08解答题（基础题） 2020-2021学年上海市各区高一（下）期末数学知识点分类汇编

这是一份08解答题（基础题） 2020-2021学年上海市各区高一（下）期末数学知识点分类汇编，共22页。试卷主要包含了为“L函数”，，k∈R，，前n项和为Sn等内容，欢迎下载使用。

08解答题（基础题）
一．集合的包含关系判断及应用（共1小题）
1．（2021春•宝山区期末）已知全集U＝R，，函数g（x）＝x2+x+2a，x∈[0，1]的值域为集合B，集合C＝{x||x﹣a|≤2，x∈R}，a为常数．
（1）求集合；
（2）若B⊆C，求实数a的取值范围．
二．抽象函数及其应用（共2小题）
2．（2021春•徐汇区期末）已知函数f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，都存在x2∈D，满足f（x1）＝，则称函数f（x）为“L函数”．
（1）判断函数f（x）＝sinx+，x∈R是否为“L函数”，并说明理由；
（2）已知“L函数”f（x）是定义在[a，b]上的严格增函数，且f（a）＞0，f（b）＞0，求证：f（a）•f（b）＝1．
3．（2021春•浦东新区校级期末）若函数y＝f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）＝b恒成立，则称y＝f（x）为“Ω函数”，已知函数f（x）＝tanx是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对（a，b）．
三．函数零点的判定定理（共1小题）
4．（2021春•宝山区期末）已知函数f（x）＝2x+k•g（x），k∈R．
（1）若k＝﹣，g（x）＝4x，求函数f（x）的零点；
（2）若g（x）＝2﹣x，写出函数y＝f（x）在R上的奇偶性，不必说明理由；
（3）若g（x）＝﹣x，判断函数y＝f（x）在R上的单调性，并说明理由．
四．根据实际问题选择函数类型（共1小题）
5．（2021春•虹口区校级期末）进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设．
（1）当时，求出矩形PGBF的面积（精确到1m2）；
（2）用α表示矩形PGBF的面积，并求出矩形PGBF的面积SPGBF的最大值（精确到1m2）．

五．数列的应用（共1小题）
6．（2021春•普陀区校级期末）若数列{an}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得ak＝ai•aj”，则称{an}具有“性质P”．
（1）判断各项均等于a的常数列是否具有“性质P”，并说明理由；
（2）若公比为2的无穷等比数列{an}具有“性质P”，求首项a1的值；
（3）证明：首项为2的无穷等差数列{an}具有“性质P”的充要条件是公差d＝1或d＝2．
六．数列的求和（共1小题）
7．（2021春•浦东新区校级期末）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝log2an（n≥1），求数列{bn}的前n项和Tn．
七．数列递推式（共1小题）
8．（2021春•徐汇区校级期末）已知数列{an}的首项为x（x∈R），前n项和为Sn．
（1）若Sn＝nan﹣，求数列{an}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，是否存在x（x∈R），使得对任意n∈N，n≥1，恒有＝k（其中k是与正整数n无关的常数），若存在，求出x与k的值，若不存在，说明理由；
（3）若{an}是无穷等比数列，且公比q≠﹣1，计算．
八．平面向量的基本定理（共2小题）
9．（2021春•松江区期末）已知O是线段AB外一点，若＝，＝．
（1）设点G是△OAB的重心，证明：＝（+）；
（2）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△QA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示++；
（3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？（不必证明）

10．（2021春•浦东新区校级期末）在△ABC中，∠CAB＝120°．
（1）如图1，若点P为△ABC的重心，试用、表示；
（2）如图2，若点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧上运动（包含B、C两个端点），且AB＝AC＝1，设＝+（λ，μ∈R），求λμ的取值范围；
（3）如图3，若点P为△ABC外接圆的圆心，设＝m+n（m，n∈R），求m+n的最小值

