2022年湖北省荆门市中考数学适应性试卷（含解析）

2022年湖北省荆门市中考数学适应性试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 圆

3. 一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是

A.
B.
C.
D.

4. 太阳与地球的平均距离大约是千米，其中数用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

5. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，直线，三角尺的直角顶点在直线上，且三角尺的直角被直线平分，若，则下列结论错误的是

A.
B.
C.
D.

7. 九章算术中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为，问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为，乙的钱数为，根据题意，可列方程组为

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，点、、、均在格点上，下列结论正确的是

A.
B. ≌
C.
D.
 

9. 如图，已知四边形是的内接四边形，，，，，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 已知抛物线的对称轴是直线，与的部分对应值如表：

当时，有下列个结论：；；若，则；抛物线与轴的交点横坐标分别为和；关于的方程的正实数根在与之间．其中一定正确的结论有

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共6小题，共18分）

11. 计算：______．
12. 年北京冬奥会的单板形技巧资格赛中，谷爱凌滑完后，六名裁判的评分分别为：，，，，，则这组数据的中位数为______．
13. 若不等式组的解集是，则的取值范围是______．
14. 如图，菱形的边长为，，将该菱形沿方向平移得到四边形，交于点，则点到的距离为______ ．
15. 如图，边长为的正方形中心与半径为的的圆心重合，、分别是、的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是______结果保留
     

16. 观察理解：当，时，，，由此可结论：即对于正数，，当且仅当时，代数式取得最小值．
    问题解决：如图，已知点是反比例函数图象上一动点，，则的面积的最小值为______．

三．计算题（本题共1小题，共8分）

17. 先化简，再求值：，其中．

四．解答题（本题共7小题，共64分）

18. 已知：如图，，，，垂足分别为、，、相交于点，求证：．
     

19. 为庆祝中国共产党成立周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为、、、四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．

根据图表信息，回答下列问题：
表中 ______ ；扇形统计图中，等级所占的百分比是______ ；等级对应的扇形圆心角为______ 度；若全校共有名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为等级的学生共有______ 人；
若分以上的学生有人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有人被选中的概率．

20. 已知关于的一元二次方程．
    求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
    若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
21. 如图，在某海域内有三个港口、、港口在港口北偏东方向上，港口在港口北偏西方向上．一艘船以每小时海里的速度沿北偏东的方向驶离港口小时后到达点位置处，测得港口在处的南偏东方向上，此时发现船舱漏水，应立即向最近的港口停靠．
    试判断此时哪个港口离处最近，说明理由，并求出最近距离．
    若海水以每小时吨的速度渗入船内，当船舱渗入的海水总量超过吨时，船将沉入海中．若船上的抽水机每小时可将吨的海水排出船外，问此船在处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没要求计算结果保留根号？

22. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，的切线与的延长线交于点，连接．
    求证：；
    若，，求的长和的值．
    
     

23. 六月，正值杨梅成熟上市．某杨梅基地的销售员记录了天的销售数量和销售单价，其中销售单价元千克与时间第天为整数的数量关系是：，日销量千克与时间第天为整数的部分对应值如表所示：

从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画随的变化规律，请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围；
在这天中，哪一天销售额达到最大？最大销售额是多少元？
该杨梅基地决定在销售的前天，每销售千克杨梅就捐赠元给“公益项目”，且希望每天的销售额不低于元，求的最大值．

24. 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．
    求抛物线的解析式；
    如图，点在第一象限的抛物线上，且，求点的坐标；在线段上确定一点，使平分四边形的面积，求点的坐标；
    点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，设的外心为，当的值最大时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：的相反数是．
故选B．
根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解．
此题考查了相反数的概念．求一个数的相反数，只需在它的前面加“”号．
 

2.【答案】

【解析】解：只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B.只是中心对称图形，不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念以及等边三角形、平行四边形、矩形、圆的性质解答．
掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后重合．
 

