        C. 2                            D.

9. 观察下列尺规作图的痕迹：其中能够说明AB﹥AC的是（       ）

   A．①②     B．①③         C．②③             D．③④

10．如图，二次函数的图象与轴负半轴交于，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图像上，则；

④若方程的两根为，且，则；⑤点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的范围为．其中结论正确的有（       ）A．2个                 B．3个                   C．4个                     D．5个

二、填空题（本大题共8小题，第11－14每小题3分，第15－18每小题4分，共28分）

11. 计算： -=__________．

12.因式分解：9（x+y）2﹣（x﹣y）2＝　                　．

13. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜，在理论上可以接收到亿光年以外的电磁信号．亿光年用科学记数法表示为______光年．

14. 分式方程：的解为．

15. 如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达C点，发现灯塔B在它北偏东75°方向，则此时货轮与灯塔B的距离为　     　海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）

16.《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，那么门的高

为　　尺．丈尺，1尺寸）

17.如图，C、D是双曲线（x＞0，k＞0）上两点，延长CD交x轴于点E，DB⊥x轴于点B，点F是线段DE的中点，延长FB交y轴于点S，连接SE，若S△SBE=，则k=_________．

18. 如图，是正方形边上一个动点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接．

（1）如图1，，直接写出=

（2）如图2，连接，是的中点，，若点从点运动到点，直接写出点的运动路径长为．

三、解答题（本大题共7小题，共62分）

19（7分）. 先化简，再求代数式 1﹣（）÷的值，其中 x＝2sin60°﹣tan45°．

20（8分）. 如图，D、E分别为等边△ABC的边AC、BC上的点，且AD＝CE，BD与AE交于点N，BM⊥AE于点M．

（1）求证：∠CAE＝∠ABD；

（2）求∠NBM的度数．

21（8分）.x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：

（1）通过计算，判断下列两个方程是“差根方程”是：（填序号）

①x2﹣4x﹣5＝0；

②2x2﹣2x+1＝0；

（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；

（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．

22（8分）. 遵义市各校都在深入开展劳动教育，某校为了解七年级学生一学期参加课外劳动时间（单位：h）的情况，从该校七年级随机抽查了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．

解答下列问题：

（1）频数分布表中a＝　　，m＝　　；将频数分布直方图补充完整；

（2）若七年级共有学生400人，试估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数；

（3）已知课外劳动时间在60h≤t＜80h的男生人数为2人，其余为女生，现从该组中任选2人代表学校参加“全市中学生劳动体验”演讲比赛，请用树状图或列表法求所选学生为1男1女的概率．

23（9分）. 面朝大海，春暖花开!榴岛大地正值草莓上市销售的旺季，某商家以每盒20元的价格购进一批盒装草莓，经市场调查发现：在一段时间内，草莓的日销售量y（盒）与每盒售价x（元）满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）根据市场的定价规则，草莓的售价每盒不得高于49元，当售价定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？

（3）为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动．顾客每购买一盒草莓可以获得a元的现金奖励（a＞0），商家想在日销售量不少于40盒的基础上，使日销售最大利润为1568元，求此时a的值．

24（10分）. 如图BE是⊙O的直径，点A是⊙O上一点，连结AE，延长BE至点P，连结PA，∠PAE＝∠ABE，过点A作AC⊥BE于点C，点D是BO上一点，直线AD交⊙O于点F，连结FE与直线AC交于点G．

（1）直线PA是否为⊙O的切线，并证明你的结论；

（2）求证：AE2＝EG•EF．

（3）若PE＝4，tan∠EAC＝，求⊙O的半径的长；

25（12分）．抛物线过点A（－1，0），点B（3，0），顶点为C．

（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；

（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作，边EF交x轴于点F：

 ①求证：AF·CP=AE·CE

 ②AF的长度是否有最大值？如果有，求出该最大值；如果没有，请说明理由。

黄石市2022年6月九年级终极模拟考试数学答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）

1. C2.D．3. C4. A．5. C6.D7.D8.  B9. B10．B

二、填空题（本大题共8小题，第11－14每小题3分，第15－18每小题4分，共28分）

11．12.4（2x+y）（x+2y）13. 1.37×101014.

15. 28.316.9.617.  18.45°   

三、解答题（本大题共7小题，共62分）

19（7分）解：原式

----------4分

原式 ----------7分

20（8分）

证明：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AC＝AB，∠BAC＝∠C＝60°，

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（SAS），

∴∠CAE＝∠ABD；----------4分

（2）解：由（1）得∠CAE＝∠ABD，

∵∠CAE+∠BAE＝60°，

∴∠BAE+∠ABD＝60°

∴∠BNM＝∠BAN+∠ABN＝60°，

∵BM⊥AE，

∴∠BMN＝90°，

∴∠NBM＝30°.----------8分

21（8分）解：（1）②--------2分

（2）x2+2ax＝0，

因式分解得：x（x+2a）＝0，

解得：x1＝0，x2＝﹣2a，

∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，

∴2a＝±1，即a＝±；                                              ---------5分

（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，

∴x1+x2，x1•x2，

∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，

∴|x1﹣x2|＝1，

∴|x1﹣x2|1，即1，

∴b2＝a2+4a．                                                          ---------8分

22（8分）.

