第7章复数（典型30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（解析版）

这是一份第7章复数（典型30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第7章复数（典型30题专练）一、单选题1．（2021·山西·浑源县第七中学校高一阶段练习（文））已知i为虚数单位，复数z1＝2＋i，z2＝1－2i，则z1＋z2等于（       ）A．1＋i B．2－i C．3－i D．－i【答案】C【分析】利用复数加法的运算法则，即得解【详解】由题意，z1＋z2＝(2＋i)＋(1－2i)＝3－i.故选：C2．（2021·江苏江都·高一期中）已知复数，则（       ）A．的实部为 B．的虚部为C．在复平面内对应的点在第三象限 D．【答案】A【分析】根据复数的实部为x,虚部为y,对应点,共轭复数为,进行判定.【详解】复数的实部为2，虚部为，对应点坐标,是第四象限，共轭复数为，故选：A.3．（2021·浙江绍兴·高一期末）已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的代数形式的几何意义得到对应点的坐标，进而判定.【详解】复数对应的点的坐标为,为第四象限的点，故选:D.4．（2021·江苏如皋·高一期中）（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分子分母同乘以分母的共轭复数，化简运算即得.【详解】，故选：A.5．（2021·天津红桥·高一期末）i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由共轭复数的定义：与(互为共轭即得【详解】因为，所以，故选：C.6．（2021·河北·张家口市第一中学高一期中）在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用复数的乘法、乘方运算法则，可化简原式为，在复平面内对应的点为，即得解【详解】由题意，在复平面内对应的点为，在第四象限故选：D7．（2021·江苏·星海实验中学高一阶段练习）若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数的除法运算，可得，即得解【详解】由题意：可得：在复平面中对应的点为，在第一象限故选：A8．（2021·全国·高一课时练习）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意列出方程，利用倍角公式转化，求解即可.【详解】由题意得：,，解得：或,,或或.故选：B.9．（2021·全国·高一课时练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（       ）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可【详解】由题意，故为实数或故选：A二、多选题10．（2021·河北·张家口市第一中学高一期中）下列关于复数知识的论述，错误的有（       ）A．在复数集内因式分解的结果是B．C．在复平面内，虚轴上的点都表示纯虚数D．复数的虚部为【答案】ABCD【分析】由可判断A；虚数不可比较大小可判断B；原点表示实数0可判断C；复数的虚部为可判断D【详解】选项A：在复数集内，由于，因式分解的结果是，故A错误；选项B：虚数不可比较大小，故B错误；选项C：在复平面内，虚轴上的点都表示纯虚数（除了原点），故C错误；选项D：复数的虚部为，故D错误.故选：ABCD11．（2021·河北·保定市第三中学高一期中）已知复数的实部与虚部相等，则（       ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用复数的除法，算出复数的实部和虚部，逐项验证即可.【详解】∵，∴，解得，则，.故选：ACD.12．（2021·河北·邯山区新思路学本文化辅导学校高一期中）已知复数z满足，则（       ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】设复数，代入已知等式中，利用复数相等的条件得到关于的方程组，求解得到的值，得到，进而逐一计算后判定.【详解】设复数，由，得，所以解得所以，则．故选：.13．（2021·福建·仙游一中高一阶段练习）已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（        ）A．