九．平面向量数量积的性质及其运算（共9小题）
11．（2021春•宝塔区校级期末）已知向量，．
（1）求，的夹角；
（2）若，求实数k的值．
12．（2021春•上海期末）已知向量、的夹角为．
（1）求•的值
（2）若和垂直，求实数t的值．
13．（2021春•静安区期末）已知，，且．
（1）求向量 与 的夹角大小；
（2）求．
14．（2021春•徐汇区期末）在△ABC中，设＝，，记△ABC的面积为S．
（1）求证：S＝；
（2）设＝（x1，y1），＝（x2，y2），求证：S＝|x1y2﹣x2y1|．
15．（2021春•徐汇区校级期末）已知O为直角坐标系原点，与垂直，与平行．
（1）求向量在向量上的投影；
（2）求的坐标．
16．（2021春•宝山区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一动点，PE垂直AB于点E，PF垂直BC于点F．
（1）求向量与的夹角＜，＞．
（2）设＝，点Q满足﹣＝2，证明⊥，并求出当点P运动时，的取值范围．

17．（2021春•宝塔区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，．
（1）若，E为AM中点，求证：点D，E，N共线；
（2）若∠DAB＝60°，，求的最小值，及此时的值．

18．（2021春•浦东新区校级期末）已知向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1）．
（1）若，求tanx的值；
（2）若函数y＝（），求此函数当x∈[0，]时的最大值．
19．（2021春•虹口区校级期末）如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线MN的中点，P为平面上任意给定的一点．
（1）求证：；
（2）若，，，，点E在直线AD上运动，当E在什么位置时，取到最小值？
（3）在（2）的条件下，过G的直线分别交线段AB、CD于点H、K（不含端点），若，，求的最小值．

一十．数量积表示两个向量的夹角（共2小题）
20．（2021春•宝山区期末）已知a，b∈R，i是虚数单位，z1＝a﹣i，z2＝2+bi在复平面上对应的点分别为A，B．
（1）若z12+z22是实数，求||的最小值；
（2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角．
21．（2021春•浦东新区校级期末）设、是两个不共线的非零向量（t∈R）．
（1）记＝，＝t，＝（+），那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线？
（2）若||＝||＝1且与夹角为120°，那么实数x为何值时，|+x|的值最小？
一十一．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题）
22．（2021春•虹口区校级期末）已知平面向量，．
（1）当k为何值时，与垂直；
（2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
一十二．复数的代数表示法及其几何意义（共3小题）
23．（2021春•徐汇区期末）已知复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣3m+2）i，其中m为实数，i为虚数单位．
（1）m为何值时，z是纯虚数；
（2）若复数z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
24．（2021春•松江区期末）已知复数z1＝a+2+（a2﹣3）i，z2＝2﹣（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若复数z1﹣在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值．
25．（2021春•宝塔区校级期末）已知复数z满足z+4为纯虚数，且为实数；若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．


