06填空题（基础提升题） 2020-2021学年上海市各区高一（下）期末数学知识点分类汇编

06填空题（基础提升题）

一十九．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题）

32．（2021春•嘉定区校级期末）在复平面内，复数对应的向量为，复数ω2对应的向量为，则对应的复数为　   　．

33．（2021春•浦东新区校级期末）复平面上两个点Z1，Z2对应两个复数z1，z2，它们满足下列两个条件：①⊥且z2＝z1•2i；②两点Z1，Z2连线的中点所对应的复数3+4i，则△Z1OZ2的面积为 　   　．

二十．复数的运算（共2小题）

34．（2020秋•崇明区期末）已知复数z满足（﹣2）i＝1（i是虚数单位），则z＝　   　．

35．（2021春•浦东新区校级期末）i是虚数单位，则＝　   　．

二十一．复数的模（共5小题）

36．（2021春•虹口区校级期末）设z1、z2∈C，若|z1|＝|z2|＝1，则的最大值为 　   　．

37．（2021春•宝山区校级期末）设z1、z2、z3在复平面上对应的点分别为A、B、C，z＝（1+），若|z1|＝1，z2＝z1z，z3＝z2z，则四边形OABC的面积为 　   　．

38．（2021春•浦东新区校级期末）若复数z满足|z﹣4+7i|≤2，则|z﹣10﹣i|的最大值为 　   　．

39．（2021春•宝塔区校级期末）已知复数z满足＝，则|z+i|＝　   　．

40．（2021春•浦东新区校级期末）定义：复数b+ai是z＝a+bi（a，b∈R）的转置复数，记为z'＝b+ai．若，则的最大值为 　   　．

二十二．排列、组合及简单计数问题（共1小题）

41．（2021春•徐汇区校级期末）5名奥运火炬手分别到香港、澳门、台湾进行奥运知识宣传，每个地方至少去一名火炬手，则不同的分派方法共有 　   　种（用数字作答）．

二十三．任意角的三角函数的定义（共1小题）

42．（2021春•徐汇区期末）已知角α的终边上的一点（4t，﹣3t）（t＞0），则sinα＝　   　．

二十四．同角三角函数间的基本关系（共1小题）

43．（2021春•嘉定区校级期末）在△ABC中，已知cotAcotB＞1，则△ABC是　   　三角形（填“直角”、“锐角”或“钝角”）

二十五．两角和与差的三角函数（共3小题）

44．（2021春•浦东新区校级期末）已知关于x的方程sinx+cosx＝a在区间[0，]上有解，则实数a的取值范围是 　   　．

45．（2021春•徐汇区期末）赵爽是我国古代数学家和天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形面积为1，若直角三角形中较小的锐角为α，则tan（α﹣）的值为 　   　．

46．（2021•普陀区二模）若cos（θ+）＝1，则cosθ＝　   　．

二十六．二倍角的三角函数（共3小题）

47．（2021春•嘉定区校级期末）已知，则＝　   　．

48．（2021春•静安区期末）若α为第三象限的角，则＝　   　．

49．（2020秋•虹口区期末）已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cosα＝　   　．

二十七．三角函数的周期性（共1小题）

50．（2021春•嘉定区校级期末）已知f（x）＝2sinx（sinx+cosx）+3，则函数f（x）的最小正周期为　   　．

二十八．正弦函数的图象（共1小题）

51．（2021春•宝山区校级期末）已知y＝sin（2x+φ）（其中0≤φ＜2π）是偶函数，且在闭区间[0，]上是严格减函数，则实数φ的值是 　   　．

二十九．正切函数的图象（共1小题）

52．（2021春•宝塔区校级期末）函数，的值域为 　   　．

三十．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共1小题）

53．（2021春•浦东新区校级期末）将y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位之后，可得y＝sin2x的图象，则f（）＝　   　．

三十一．正弦定理（共1小题）

54．（2021春•静安区期末）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，则cosA＝　   　．

三十二．反三角函数（共1小题）

55．（2021春•静安区期末）已知cosx＝﹣，x∈[0，π]，则满足条件的x＝　   　．（结果用反三角记号表示）

三十三．三角函数的最值（共1小题）

56．（2021春•嘉定区校级期末）若等式：cos2x＝a+bcosx+ccos2x（a，b，c为常数），对任意x∈R都成立，则3a﹣4b+c＝　   　．

三十四．平面的基本性质及推论（共1小题）

57．（2021春•浦东新区校级期末）空间中两两平行的3条直线最多可确定的平面的个数是 　   　．

三十五．复数及其指数形式、三角形式（共1小题）

58．（2021春•宝山区校级期末）复数sin1﹣icos1的辐角主值是 　   　．

三十六．实系数多项式虚根成对定理（共2小题）

59．（2020•徐汇区二模）若1+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的根，则pq＝　   　．

