2022年浙江省丽水市中考数学试卷（含解析）

2022年浙江省丽水市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 实数的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图是运动会领奖台，它的主视图是

A.
B.
C.
D.
 

3. 老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，选中甲同学的概率是

A.  B.  C.  D.

4. 计算的正确结果是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是

A.  B.  C.  D.

6. 某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的倍，购买足球用了元，购买篮球用了元，篮球单价比足球贵元．根据题意可列方程，则方程中表示

A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量

7. 如图，在中，，，分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是

A.
B.
C.
D.

8. 已知电灯电路两端的电压为，通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过设选用灯泡的电阻为，下列说法正确的是

A. 至少 B. 至多 C. 至少 D. 至多

9. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知菱形的边长为，是的中点，平分交于点，交于点若，则的长是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 分解因式：______．
12. 在植树节当天，某班的四个绿化小组植树的棵数如下：，，，则这组数据的平均数是______．
13. 不等式的解集是______．
14. 三个能够重合的正六边形的位置如图．已知点的坐标是，则点的坐标是______．

15. 一副三角板按图放置，是边的中点，如图，将绕点顺时针旋转，与相交于点，则的长是______．

16. 如图，标号为，，，的矩形不重叠地围成矩形已知和能够重合，和能够重合，这四个矩形的面积都是，，且．
    若，是整数，则的长是______；
    若代数式的值为零，则的值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 某校为了解学生在“五一”小长假期间参与家务劳动的时间小时，随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在，，，，五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题：
    
    求所抽取的学生总人数；
    若该校共有学生人，请估算该校学生参与家务劳动的时间满足的人数；
    请你根据调查结果，对该校学生参与家务劳动时间的现状作简短评述．
20. 如图，在的方格纸中，点，，均在格点上，试按要求画出相应格点图形．
    
    如图，作一条线段，使它是向右平移一格后的图形；
    如图，作一个轴对称图形，使和是它的两条边；
    如图，作一个与相似的三角形，相似比不等于．
21. 因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是两车离甲地的路程与时间的函数图象如图．
    求出的值；
    求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式；
    问轿车比货车早多少时间到达乙地？

22. 如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
    求证：≌；
    若，，求的长．

23. 如图，已知点，在二次函数的图象上，且．
    若二次函数的图象经过点．
    求这个二次函数的表达式；
    若，求顶点到的距离；
    当时，二次函数的最大值与最小值的差为，点，在对称轴的异侧，求的取值范围．
     

24. 如图，以为直径的与相切于点，点在左侧圆弧上，弦交于点，连结，点关于的对称点为，直线交于点，交于点．
    求证：；
    当点在上，连结交于点，若，求的值；
    当点在射线上，，以点，，，为顶点的四边形中有一组对边平行时，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：实数的相反数是．
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：从正面看，可得如下图形：

故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
 

3.【答案】

【解析】解：老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳动基地浇水，事件的等可能性有种，选中甲同学的可能性有一种，
选中甲同学的概率是，
故选：．
利用事件概率的意义解答即可．
本题主要考查了概率的公式，熟练应用概率的公式是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：，
故选：．
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
则，即，
解得：，
故选：．
过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：设篮球的数量为个，足球的数量是个．
根据题意可得：，
故选：．
设篮球的数量为个，足球的数量是个，列出分式方程解答即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，得到相应的关系式是解决本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：、分别为、中点，
，
、分别为、中点，
，
四边形的周长为：，
故选：．
根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答即可．
本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：电压一定时，电流强度与灯泡的电阻为成反比例，
．
已知电灯电路两端的电压为，
．
通过灯泡的电流强度的最大限度不得超过，
，
．
故选：．
利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．
本题主要考查了反比例函数的应用，利用已知条件列出不等式是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：连接，，和相交于点，则为圆心，如图所示，
由题意可得，，，，
，，
，，
，
，
优弧所对的圆心角为，
改建后门洞的圆弧长是：，
故选：．
先作出合适的辅助线，然后根据题意和图形，可以求得优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径，然后根据弧长公式计算即可．
本题考查弧长公式、勾股定理、圆周角定理、矩形的性质，解答本题的关键是求出优弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，

菱形的边长为，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
是的垂直平分线，
，
平分，
，
，
，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
，
，
解得，
则的长是．
故选：．
过点作于点，过点作于点，根据，可得，所以，然后证明是的垂直平分线，可得，设，根据，进而可以解决问题．
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
 