参考答案与试题解析
一．集合的包含关系判断及应用（共1小题）
1．（2021春•宝山区期末）已知全集U＝R，，函数g（x）＝x2+x+2a，x∈[0，1]的值域为集合B，集合C＝{x||x﹣a|≤2，x∈R}，a为常数．
（1）求集合；
（2）若B⊆C，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵全集U＝R，
＝{x|＞0}＝{x|＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞1}，
∴，
（2）∵函数g（x）＝x2+x+2a，x∈[0，1]的值域为集合B，
∴集合B＝[2a，2a+2]，
∵集合C＝{x||x﹣a|≤2，x∈R}＝[a﹣2，a+2]，a为常数，B⊆C，
∴，解得﹣2≤a≤0，
∴实数a的取值范围是[﹣2，0]．
二．抽象函数及其应用（共2小题）
2．（2021春•徐汇区期末）已知函数f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，都存在x2∈D，满足f（x1）＝，则称函数f（x）为“L函数”．
（1）判断函数f（x）＝sinx+，x∈R是否为“L函数”，并说明理由；
（2）已知“L函数”f（x）是定义在[a，b]上的严格增函数，且f（a）＞0，f（b）＞0，求证：f（a）•f（b）＝1．
【解答】解：（1）因为f（x）＝sinx+，所以．
所以当时，不存在x2∈R，使得，
所以f（x）不是“L函数”；
（2）证明：由题可知“L函数”f（x）是定义在[a，b]上的严格增函数，
所以f（x）∈[f（a），f（b）]，又f（a）＞0，f（b）＞0，
所以，
根据“L函数”的定义，要使f（x）为“L函数”，
则[f（a），f（b）]，
所以，即，即有f（a）•f（b）＝1
3．（2021春•浦东新区校级期末）若函数y＝f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a﹣x）＝b恒成立，则称y＝f（x）为“Ω函数”，已知函数f（x）＝tanx是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对（a，b）．
【解答】解：因为函数f（x）＝tanx是一个“Ω函数”，
设有序实数对（a，b）满足tan（a﹣x）tan（a+x）＝b恒成立，
当a＝，k∈Z时，tan（a﹣x）tan（a+x）＝﹣cot2x，不是常数，不符合题意；
所以a≠，k∈Z，
当x≠，m∈Z时，有（btan2a﹣1）tan2x+（tan2a﹣b）＝0恒成立，
所以btan2a﹣1＝0且tan2a﹣b＝0，
所以tan2a＝1，b＝1，
故，k∈Z，b＝1，
所以当x≠，m∈Z时，，k∈Z时，tan（a﹣x）tan（a+x）＝﹣cot2a＝1为定值，
故满足f（x）＝tanx是一个“Ω函数”的有序实数对（a，b）为．
三．函数零点的判定定理（共1小题）
4．（2021春•宝山区期末）已知函数f（x）＝2x+k•g（x），k∈R．
（1）若k＝﹣，g（x）＝4x，求函数f（x）的零点；
（2）若g（x）＝2﹣x，写出函数y＝f（x）在R上的奇偶性，不必说明理由；
（3）若g（x）＝﹣x，判断函数y＝f（x）在R上的单调性，并说明理由．
【解答】解：（1）k＝﹣，g（x）＝4x，∴2x﹣•4x＝0，
∴2x＝，解得x＝．
（2）若g（x）＝2﹣x，则f（x）＝2x+k•2﹣x，
f（﹣x）＝k•2x+2﹣x，
①若f（﹣x）＝k•2x+2﹣x＝﹣f（x）＝﹣（2x+k•2﹣x），
化为：（2x+2﹣x）（k+1）＝0，∴k＝﹣1，
当k＝﹣1时，f（x）在R上为奇函数；
②若f（﹣x）＝k•2x+2﹣x＝f（x）＝（2x+k•2﹣x），
化为：（2x﹣2﹣x）（k﹣1）＝0，∴k＝1，
当k＝1时，f（x）在R上为偶函数；
③当k≠±1时，f（x）在R上既不是奇函数又不是偶函数
（3）g（x）＝﹣x，
则函数f（x）＝2x﹣kx，
当k≤0时，∵y＝2x在R上单调递增，k＜0时，函数y＝﹣kx在R上单调递增，k＝0时，y＝0为常数函数，∴f（x）在R上是严格增函数；
当k＞0时，f（x）在R上既不是增函数也不是减函数．
四．根据实际问题选择函数类型（共1小题）
5．（2021春•虹口区校级期末）进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设．
（1）当时，求出矩形PGBF的面积（精确到1m2）；
（2）用α表示矩形PGBF的面积，并求出矩形PGBF的面积SPGBF的最大值（精确到1m2）．

【解答】解：（1）作PM⊥OA于点M，PN⊥OC于点N，
所以在Rt△POM与Rt△PON中，PM＝60sinα，PN＝60cosα，
所以PG＝80﹣60cosα，PF＝80﹣60sinα，
当PG＝PF时，sinα＝cosα（），
所以当时，矩形PGBF的面积S＝PG•PF＝PG2＝1412m2；
（2）矩形PGBF的面积S＝PG•PF＝（80﹣60sinα）（80﹣60cosα）
＝400[9sinαcosα﹣12（sinα+cosα）+16]，
令t＝sinα+cosα＝，
因为，所以，
故，即，
令u＝9sinαcosα﹣12（sinα+cosα）+16＝，
对称轴为，
因为u（）＝，u（）＝≈12.47＜u（），
所以当α＝或时，矩形PGBF的面积SPGBF的最大值为400（μmax+16）≈1421m2．