60．（2021春•浦东新区校级期末）关于x的方程x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是x＝1+ni（n＞0），则＝　   　．

参考答案与试题解析

一十九．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题）

32．（2021春•嘉定区校级期末）在复平面内，复数对应的向量为，复数ω2对应的向量为，则对应的复数为　﹣　．

【解答】解：因为对应的向量为，复数ω2＝（﹣）2＝﹣对应的向量为，

则＝＝﹣．

故答案为：﹣．

33．（2021春•浦东新区校级期末）复平面上两个点Z1，Z2对应两个复数z1，z2，它们满足下列两个条件：①⊥且z2＝z1•2i；②两点Z1，Z2连线的中点所对应的复数3+4i，则△Z1OZ2的面积为 　20　．

【解答】解：设z1＝a+bi（a，b∈R），则z2＝z1•2i＝（a+bi）•2i＝﹣2b+2ai，

∴Z1（a，b），Z2（﹣2b，2a），

又两点Z1，Z2连线的中点所对应的复数3+4i，

∴，解得a＝，b＝．

∴＝，＝，

∴△Z1OZ2的面积为S＝．

故答案为：20．

二十．复数的运算（共2小题）

34．（2020秋•崇明区期末）已知复数z满足（﹣2）i＝1（i是虚数单位），则z＝　2+i　．

【解答】解：因为，所以，

所以z＝2+i．

故答案为：2+i．

35．（2021春•浦东新区校级期末）i是虚数单位，则＝　﹣i　．

【解答】解：∵＝＝＝﹣i，

（﹣i）4＝1，（﹣i）2021＝[（﹣i）4]505×（﹣i）＝﹣i，

∴＝＝＝﹣i，

故答案为：﹣i．

二十一．复数的模（共5小题）

36．（2021春•虹口区校级期末）设z1、z2∈C，若|z1|＝|z2|＝1，则的最大值为 　2　．

【解答】解：∵|z1|＝|z2|＝1，

∴＝1+1＝2．

故答案为：2．

37．（2021春•宝山区校级期末）设z1、z2、z3在复平面上对应的点分别为A、B、C，z＝（1+），若|z1|＝1，z2＝z1z，z3＝z2z，则四边形OABC的面积为 　　．

【解答】解：由|z1|＝1，知|OA|＝1，z＝（1+）＝3（cos+isin），

则z2＝z1z＝z1•3（cos+isin），可得|OB|＝3，且，

∴＝，

z3＝z2z＝z2•3（cos+isin），则|OC|＝9，且，

∴＝，

∴四边形OABC的面积为S＝＝．

故答案为：．

38．（2021春•浦东新区校级期末）若复数z满足|z﹣4+7i|≤2，则|z﹣10﹣i|的最大值为 　12　．

【解答】解：满足|z﹣4+7i|≤2的复数z表示的点的轨迹为以M（4，﹣7）为圆心，以2为半径的圆及其内部，

如图，

|z﹣10﹣i|的几何意义为动点Z到定点A（10，1）的距离，

则|z﹣10﹣i|的最大值为|MA|+2＝＝12．

故答案为：12．

39．（2021春•宝塔区校级期末）已知复数z满足＝，则|z+i|＝　（）或（）　．

【解答】解：设z＝a+bi，则＝a﹣bi，

∵＝，

∴（）（z+i）＝9，即，

∴a2+b2﹣a﹣bi+ai+b﹣i＝9

∴（a2+b2﹣a+b）+（a﹣b﹣1）i＝9，

则，解得或．

当时，|z+i|＝|（）+（）i|

＝＝；

当时，|z+i|＝|（）+（）i|

＝＝．

故答案为：（）或（）．

40．（2021春•浦东新区校级期末）定义：复数b+ai是z＝a+bi（a，b∈R）的转置复数，记为z'＝b+ai．若，则的最大值为 　　．

【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则z'＝b+ai，

z′+z＝（a+b）+（a+b）i，＝（a+b）+（a﹣b）i，

∵，∴a2+b2＝2，

∴|（z′+z）（）|＝|（z′+z）||（）|＝

＝＝．

当且仅当a＝b时等号成立．

故答案为：．

二十二．排列、组合及简单计数问题（共1小题）

41．（2021春•徐汇区校级期末）5名奥运火炬手分别到香港、澳门、台湾进行奥运知识宣传，每个地方至少去一名火炬手，则不同的分派方法共有 　150　种（用数字作答）．