若，，则的充要条件是B．是纯虚数C．若，则D．若复数，则，【答案】BD【分析】取，否定A；根据纯虚数的定义判定B；取,,否定C；根据虚数不能比较大小，判定D.【详解】取,则,但不满足,故错误；,恒成立,所以是纯虚数,故正确；取,,则,但不成立,故错误;因为虚数不能比较大小，故若复数，则，，所以正确.故选：BD.14．（2021·广东电白·高一期中）已知复数（其中i为虚数单位），下列说法正确的是A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．C． D．为实数【答案】CD【解析】利用复数对应点，结合三角函数值的范围判断；复数的模判断；复数的乘法判断；复数的解法与除法，判断．【详解】复数（其中为虚数单位），复数在复平面上对应的点不可能落在第二象限，所以不正确；，所以不正确；．所以正确；为实数，所以正确；故选：CD三、填空题15．（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，若复数，则z的实部为_____.【答案】【分析】由题意，根据实部的概念，利用三角函数的诱导公式计算.【详解】z的实部等于,故答案为：.16．（2021·重庆南开中学高一期末）设复数满足，则的实部为______．【答案】5【分析】利用复数的乘法运算法则展开化简后即得答案.【详解】,故答案为：5.17．（2021·上海·高一课时练习）i是虚数单位，则为________.【答案】【分析】先利用复数的除法运算化简，然后利用模的公式计算.【详解】,,故答案为：【点睛】本题考查复数的除法运算和模的计算，利用复数的除法运算化简是关键，注意分子分母同乘以分母的共轭复数，并利用复数的乘法运算法则化简.18．（2021·全国·高一课时练习）若为实数，复数所表示的点在第三象限，则的取值范围是_______．【答案】【分析】由复数的代数形式写出其对应的点的坐标，根据点所在象限得到不等式组，求解即得.【详解】复数所表示的点的坐标为,由已知得该点在第三象限，∴解得,故答案为：.19．（2021·全国·高一课时练习）已知，则实数的取值分别为______．【答案】1，1或【分析】由复数相等的定义，列出方程组，即得解【详解】因为，所以解得或故答案为：1，1或20．（2021·江苏·高一专题练习）z∈C，z2+1=0，则z2013=___________.【答案】±i【分析】设z=x+yi(x，y为实数)，由z2+1=0，根据复数为0的条件求出x，y，得到复数z，再由i的乘方规律，求出结果.【详解】解：∵z∈C，z2+1=0，∴设z=x+yi(x，y为实数)，则x2+2xyi+y2i2+1=0，即，即有xy=0且x2﹣y2+1=0，∴x=0，y=1或x=0，y=﹣1，则z=±i，，或.故答案为：±i.【点睛】本题考查复数的运算，虚数单位i的乘方，考查基本的运算能力，属于基础题.关键是掌握虚数单位i的幂的运算的周期律.21．（2021·北京丰台·高一期中）若是虚数单位，复数满足，则___________.【答案】【分析】根据复数的四则运算法则和复数的模的计算公式，即可化简得到答案.【详解】由题意，复数满足，则,所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了复数的运算与化简和复数模的求解，其中熟记复数的四则运算和复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.22．（2021·上海·高一课时练习）方程的一个根是，则方程的另外两个根为________．【答案】【分析】将方程的根代入方程，化简求得的值，然后分解因式后，求得方程的另外两个根.【详解】方程的一个根是，∴，∴,方程为，分解因式得,∴方程的另外两个根为,故答案为：.四、解答题23．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)                  (2)(3)              (4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】注意,利用配方法和十字叉乘法，结合共轭复数的运算即可在复数范围内分解因式.(1);(2);(3);(4)24．（2021·全国·高一课时练习）已知复数，实数a，b满足，求a，b的值．【答案】或.【分析】根据复数的运算代入化简整理，利用复数的相等得到方程组求解即得.【详解】由已知可得,整理可得：.∴,解得或.25．（2021·全国·高一课时练习）已知实数满足，求实数的值．