第7章复数（新文化30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（原卷版）

这是一份第7章复数（新文化30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修）（原卷版），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第7章复数（新文化30题专练）一、单选题1．（2020·全国·高一课时练习）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一．根据欧拉公式可知，复数虚部为（　　）A． B． C． D．2．（2021·江苏·高一专题练习）瑞士数学家欧拉在年得到复数的三角方程：，根据三角方程，计算的值为A． B． C． D．3．（2021·山东邹城·高一期中）1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为和，数系扩充后这两个根分别记为和．若，则复数（       ）A． B． C． D．4．（2021·江苏吴江·高一期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（为自然对数的底数，为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，（       ）A．1 B．0 C．-1 D．5．（2021·湖北武汉·高一期中）系数的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（       ）A． B． C． D．6．（2021·全国·高一课时练习）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当时，被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式，表示复数，则（       ）A． B． C． D．7．（2021·全国·高一课时练习）欧拉公式(是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（       ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．（2021·江苏启东·高一期中）瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，（       ）A． B．C． D．9．（2021·浙江衢州·高一期中）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数在复平面内对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10．（2021·广东潮州·高一期末）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，满足条件的点与之间的最大距离为（       ）A．1 B．2 C．3 D．411．（2021·江苏·高一专题练习）欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．（2020·全国·高一专题练习）欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限13．（2020·全国·高一课时练习）欧拉公式（i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将表示的复数记为z，则的值为（       ）A． B． C． D．14．（2021·江苏如皋·高一阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（       ）A． B．C． D．二、多选题15．（2021·江苏·南京市第二十九中学高一期末）欧拉公式（其中是虚数单位，）是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（       ）A．复数对应的点位于第一象限 B．复数的模长等于C．为纯虚数 D．16．（2021·全国·高一课时练习）欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：（把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是（       ）A．若，则有B．若，，则C．若，则D．设，则在复平面上对应的点在第一象限17．（2021·安徽省蚌埠第三中学高一阶段练习）欧拉公式其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（       ）A． B．为纯虚数C．复数的模长等于1 D．的共轭复数为18．（2021·广东·徐闻县第一中学高一期中）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元次方程有个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程的根的是（       ）A． B． C． D．119．（2021·江苏仪征·高一期中）瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（       ）A．B．C．若复数的虚部为，，则的实部为D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为20．（2021·全国·高一课时练习）棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Pope，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（       ）A．B．C．D．存在8个不同的复数，使21．（2021·全国·高一课时练习）欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（       ）A．B．为纯虚数C．的共轭复数为D．已知复数，，则复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称22．（2021·全国·高一课时练习）任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（       ）A．B．当，时，C．当，时，D．当，时，若为偶数，则复数为纯虚数三、双空题23．（2020·全国·高一专题练习）瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》一书中，第一次用来表示-1的平方根，首创了用符号作为虚数的单位．若复数（为虚数单位），则复数的虚部为________；_____．24．（2022·全国·高三专题练习）在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：，已知，则______；若复数满足，则称复数为n次单位根，若复数是6次单位根，且，请写出一个满足条件的______．25．（2020·湖南·长郡中学高一阶段练习）年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则________；________.四、填空题26．（2021·上海·高一课时练习）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于__________象限.27．（2021·全国·高一课时练习）一般的，复数都可以表示为的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果，，那么，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：______.（结果表示为，的形式）28．（2020·全国·高一课时练习）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉提出的，根据欧拉公式可知复数的虚部为______________.29．（2022·全国·高三专题练习（理））欧拉公式将自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数z满足，则___________.五、解答题30．（2021·广东·中山市华侨中学高二阶段练习）欧拉（1707﹣1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1＝0，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率π，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eiθ＝cosθ+isinθ，解决以下问题：（1）将复数写成a+bi（a，b∈R，i为虚数单位）的形式；（2）求（θ∈R）的最大值