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①将5人分为3组，

若分为3、1、1的三组，有C53＝10种分组方法，

若分为2、2、1的三组，有＝15种分组方法，

则有10+15＝25种分组方法，

②将分好的三组全排列，安排到三个地区，有A33＝6种情况，

则有25×6＝150种分派方法，

故答案为：150．

二十三．任意角的三角函数的定义（共1小题）

42．（2021春•徐汇区期末）已知角α的终边上的一点（4t，﹣3t）（t＞0），则sinα＝　﹣　．

【解答】解：因为角α的终边上一点P（4t，﹣3t）（t≠0），

又t＞0时，sinα＝＝＝﹣．

故答案为：﹣．

二十四．同角三角函数间的基本关系（共1小题）

43．（2021春•嘉定区校级期末）在△ABC中，已知cotAcotB＞1，则△ABC是　钝角　三角形（填“直角”、“锐角”或“钝角”）

【解答】解：∵cotAcotB＝＞1，

∴tanAtanB＜1，即1﹣tanAtanB＞0，

∵A与B为三角形的内角，即tanA＞0，tanB＞0，

∴tan（A+B）＝＞0，

∴tanC＝﹣tan（A+B）＜0，即C为钝角，

则△ABC为钝角三角形．

故答案为：钝角．

二十五．两角和与差的三角函数（共3小题）

44．（2021春•浦东新区校级期末）已知关于x的方程sinx+cosx＝a在区间[0，]上有解，则实数a的取值范围是 　[0，2]　．

【解答】解：sinx+cosx＝a化为：sinx+cosx＝，

∴sin（x+）＝，

∵x∈[0，]，∴（x+）∈[，π]，

∴sin（x+）∈[0，1]，

∵关于x的方程sinx+cosx＝a在区间[0，]上有解，

∴0≤≤1，解得0≤a≤2．

则实数a的取值范围是[0，2]，

故答案为：[0，2]，

45．（2021春•徐汇区期末）赵爽是我国古代数学家和天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形面积为1，若直角三角形中较小的锐角为α，则tan（α﹣）的值为 　　．