五．数列的应用（共1小题）
6．（2021春•普陀区校级期末）若数列{an}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得ak＝ai•aj”，则称{an}具有“性质P”．
（1）判断各项均等于a的常数列是否具有“性质P”，并说明理由；
（2）若公比为2的无穷等比数列{an}具有“性质P”，求首项a1的值；
（3）证明：首项为2的无穷等差数列{an}具有“性质P”的充要条件是公差d＝1或d＝2．
【解答】（1）解：若数列{an}具有“性质P”，“对任意正整数i，j，i≠j，
都存在正整数k，使得ak＝ai•aj”，所以a＝a2，
所以a＝0或1，
故当a＝0或1时，各项均等于a的常数列具有“性质P”；
当a≠0且a≠1时，各项均等于a的常数列不具有“性质P”．
（2）解：对任意正整数i，j，i≠j，
都存在正整数k，使得ak＝ai•aj，即a1•2k﹣1＝a1•2i﹣1•a1•2j﹣1，
所以a1＝2k+1﹣i﹣j，
令k+1﹣i﹣j＝m∈Z，则a1＝2m，
当m≥﹣1且m∈Z时，an＝a1•2n﹣1＝2m+n﹣1，
对任意正整数i，j，i≠j，由ak＝ai•aj，得2m+k﹣1＝2m+i﹣1•2m+j﹣1，
所以k＝i+j+m﹣1，
而i+j+m﹣1是正整数，所以存在正整数k＝i+j+m﹣1，使得ak＝ai•aj成立，数列具有“性质P”；
当m≤﹣2且m∈Z时，取i＝1，j＝2，则i+j+m﹣1＝2+m≤0，正整数k不存在，数列不具有“性质P”，
综上所述，a1＝2m，m≥﹣1且m∈Z．
（3）证明：①若首项为2的无穷等差数列{an}具有“性质P”，
则an＝2+（n﹣1）d且{an}具有“性质P”，
所以对于任意的正整数n，存在整数k，使得ak＝a1•an成立，则d＝，
对于任意的正整数n，存在整数k1和k2，使得＝a1•an，＝a2•an，
两式相减得，dan＝（k2﹣k1）d，
若d＝0，则{an}各项均为2，由（1）可判断不合题意，
若d≠0，得an＝k2﹣k1，是整数，从而得到公差d也是整数，
若d＜0，则此数列是递减的等差数列，取满足的正整数m，解得，
由am•am+1＞＞a1，所以不存在正整数k使得am•am+1＝ak成立，从而d＜0不成立；
∴d是整数且d＝，
∴当k＝2n+1时，d＝；当k＝2n时，d＝，即d＝1或d＝2，
∴首项为2的无穷等差数列{an}具有“性质P”的必要条件是公差d＝1或d＝2．
②∵当d＝1时，数列2，3，4，...，n+1，...，对任意的正整数i，j，i≠j，
由ak＝ai•aj，可得k+1＝（i+1）（j+1），可得k＝i+j+ij，而i+j+ij是正整数，从而数列具有“性质P”；
当d＝2时，数列2，4，6，...，2n，...，对任意正整数i，j，由ak＝ai•aj，可得2k＝2i•2j，即k＝2ij，而2ij是正整数，从而数列具有“性质P”，
∴首项为2的无穷等差数列{an}具有“性质P”的充分条件是公差d＝1或d＝2．
综上可得，首项为2的无穷等差数列{an}具有“性质P”的充要条件是公差d＝1或d＝2．
六．数列的求和（共1小题）
7．（2021春•浦东新区校级期末）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝log2an（n≥1），求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解；（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞1），由a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，得6a2＝a1+3+a3+4，即a1+a3＝6a2﹣7，
又S3＝7，得a1+a2+a3＝7，所以6a2﹣7+a2＝7，解得a2＝2．所以a1+a3＝5，则+2q＝5，即2q2﹣5q+2＝0，解得q＝2或q＝（舍去），
所以a1＝＝＝1，因此an＝1×2n﹣1＝2n﹣1．
（2）由（1）可知an＝2n﹣1，所以bn＝log2an＝n﹣1，所以Tn＝b1+b2+…+bn＝0+1+2+…+n﹣1＝．
七．数列递推式（共1小题）
8．（2021春•徐汇区校级期末）已知数列{an}的首项为x（x∈R），前n项和为Sn．
（1）若Sn＝nan﹣，求数列{an}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，是否存在x（x∈R），使得对任意n∈N，n≥1，恒有＝k（其中k是与正整数n无关的常数），若存在，求出x与k的值，若不存在，说明理由；
（3）若{an}是无穷等比数列，且公比q≠﹣1，计算．
【解答】解：（1）由，得
，
两式作差可得an+1＝nan+1+an+1﹣nan﹣n，
即an+1﹣an＝1，
∴数列{an}是首项为x，公差为1的等差数列，
则an＝x+（n﹣1）×1＝n+x﹣1；
（2）由＝k，得Sn＝kS2n，
即nx+＝k[2nx+n（2n﹣1）]，
整理得：（1﹣4k）n﹣（2k﹣1）（2x﹣1）＝0，
当x＝，k＝时，该等式恒成立，
即当x＝时，＝；
（3）若{an}是无穷等比数列，且公比q≠﹣1，
当q＝1时，Sn＝nx，S2n＝2nx，，则＝；
当q≠1时，，，
，＝＝．
∴＝．
八．平面向量的基本定理（共2小题）
9．（2021春•松江区期末）已知O是线段AB外一点，若＝，＝．
（1）设点G是△OAB的重心，证明：＝（+）；
（2）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△QA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示++；
（3）如果在线段AB上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？（不必证明）