11.【答案】

【解析】解：．
故答案为：．
观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
提公因式法的直接应用，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．
 

12.【答案】

【解析】解：这组数据的平均数是．
故答案为：．
算术平均数：对于个数，，，，则就叫做这个数的算术平均数．
本题考查了算术平均数，掌握平均数的计算方法是解答本题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
先移项，再合并同类项即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：因为点和点关于原点对称，点的坐标是，
所以点的坐标是，
故答案为：．
根据正六边形的性质可得点和点关于原点对称，进而可以解决问题．
本题考查了正六边形的性质，中心对称图形，解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，设与交于点，

是边的中点，如图，
．
将绕点顺时针旋转，
，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
设与交于点，根据旋转的性质证明，可得，利用含度角的直角三角形可得，，然后证明的等腰直角三角形，可得，进而可以解决问题．
本题考查了旋转的性质，含度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：由图可知：；
故答案为：；
，
，，
负值舍，
四个矩形的面积都是，，
，，
则．
故答案为：．
直接根据线段的差可得结论；
先把当常数解方程：，负值舍，根据四个矩形的面积都是表示小矩形的宽，最后计算面积的比，化简后整体代入即可解答．
本题主要考查了矩形的性质，矩形的面积，并结合方程进行解答，正确通过解关于的方程表示与的关系是解本题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】分别根据算术平方根的定义，任何非零数的零次幂等于以及负整数指数幂的意义计算即可．
本题考查了实数的运算，掌握相关定义与运算法则是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：

，
当时，原式．

【解析】先根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则化简，再把代入计算即可．
本题考查了整式的混合运算，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：人，
故所抽取的学生总人数为人；
人，
答：估算该校学生参与家务劳动的时间满足的人数为人；
由题意可知，该校学生在“五一”小长假期间参与家务劳动时间在占最多数，中位数位于这一组答案不唯一．

【解析】用类别的人数除以类别所占百分比即可；
用乘所占比例即可；
根据统计图的数据解答即可．
本题主要考查了用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图的综合应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
 

20.【答案】解：如图，为所作；
如图，
如图，为所作．
 

【解析】把点、向作平移个单位得到；
作点关于的对称点即可；
延长到使，延长到点使，则满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了相似三角形的判定与平移变换．
 

21.【答案】解：货车的速度是，
；
由图象可得点，，
设直线的表达式为，把，代人得：
，
解得，
；
由图象可得货车走完全程需要，
货车到达乙地需，
，，
解得，
两车相差时间为，
货车还需要才能到达，
即轿车比货车早到达乙地．

【解析】根据路程、时间、速度三者之间的关系即可解决问题；
设直线的表达式为，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可解决问题；
根据时间路程速度分别求出货车与小轿车到达终点的时间，即可解决问题．
本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求函数解析式，路程、时间、速度三者之间的关系，从图中准确获取信息是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
由折叠得：，，，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：如图，过点作于，

，，
在中，由勾股定理得：，
设，
由知：，
，
，
由折叠得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
．

【解析】根据证明两个三角形全等即可；
如图，过点作于，由勾股定理计算，设，在中，由勾股定理得：，列方程可解答．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题关键．
 

23.【答案】解：二次函数经过，
，
，
二次函数的解析式为；

，
，关于抛物线的对称轴对称，
对称轴是直线，且，
，，
当时，，
当时，顶点到的距离；

设抛物线与轴的交点为，．
时，二次函数的最大值与最小值的差为，点，在对称轴的异侧，
又二次函数的最小值为，
或时，的值为，点，点在轴上或在轴的下方，
，
，
令，可得，
，，
，
，
又，
．

【解析】把点代入二次函数的解析式求出即可；
判断出，关于抛物线的对称轴对称，求出点的纵坐标，可得结论；
设抛物线与轴的交点为，判断出，把问题转化为不等式解决即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】证明：是的切线，
，
，
，关于对称，，
点在上，，
，
，，
；

解：是直径，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；

解：如图中，当时，连接，，设交于点，设，．

，
，
，
，，
，
，
∽，
：：，
，
，
，
，
，
，
，
由可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
或舍去，
，
．

【解析】根据等角的余角相等证明即可；
证明，推出，可得结论；
如图中，当时，连接，，设交于点，设，利用相似三角形的性质，勾股定理，构建方程组求解即可．
本题属于圆综合题，考查了切线的性质，垂径定理，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．