【解答】解：直角三角形的边长为a和a+1，

所以a2+（a+1）2＝25，

解得a＝3，

故a+1＝4，

所以，cos，

则tan，

故．

故答案为：．

46．（2021•普陀区二模）若cos（θ+）＝1，则cosθ＝　　．

【解答】解：因为cos（θ+）＝1，

所以sin（θ+）＝0，

所以cosθ＝cos[（θ+）﹣]＝cos（θ+）cos+sin（θ+）sin＝1×+0×＝．

故答案为：．

二十六．二倍角的三角函数（共3小题）

47．（2021春•嘉定区校级期末）已知，则＝　　．

【解答】解：因为，

所以＝(sinα+cosα)2＝(1+sin2α)＝(1+)＝。

故答案为：。

48．（2021春•静安区期末）若α为第三象限的角，则＝　0　．

【解答】解：由二倍角公式可得，1+cos2α＝2cos2α，1﹣cos2α＝2sin2α，

∵α为第三象限的角，

∴＝．

故答案为：0．

49．（2020秋•虹口区期末）已知α∈（0，π），且有1﹣2sin2α＝cos2α，则cosα＝　　．

【解答】解：由1﹣2sin2α＝cos2α，得1﹣cos2α＝2sin2α，

即2sin2α＝4sinαcosα；

又α∈（0，π），所以sinα≠0，

所以sinα＝2cosα＞0；

由sin2α+cos2α＝（2cosα）2+cos2α＝5cos2α＝1，

解得cosα＝．

故答案为：．

二十七．三角函数的周期性（共1小题）

50．（2021春•嘉定区校级期末）已知f（x）＝2sinx（sinx+cosx）+3，则函数f（x）的最小正周期为　π　．

【解答】解：f（x）＝2sinx（sinx+cosx）+3＝2sin2x+2sinxcosx+3，

由二倍角公式，cos2x＝1﹣2sin2x，sin2x＝2sinxcosx，

∴f(x)＝1﹣cos2x+sin2x+3＝＝，

∵，

∴函数f（x）的最小正周期为π，

故答案为：π．

二十八．正弦函数的图象（共1小题）

51．（2021春•宝山区校级期末）已知y＝sin（2x+φ）（其中0≤φ＜2π）是偶函数，且在闭区间[0，]上是严格减函数，则实数φ的值是 　　．

【解答】解：由于y＝sin（2x+φ）（其中0≤φ＜2π）是偶函数，

所以φ＝kπ+（k∈Z），

其中0≤φ＜2π，

所以φ＝或，

且满足在闭区间[0，]上是严格减函数，

所以φ＝；

故答案为：．

二十九．正切函数的图象（共1小题）

52．（2021春•宝塔区校级期末）函数，的值域为 　（1，+∞）　．

【解答】解：当x∈（，），x﹣∈（，），∴函数＞1，

故函数y的值域为（1，+∞），

故答案为：（1，+∞）．

三十．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共1小题）

53．（2021春•浦东新区校级期末）将y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位之后，可得y＝sin2x的图象，则f（）＝　﹣　．

【解答】解：函数y＝sin2x的图象向下平移1个单位后，得到y＝sin2x﹣1的图象，再向右平移个单位，得到f（x）＝sin（2x﹣）﹣1的图象，

所以f（）＝sin（）﹣1＝，

故答案为：．

三十一．正弦定理（共1小题）

54．（2021春•静安区期末）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，则cosA＝　　．

【解答】解：因为，

所以可得＝，由正弦定理可得＝，

则•sinC＝（）•sinB，

又sinB≠0，

整理可得2sinCcosA＝sinAcosB+cosAsinB，即2sinCcosA＝sin（A+B）＝sinC，

因为sinC≠0，

所以可得cosA＝．

故答案为：．

三十二．反三角函数（共1小题）

55．（2021春•静安区期末）已知cosx＝﹣，x∈[0，π]，则满足条件的x＝　π﹣arccos　．（结果用反三角记号表示）

【解答】解：∵，

满足条件的x为钝角，

∴x＝arccos（﹣）＝π﹣arccos，

故答案为：．

三十三．三角函数的最值（共1小题）

56．（2021春•嘉定区校级期末）若等式：cos2x＝a+bcosx+ccos2x（a，b，c为常数），对任意x∈R都成立，则3a﹣4b+c＝　﹣1　．

【解答】解：cos2x＝a+bcosx+ccos2x，（a，b，c为常数），

可得2cos2x﹣1＝a+bcosx+ccos2x，

所以可得a＝﹣1，b＝0，c＝2，

则3a﹣4b+c＝﹣1．

故答案为：﹣1．

三十四．平面的基本性质及推论（共1小题）

57．（2021春•浦东新区校级期末）空间中两两平行的3条直线最多可确定的平面的个数是 　3　．

【解答】解：若三条直线在同一故平面内，则此时三条直线只能确定一个平面，

若三条直线不在同一故平面内，则此时三条直线能确定三个平面，

故三条两两平行的直线可以确定平面的个数为1个或3个，

故答案为：3．

三十五．复数及其指数形式、三角形式（共1小题）

58．（2021春•宝山区校级期末）复数sin1﹣icos1的辐角主值是 　1　．

【解答】解：复数sin1﹣icos1＝cos（1+）+isin（1+），

所以复数sin1﹣icos1的辐角主值是：1．

故答案为：1．

三十六．实系数多项式虚根成对定理（共2小题）

59．（2020•徐汇区二模）若1+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的根，则pq＝　﹣4　．

【解答】解：若1+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+px+q＝0的根，

则1﹣i也是该方程的根，

所以（1+i）+（1﹣i）＝﹣p，解得p＝﹣2；

（1+i）（1﹣i）＝q，解得q＝2；

所以pq＝﹣4．

故答案为：﹣4．

60．（2021春•浦东新区校级期末）关于x的方程x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是x＝1+ni（n＞0），则＝　﹣2　．

【解答】解：∵x2+mx+2＝0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），

∴（1+ni）2+m（1+ni）+2＝0，

整理可得，（3﹣n2+m）+（m+2）ni＝0，

∵n＞0，

根据复数相等的条件可得，m+2＝0，3+m﹣n2＝0，

∴m＝﹣2，n＝1，

则m+n＝﹣1，

∴＝﹣2．

故答案为：﹣2．