3.【答案】

【解析】解：从左边看，是一个正方形，正方形的中间有一条横向的虚线．
故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：，
故选：．
对于大于的数，可以写成的形式，其中，为正整数，的值比原数的位数少．
本题考查了科学记数法，解题的关键是确定和的值．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法运算法则．
根据整式的运算法则逐一计算即可得．
【解答】
解： 、 、 不能合并，此选项错误；
B 、 ，此选项错误；
C 、 ，此选项正确；
D 、 ，此选项错误；
故选： ．   

6.【答案】

【解析】解：如图，

三角尺的直角被直线平分，
，
，
，
，，
，
故选项A、、C正确，
故选：．
利用平行线的性质、直角的定义、三角形外角的性质即可解决问题．
本题考查平行线的性质、三角形外角的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
甲的钱数为，乙的钱数为，根据“若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

8.【答案】

【解析】解：，，
A.由勾股定理得：，，，
所以，
是直角三角形，，
，，
，
，
即，故本选项不符合题意；
B.斜边斜边，
和不全等，故本选项不符合题意；
C.，，
，故本选项不符合题意；
D.，，
，
即，故本选项符合题意；
故选：．
求出，，根据勾股定理求出、、的长，再逐个判断即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，全等三角形的判定等知识点，能根据勾股定理求出、、的长是解此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：延长、，它们相交于点，如图，
四边形是的内接四边形，
，，
，，
，，
在中，，
，，
，
在中，，
，
．
故选：．
延长、，它们相交于点，如图，先利用圆内接四边形的性质得到，，再利用含度的直角三角形三边的关系，在中求出，，则，接着在中求出，然后计算即可．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了含度的直角三角形三边的关系．
 

10.【答案】

【解析】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，时，函数值，
抛物线的开口向上，
，
，
，所以正确；
时，，
，
当时，，
，
，
，所以正确；
抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
关于对称轴的对称点为，抛物线过点，，
，所以正确；
，
此抛物线经过点，，
抛物线与轴的交点横坐标分别为和，所以正确；
时，，
时，，
，

关于的方程的正实数根在与之间，所以正确．
故选：．
先利用抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，时，可判断，由对称轴方程得到，则可对进行判断；由于当时，，则，所以，则可对进行判断；利用抛物线的对称性和增减性，则可对进行判断；利用经过点，，可对进行判断；由于时，，时，，则可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 

11.【答案】

【解析】解：


．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：将，，，，，按照从小到大排列是：，，，，，，
故这组数据的中位数是，
故答案为：．
先将题目中的数据按照从小到大的顺序排列，然后找出最中间的两个数，求这两个数的平均数，即可得到这组数据的中位数．
本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的求法，注意要先排序．
 

13.【答案】

【解析】解：由，得：，
由，得：，
不等式组的解集为，
，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：如图，连接，过点作于点，

四边形是菱形，
，，
，
三角形是等边三角形，
菱形的边长为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，过点作于点，根据菱形的性质可以证明三角形是等边三角形，根据平移的性质可得，可得，，解得，再利用度角所对直角边等于斜边的一半即可求出结论。
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，平移的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质。
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了圆的面积的计算，正方形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
延长 ， 交 于 ， ，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：延长 ， 交 于 ， ，

则图中阴影部分的面积
．
故答案为： ．   

16.【答案】

【解析】解：过点、分别作轴，轴，垂足分别为、，
设点，则，，，，
点，即，，
，



，
当时，的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
设点，用代数式表示的面积，利用所提供的解法求出面积的最小值即可．
本题考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键．
 

17.【答案】解：原式，
，
．
，
原式．

【解析】利用平方差公式、通分将原式化简成，代入即可求出结论．
本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
与是直角三角形，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
．

【解析】先根据，可得出与是直角三角形，再由，可得出，由可知≌，由全等三角形的性质可知，，结合即可得出结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意判断出≌，再根据全等三角形的对应相等进行解答是解答此题的关键．
 

19.【答案】，，，
分以上的学生有人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，甲、乙两人至少有人被选中的结果有种，
甲、乙两人至少有人被选中的概率为．

