2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B． C．，或 D．，或

2．（5分）已知复数为虚数单位），则　　

A．1 B． C． D．2

3．（5分）已知向量，，若，，则　　

A． B．3 C． D．

4．（5分）4名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是　　

A． B． C．12 D．24

5．（5分）已知数列的前项和，若，则　　

A．8 B．7 C．6 D．5

6．（5分）已知：“，”， ：“的图象不过第一象限”，则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）若，，则下列式子成立的是　　

A． B． 

C． D．

8．（5分）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）若是双曲线上一点，的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是　　

A． B．渐近线方程为 

C．的最小值是1 D．焦点到渐近线的距离是

10．（5分）已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为，双曲正弦函数为．则下列结论中正确的是　　

A． B． 

C． D．是奇函数

11．（5分）设函数的图象为曲线，则下列结论中正确的是　　

A．是曲线的一个对称中心 

B．若，且，则的最小值为 

C．将曲线向右平移个单位长度，与曲线重合 

D．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合

12．（5分）如图，菱形边长为2，，为边的中点．将沿折起，使到，且平面平面，连接，．则下列结论中正确的是　　

A． 

B．四面体的外接球表面积为 

C．与所成角的余弦值为 

D．直线与平面所成角的正弦值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）曲线在处的切线方程为　　．

14．（5分）设抛物线的焦点为，抛物线上一点到的距离为6，则　　．

15．（5分）中国工程院院士袁隆平，被誉为“世界杂交水稻之父”．他发明的“三系法”籼型杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产760公斤，到第二期亩产810公斤，第三期亩产860公斤，第四期亩产1030公斤．将第一期视为第二期的父代，第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩 　　公斤．

附：用最小二乘法求得线性回归方程为，其中，．

16．（5分）英国数学家泰勒发现了公式：，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明．．

其发现过程简单分析如下：

当时，有，

容易看出方程的所有解为：，，，，，

于是方程可写成：，

改写成：．

比较方程与方程中项的系数，即可得　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知的内角，，的对边分别为，，，．

（1）求角；

（2）若，，求的面积．

18．（12分）已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，满足，，是与的等差中项．

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，是数列的前项和，求．

19．（12分）如图，在五面体中，面为矩形，且与面垂直，，，．

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

20．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图．

（1）求，，的值；

（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中已计算得．如果产品的质量指标值位于区间，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记为抽取的20件产品所获得的总利润，求．

附：，，．

21．（12分）已知椭圆的长轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上的点，的直线与，轴的交点分别为，，且，过原点的直线与平行，且与交于，两点，求面积的最大值．

22．（12分）已知函数，，是自然对数的底数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围．

2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B． C．，或 D．，或

【解答】解：，，

．

故选：．

2．（5分）已知复数为虚数单位），则　　

A．1 B． C． D．2

【解答】解：，

．

故选：．

3．（5分）已知向量，，若，，则　　

A． B．3 C． D．

【解答】解：向量，，，，

，

解得或，

．

故选：．

4．（5分）4名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是　　

A． B． C．12 D．24

【解答】解：根据题意，每名同学必须且只能从3个课外知识讲座随机选择其中的一个，则每个同学有3种选法，

则4名同学有种选，

故选：．

5．（5分）已知数列的前项和，若，则　　

A．8 B．7 C．6 D．5

【解答】解：由，可得：，

两式相减整理得：，，

又当时，有，也适合上式，

所以，

由，可得：，解之得：，

又，

可得．

故选：．

6．（5分）已知：“，”， ：“的图象不过第一象限”，则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：：“的图象不过第一象限”，则，

：“，”，

则是的充分不必要条件，

故选：．

7．（5分）若，，则下列式子成立的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：，且，，

，，，，，故错，

，，

，故错，

，

，故对，

令，，则，，故错，

故选：．

8．（5分）设，若存在正实数，使得不等式成立，则的最大值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

令．

则，

由与互为反函数，可得图象关于直线对称，

所以有解，

则，即，

可得，求导得，

可得时，函数递减；时，函数递增，

则时，取得最大值为，

即，

所以，

所以，

即的最大值为．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）若是双曲线上一点，的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是　　

A． B．渐近线方程为 

C．的最小值是1 D．焦点到渐近线的距离是

【解答】解：对于，因为双曲线的一个焦点坐标为，

，，故错；

对于，渐近线方程，故正确；

对于，的最小值是，故正确；

对于，焦点到渐近线的距离是，故正确．

故选：．

10．（5分）已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为，双曲正弦函数为．则下列结论中正确的是　　