【解答】（1）证明：设AB的中点为E，则＝；
（2）解：因为点A1，A2是线段AB的三等分点，
，，，
则
＝
＝；
（3）解：层次一：
设A1是AB的二等分点，则，＝；
设A1，A2，A3是线段AB的四等分点，则；
层次二：
设A1，A2，•••，An﹣1是线段AB的n等分点，，
层次三：
设A1，A2，•••，An﹣1是线段AB的n等分点，则．
10．（2021春•浦东新区校级期末）在△ABC中，∠CAB＝120°．
（1）如图1，若点P为△ABC的重心，试用、表示；
（2）如图2，若点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧上运动（包含B、C两个端点），且AB＝AC＝1，设＝+（λ，μ∈R），求λμ的取值范围；
（3）如图3，若点P为△ABC外接圆的圆心，设＝m+n（m，n∈R），求m+n的最小值

【解答】解：（1）延长AO交BC于D，则D是BC中点，
所以＝•（）＝；
（2）以A为原点，建立如图所示坐标系，则B（1，0），C（﹣，）
设P（cosθ，sinθ），θ∈[0，]，
因为＝+，所以（cosθ，sinθ）＝λ（1，0）+μ（﹣，），
所以，
所以λμ＝sinθ（cosθ+θ）＝sin2θ+sin²θ＝sin2θ+（1﹣cos2θ）
＝（sin2θ﹣cos2θ+1）＝sin（2θ﹣）+，
因为θ∈[0，]，
所以2θ﹣∈[﹣，]，则λμ＝sin（2θ﹣）+∈[0，1]；
（3）因为∠CAB＝120°，所以∠CPB＝120°，
由＝m+n（m，n∈R）可得＝m（）+n（），
即（1﹣m﹣n）＝m+n，
平方可得（1﹣m﹣n）²＝m²+n²+2mn
即（1﹣m﹣n）²||²＝m²||²+n²||+2mn||•||cos120°，
所以（1﹣m﹣n）²＝m²+n²﹣mn，整理可得3mn+1＝2m+2n，
由平行四边形法则可知m+n＞1，令m+n＝t，则mn＝，t＞1，
由基本不等式可得mn≤，即≤，解得t≥2或t≤，
所以t≥2，则m+n≥2，即m+n的最小值为2．