【解析】解：抽取的学生人数为：人，
，等级所占的百分比是，等级对应的扇形圆心角为：，
估计成绩为等级的学生共有：人，
故答案为：，，，；

由等级的人数和所对应的圆心角的度数求出抽取的学生人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，甲、乙两人至少有人被选中的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】证明：，


，
无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根；
解：根据根与系数的关系得，，
，
，
，
，
方程化为：，
解得，，
经检验，，是原方程的解，
所以的值为或．

【解析】计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
先利用根与系数的关系得，，再把变形得到，所以，然后解方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式的值．
 

21.【答案】解：连接、、、，过作于点．
由已知得，，海里，
从而海里．
港口在处的南偏东方向上，
在等腰中，海里，
．
是，
．
综上，可得港口离点位置最近，为海里．

设由驶向港口船的速度为每小时海里，
则据题意有，
解不等式，得海里．
答：此船应以速度至少不低于每小时海里，才能保证船在抵达港口前不会沉没．

【解析】作辅助线连接、、、，过作于点，将实际问题转化为几何问题，分别求得、、的长，比较得出最近的港口．
根据题意“每小时渗入船内的海水总量每小时排出的海水总量船航行的时间”列出不等关系式，然后再解不等式即可求得结果．
本题考查了解直角三角形的应用即方向角问题，根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障．可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决．
 

22.【答案】证明：连接，

是直径，
，
，
，，
，
；
解：连接，

是的切线，
，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
，，
∽，
，
，
，
，
．

【解析】连接，根据等腰三角形的性质和圆周角定理可证明结论；
连接，利用，得，设，则，利用勾股定理列方程，求得，的长，再根据∽，求出的长，由∽，求出的长，从而解决问题．
本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用相似三角形的判定与性质求线段长度是解题的关键．
 

23.【答案】解：与是一次函数关系，
当时，设，把和代入可得，
，
解得，
当时，；
当时，设，把和代入可得，
，
解得，
当时，；
答：与的关系式为；
设销售额为元，
当时，．
，对称轴为，在对称轴右侧随的增大而减小，
当时，最大为；
当时，．
，对称轴为，在对称轴右侧随的增大而减小，
当时，最大为；
当时，，
是整数，，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值为，
当时，，
，
随的增大而减小，
时，有最大值为，
综上，在这天中，第天销售额达到最大，最大销售额是元；
由同理得：当时，
，
对称轴是：，
，
，
又二次项系数是，
随的增大而减小，
当时，在时取得最小值，
令，
解得：
的最大值为．

【解析】从表格中的数据上看，是成一次函数，且也是分段函数，同理可得与的函数关系式；
根据销售额销量销售单价，列函数关系式，并配方可得结论；
写出销售额的二次函数关系式，判断出对称轴的位置，从而可得当时，函数取得最小值，令其，求出的值，即为符合题意的最大值．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
 

24.【答案】解：顶点的坐标为，
设，
将代入，
解得，
；
点，
则，而，
解得：或，
点在第一象限的抛物线上，
点；
顶点的坐标为．
直线的解析式为，
，
点，，
直线的解析式为，
，
，
，




，
点在线段上，平分四边形的面积，
设，
，
，解得，
点的坐标为；

如图，作的外心，作轴，则，

，
在的垂直平分线上运动，
依题意，当最大时，即最大时，
是的外心，
，即当最大时，最大，
，
，
则当取得最小值时，最大，
，
即当直线时，取得最小值，此时，
，
在中，，
，
根据对称性，则存在，
综上所述，或

【解析】设，再将代入，即可求解；
由可得点，可得，根据即可求解；
作的外心，作轴，则，进而可得在的垂直平分线上运动，根据题意当最大转化为求当取得最小值时，最大，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求得，运用勾股定理求得，即可求得点的坐标，根据对称性求得另一个坐标．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的外心，垂径定理，三角函数定义，抛物线与三角形面积计算，抛物线与圆的综合等，运用转化思想是解题的关键．