【答案】【分析】由复数相等的定义，列出方程组，即得解【详解】由题意：所以且，所以．26．（2021·重庆实验外国语学校高一期中）己知z为复数，为实数，为纯虚数，其中i是虚数单位，为z的共轭复数.（1）求；（2）若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设由为实数可得，为纯虚数可得，可得解；（2）化简可得，结合对应的点在第三象限，可得解.【详解】（1）设 为实数又为纯虚数          ；             （2）               因为在复平面对应的点在第三象限       【点睛】本题考查了复数的相关概念及几何意义，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题27．（2021·福建省长乐第一中学高一阶段练习）已知复数．（1）若复数是实数，求实数的值（2）若复数对应的点位于复平面的第二象限，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据复数为实数的条件是虚部为零，求得m的值，检验对数的真数是否大于零，做出取舍；（2）根据第二象限的点的坐标的特征，结合复数的虚部实部与点的坐标的对应关系，并注意对数的定义域列出不等式组求解即得.【详解】（1）是实数，则有，解得或．又当时，，所以是实数时，；（2）所对的点位于第二象限，则有且，解得.28．（2021·河北·张家口市第一中学高一期中）（1）已知复数满足，求.（2）已知为坐标原点，对应的复数为，对应的复数为.若与共线，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设，代入，列出方程组，联立求解，即得解，；（2）利用向量共线的坐标表示列出方程组，即得解【详解】（1）设，则.又，所以，由复数相等得，解得，所以.所以.（2）因为对应的复数为，对应的复数为，所以，，因为与共线，所以存在实数使，即，所以，解得的值为.29．（2021·河北·邯山区新思路学本文化辅导学校高一期中）已知复数，其中．（1）若是纯虚数，求m的值．（2）能否为某实系数一元二次方程的两个虚根？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）；（2）当时，能为某实系数一元二次方程的两个虚根．【分析】（1）先求得关于的表达形式，然后根据纯虚数的概念列出方程组，求解即得；（2）根据实系数一元二次方程的两个虚根互为共轭，其实部相等虚部互为相反数，得到方程组求解即得.【详解】（1）依题意，，所以．因为是纯虚数，所以解得．（2）假设是实系数一元二次方程的两个虚根，因为方程的两个虚根为，所以互为共轭复数，于是，从而解得．故当时，能为某实系数一元二次方程的两个虚根．30．（2021·江苏·高一专题练习）若关于x的二次方程x2+z1x+z2+m＝0的两根为α，β，满足|α﹣β|＝2．（1）若z1，z2，m是实数，且z12﹣4z2＝16，求m的值；（2）若z1，z2，m是复数，且z12﹣4z2＝16+20i，求|m|的最大值和最小值．【答案】（1）m＝﹣3；（2）最大值为7，最小值为7．【分析】（1）由z1，z2，m是实数，可得：α+β＝﹣z1，αβ＝z2+m．而|α﹣β|＝2⇔|α﹣β|2＝28⇔|（α﹣β）2|＝28⇔（α+β）2﹣4αβ＝28，代入即可得出．（2）已知是复系数一元二次方程，设出复数m，运用根与系数关系求出α+β及αβ，再借助|α﹣β|＝2找出复数m所满足的关系，根据几何意义求|m|的最大值和最小值．【详解】解：（1）由z1，z2，m是实数，可得：α+β＝﹣z1，αβ＝z2+m．而|α﹣β|＝2⇔|α﹣β|2＝28⇔|（α﹣β）2|＝28⇔（α+β）2﹣4αβ＝28，∴z12﹣4z2﹣4m＝28，∴16﹣4m＝28，解得m＝﹣3．（2）设m＝a+bi（a，b∈R）．则z12﹣4z2﹣4m＝16+20i﹣4a﹣4bi＝4[（4﹣a）+（5﹣b）i]．而|α﹣β|＝2⇔|α﹣β|2＝28⇔|（α﹣β）2|＝28⇔|（α+β）2﹣4αβ|＝28⇔|z12﹣4z2﹣4m|＝28⇔|（4﹣a）+（5﹣b）i|＝7⇔（a﹣4）2+（b﹣5）2＝72，即表示复数m的点在圆（a﹣4）2+（b﹣5）2＝72上，该点与原点距离的最大值为7，最小值为7．【点睛】本题考查了复系数一元二次方程的根与系数的关系、复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．关键是熟练使用韦达定理，并利用复数的模的几何意义求解.