九．平面向量数量积的性质及其运算（共9小题）
11．（2021春•宝塔区校级期末）已知向量，．
（1）求，的夹角；
（2）若，求实数k的值．
【解答】解：（1）根据题意，向量，．
则||＝，||＝1，•＝﹣1，
则cos＝＝＝﹣，
又由0≤≤π，则＝π﹣arccos；
（2）根据题意，3﹣2＝（5，6），k+＝（k﹣1，2k），
若，则有（3﹣2）•（k+）＝5（k﹣1）+12k＝0，
解可得：k＝．
12．（2021春•上海期末）已知向量、的夹角为．
（1）求•的值
（2）若和垂直，求实数t的值．
【解答】解：（1）；
（2）∵和垂直，
∴，即，
∴2t﹣（2﹣t）﹣4＝0，
∴t＝2．
13．（2021春•静安区期末）已知，，且．
（1）求向量 与 的夹角大小；
（2）求．
【解答】解：（1），，且．
可得﹣2＝﹣6，8﹣2×﹣12＝﹣6，
即cos＝，
所以向量 与 的夹角大小为：；
（2）＝＝＝．
14．（2021春•徐汇区期末）在△ABC中，设＝，，记△ABC的面积为S．
（1）求证：S＝；
（2）设＝（x1，y1），＝（x2，y2），求证：S＝|x1y2﹣x2y1|．
【解答】证明：（1）S＝＝＝
＝＝．
故原式成立．
（2）因为＝（x1，y1），＝（x2，y2），
所以S＝＝
＝＝
|x1y2﹣x2y1|，原式成立．
15．（2021春•徐汇区校级期末）已知O为直角坐标系原点，与垂直，与平行．
（1）求向量在向量上的投影；
（2）求的坐标．
【解答】解：（1）因为＝（3，1），＝（﹣1，2），
所以＝﹣＝（﹣4，1），
计算•＝﹣12+1＝﹣11，||＝＝，
所以向量在向量上的投影为：
||cosθ＝＝＝﹣；
（2）设＝（x，y），因为与垂直，
所以•＝﹣x+2y＝0，
又＝﹣＝（x+1，y﹣2），且与平行，
所以3（y﹣2）﹣（x+1）＝0，即x﹣3y+7＝0，
由，解得，
所以＝（14，7）；
所以的坐标为（14，7）．
16．（2021春•宝山区校级期末）如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上一动点，PE垂直AB于点E，PF垂直BC于点F．
（1）求向量与的夹角＜，＞．
（2）设＝，点Q满足﹣＝2，证明⊥，并求出当点P运动时，的取值范围．

【解答】解：（1）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），
设P（m，m）（0≤m≤1），则E（m，0），F（1，m），
∴，，
∵，
∴向量与的夹角＜，＞＝；
（2）证明：∵＝，
∴＝＝0，则⊥，
∵﹣＝2，∴，即，
设M是线段DQ的中点，则＝＝＝，
因此＝，
从而，因此P、M、C三点共线，
结合QD⊥AC，及线段QD的中点M在AC上，得Q、D关于直线AC轴对称，
因此Q与B重合，＝（1﹣m，﹣m），结合P与C不重合，有m≠1，
＝（1﹣m）2﹣m2＝1﹣2m，m∈[0，1），
∴的取值范围是（﹣1，1]．

17．（2021春•宝塔区校级期末）如图，平行四边形ABCD中，．
（1）若，E为AM中点，求证：点D，E，N共线；
（2）若∠DAB＝60°，，求的最小值，及此时的值．

【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，，，E为AM中点，
∴＝＝（+）＝（+）＝+，∵+＝1，∴D，E，N共线；
（2）设||＝||＝x＞0，||＝||＝y＞0，根据∠DAB＝60°，，可得xy＝1，
2＝（+）2＝（+）2＝x2+xy×+y2＝x2+y2+≥xy+＝2，∴||≥，
当且仅当x＝y且xy＝1，即x＝，y＝时，||取得最大值，此时的值．
18．（2021春•浦东新区校级期末）已知向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1）．
（1）若，求tanx的值；
（2）若函数y＝（），求此函数当x∈[0，]时的最大值．
【解答】解：（1）向量＝（sinx，1），＝（cosx，﹣1）．
，可得﹣sinx＝cosx，所以tanx＝﹣；
（2）y＝（）＝﹣1+cos2x+1＝sin2x+cos2x＝sin+．
因为x∈[0，]，所以2x+∈，
所以当2x+＝，即x＝时，最大值为：．
19．（2021春•虹口区校级期末）如图，在四边形ABCD中，G为对角线AC与BD中点连线MN的中点，P为平面上任意给定的一点．
（1）求证：；
（2）若，，，，点E在直线AD上运动，当E在什么位置时，取到最小值？
（3）在（2）的条件下，过G的直线分别交线段AB、CD于点H、K（不含端点），若，，求的最小值．