解：（1）a＝（2÷0.1）×0.25＝5，

m＝4÷20＝0.2，

补全的直方图如图所示：

故答案为：5，0.2；----------3分

（2）400×（0.25+0.15）＝160（人）；----------5分

答：估计该校七年级学生一学期课外劳动时间不少于60h的人数为160人；

（3）根据题意画出树状图，

由树状图可知：

共有20种等可能的情况，

1男1女有12种，

故所选学生为1男1女的概率为：

P＝＝．

 ----------8分

23（9分）解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，

把点（25，110）和（35，90）代入解析式得：，

解得：，

∴y关于x的函数关系式为y＝﹣2x+160； ----------2分

（2）设草莓的日销售利润为w元，

由题意得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+160）＝﹣2x2+200x﹣3200＝﹣2（x﹣50）2+1800，

∵﹣2＜0，x≤49，

∴当x＝49时，w有最大值，最大值为1798，

∴当售价定为49元时，日销售利润最大，最大利润1798元；----------5分

（3）由题意得：w＝（x﹣20﹣a）（﹣2x+160）＝﹣2x2+（2a+200）x﹣3200﹣160a，

∴对称轴为直线xa+50＞50，

∵日销售量不少于40盒，

∴﹣2x+160≥40，

∴x≤60，

①当a+50＜60时，即a＜20时，w有最大值，

最大值为：（a+50﹣20﹣a）[﹣2（a+50）+160]a2﹣60a+1800＝1568，

解得：a＝116（不合题意，舍去）或a＝4；

②当a+50≥60，即a≥20时，w最大＝（60﹣20﹣a）（﹣120+160）＝1568，

解得：a＝0.8（不合题意，舍去），

综上所述，a＝4．----------9分

24（10分）【解答】（1）直线PA为⊙O的切线，

证明：连接OA，

∵OA＝OB，

∴∠ABE＝∠BAO，

∵∠PAE＝∠ABE，

∴∠PAE＝∠BAO，

∴∠PAE+∠OAE＝∠BAO+∠OAE，

∴∠BAE＝∠PAO，

∵BE是⊙O直径，

∴∠BAE＝90°，

∴∠PAO＝90°，

∴OA⊥PA，

∵OA为半径，

∴直线PA为⊙O的切线； ----------3分

（2）证明：∵AC⊥BE，

∴∠BAE＝∠ACE＝90°，

∴∠EAC+∠AEC＝90°，∠ABE+∠AEC＝90°，

∴∠ABE＝∠EAC，

∵∠ABE＝∠AFE，

∴∠EAC＝∠AFE，

∵∠AEF＝∠AEG，

∴△EAG∽∠EFA，

∴＝，

∴AE2＝EG•EF． ----------6分

（3）解：∵AC⊥BE，

∴tan∠EAC＝＝，

∴设CE＝x，AC＝2x，

∵AC⊥BE，∠BAE＝90°，

∴∠ACE＝∠BAE＝90°，

∴∠BAC+∠EAC＝90°，∠EAC+∠AEC＝90°，

∴∠BAC＝∠AEC，

∵∠ACE＝∠ACB＝90°，

∴△ACB∽△ECA，

∴＝，

∵CE＝x，AC＝2x，

∴BC＝4x，

∴BE＝x+4x＝5x，

∴OA＝OE＝2.5x，

∵在Rt△PAO和Rt△PCA中，∠ACP＝∠PAO＝90°，由勾股定理得：PA2＝PC2+AC2＝PO2﹣OA2，

∴（4+x）2+（2x）2＝（4+2.5x）2﹣（2.5x）2，

5x2﹣12x＝0，

x1＝0（舍去），x2＝，

∴OA＝2.5x＝2.5×＝6，

即⊙O的半径的长是6；----------10分

25（12分）解：(1)将点A(－1，0)，点B(3，0)代入

得:，解得:

∴抛物线的表达式为---------2分

∵

∴顶点C(1，4)    ---------3分

 (2)设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CG⊥x轴于点G

∵A(－1，0)，C(1，4)

∴OA=1，OG=1，CG=4

∴OA=OG，

∵FO⊥AB，CG⊥AB

∴FO//CG

∴OF=CG=2，F为AC的中点

∵△DAC是以AC为底的等腰三角形

∴DF⊥AC

∴∠AFO+∠OFD=90°

∵FO⊥AD

∴∠FAO+∠AFO=90°

∴∠FAO=∠OFD

∴

∴

∴

∴OD=4

∴D(4，0)                                           

设直线CD的解析式为

∴，解得：

∴直线CD的解析式为

∴，解得：或

∴P(，)                                         -------7分

（3）①∵DA=DC

∴

∵，

又∵

∴

∴△CEP∽△AFE

∴

∴ --------9分

②过点P作PH⊥AB于点H，如下图

则，

∵OD=4

∴

∴

∵

∴

由（2）知：

设，，则

由①知

∴

∴当时，y最大值，即AF有最大值