【解答】（1）证明：因为G为MN的中点，则，
又M为BD的中点，N为AC的中点，
所以，，
故，
则；
（2）解：以点B为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，
则A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，2），M（，1），N（），G（），
故直线AD的方程为，即y＝x+1，
设E（x，x+1），
则
＝
＝，
所以当x＝，y＝时，取得最小值为，
即时，；
（3）解：设过G的直线为，
令x＝0，则y＝，故H（0，），
令x＝1，则y＝，故K（1，），
因为，，
则有＝，
所以m+2n＝，
则＝＝≥＝＝，
当且仅当时取等号，
故的最小值为．

一十．数量积表示两个向量的夹角（共2小题）
20．（2021春•宝山区期末）已知a，b∈R，i是虚数单位，z1＝a﹣i，z2＝2+bi在复平面上对应的点分别为A，B．
（1）若z12+z22是实数，求||的最小值；
（2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角．
【解答】解：（1）因为z1＝a﹣i，z2＝2+bi在复平面上对应的点分别为A，B，
所以A（a，﹣1），B（2，b），
因为z12+z22＝a2﹣b2+3+（4b﹣2a）i是实数，
则a＝2b，
所以＝，
故||的最小值为；
（2）设C（0，y），
因为，则（0，y）＝（a，﹣1）+（2，b）＝（a+2，b﹣1），
所以a+2＝0，y＝b﹣1，
则a＝﹣2，
又，
所以，可得b＝2a＝﹣4，则y＝﹣5，
所以，，
故＝，
所以与的夹角为arccos．
21．（2021春•浦东新区校级期末）设、是两个不共线的非零向量（t∈R）．
（1）记＝，＝t，＝（+），那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线？
（2）若||＝||＝1且与夹角为120°，那么实数x为何值时，|+x|的值最小？
【解答】解：（1）∵A、B、C三点共线，∴＝λ，∴﹣+t＝λ（﹣+）＝﹣λ+λ，
∴，解得 t＝．
（2）∵||＝||＝1，＜，＞＝120°，∴＝﹣，
∴|+x|2＝||2+x2||2﹣2x•＝1+x2+x＝（x﹣）2+≥，
∴|﹣x|的最小值为，此时x＝．
一十一．数量积判断两个平面向量的垂直关系（共1小题）
22．（2021春•虹口区校级期末）已知平面向量，．
（1）当k为何值时，与垂直；
（2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1），，且与垂直，
∴，解得；
（2），且与的夹角为锐角，
∴，且与不共线，
∴，解得且λ≠0，
∴λ的取值范围为．
一十二．复数的代数表示法及其几何意义（共3小题）
23．（2021春•徐汇区期末）已知复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣3m+2）i，其中m为实数，i为虚数单位．
（1）m为何值时，z是纯虚数；
（2）若复数z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵z是纯虚数，
∴，解得m＝﹣3．
（2）∵z对应的点在第二象限，
∴，解得﹣3＜m＜﹣1，
∴m的取值范围为（﹣3，﹣1）．
24．（2021春•松江区期末）已知复数z1＝a+2+（a2﹣3）i，z2＝2﹣（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．
（1）若复数z1﹣在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m的值．
【解答】解：（1）∵z2＝2﹣（3a+1）i，∴＝2+（3a+1）i，
z1﹣＝a+2+（a2﹣3）i﹣（2+（3a+1）i）＝a+（a2﹣3a﹣4）i，
又∵复数z1﹣在复平面上对应点落在第一象限，
∴a＞0且a2﹣3a﹣4＞0，
解得a＞4，即实数a的取值范围为（4，+∞），
（2）∵虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，∴虚数也是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，
则，解得m＝13．
25．（2021春•宝塔区校级期末）已知复数z满足z+4为纯虚数，且为实数；若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），则z+4＝（x+4）+yi，
∵z+4为纯虚数，∴x+4＝0且y≠0，即x＝﹣4，y≠0．
又＝＝∈R，
∴2y﹣4＝0，即y＝2．
∴z＝﹣4+2i，
∵m为实数，且（z+mi）2＝[﹣4+（m+2）i]2＝（12﹣4m﹣m2）﹣8（m+2）i，
由题意，，解得﹣2＜m＜2．
∴实数m的取值范围为（﹣2，2）．