A． B． 

C． D．是奇函数

【解答】解：对于，，即选项正确；

对于，，即选项错误；

对于，，

，即选项正确；

对于，，为偶函数，即选项错误．

故选：．

11．（5分）设函数的图象为曲线，则下列结论中正确的是　　

A．是曲线的一个对称中心 

B．若，且，则的最小值为 

C．将曲线向右平移个单位长度，与曲线重合 

D．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合

【解答】解：函数的图象为曲线，

令，求得，为最小值，故的图象关于直线对称，故错误；

若，且，则的最小值，故正确；

将曲线向右平移个单位长度，可得的图象，故错误；

将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象，与曲线重合，故正确，

故选：．

12．（5分）如图，菱形边长为2，，为边的中点．将沿折起，使到，且平面平面，连接，．则下列结论中正确的是　　

A． 

B．四面体的外接球表面积为 

C．与所成角的余弦值为 

D．直线与平面所成角的正弦值为

【解答】解：将沿折起，使到，且平面平面，连接，

，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

对于，，0，，，，，，0，， 2，，，

，，，，，，

，与不垂直，故错误；

对于，取中点，连接，

，，

过作平面，四面体的外接球球心在直线上，

设，由，得，解得，，

四面体的外接球表面积为：，故正确；

对于，，，，，，，

设与所成角的为，

则，

与所成角的余弦值为，故正确；

对于，，0，，，，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

直线与平面所成角的正弦值为：

，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）曲线在处的切线方程为　　．

【解答】解：求导数可得，

时，

又

曲线在处的切线方程为，即

故答案为：．

14．（5分）设抛物线的焦点为，抛物线上一点到的距离为6，则　　．

【解答】解：抛物线；的焦点为，，准线为，

由抛物线的定义可得，，

解得，即有抛物线的方程为，

将代入抛物线方程，可得．

故答案为：．

15．（5分）中国工程院院士袁隆平，被誉为“世界杂交水稻之父”．他发明的“三系法”籼型杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产760公斤，到第二期亩产810公斤，第三期亩产860公斤，第四期亩产1030公斤．将第一期视为第二期的父代，第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩 　1384　公斤．

附：用最小二乘法求得线性回归方程为，其中，．

【解答】解：设期数为，2，，亩产为，2，，

则，，

所以中，

则，

则线性回归方程为，

当时，，

所以预测第五期的产量为每亩1080公斤．

故答案为：1384．

16．（5分）英国数学家泰勒发现了公式：，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明．．

其发现过程简单分析如下：

当时，有，

容易看出方程的所有解为：，，，，，

于是方程可写成：，

改写成：．

比较方程与方程中项的系数，即可得　　．

【解答】解：方程中项的系数为，

又方程中项的系数为，

由题意可知，，

所以．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知的内角，，的对边分别为，，，．

（1）求角；

（2）若，，求的面积．

【解答】解：（1）因为，

所以可得，

因为，

所以，

因为，

所以．

（2）因为，，，

所以由余弦定理，可得，

解得，

所以．

18．（12分）已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，满足，，是与的等差中项．

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，是数列的前项和，求．

【解答】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，，是与的等差中项，

可得，，，

即，

解得，，，

则；；

（2）因为；

所以数列的前项和，

，

两式相减可得，

．

19．（12分）如图，在五面体中，面为矩形，且与面垂直，，，．

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

【解答】（1）证明：因为面为矩形，则，

又平面，平面，

所以平面，

又平面，平面平面，

所以；

（2）解：由题意，平面平面，平面平面，

又，平面，

所以，

由（1）可知，，又，则，

故，，两两互相垂直，

以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，

则，，

所以，

，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，

故，

设平面的法向量为，

则，则，

令，则，

故，

所以，

故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

20．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图．

（1）求，，的值；

（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中已计算得．如果产品的质量指标值位于区间，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记为抽取的20件产品所获得的总利润，求．

附：，，．

【解答】解：（1）结合频率分布表可以得到：

，解得，，

．

（2）这1000件产品质量指标值的样本平均数为：

．

（3），由（2）知，

，

设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数，

依题意知，，

．

21．（12分）已知椭圆的长轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上的点，的直线与，轴的交点分别为，，且，过原点的直线与平行，且与交于，两点，求面积的最大值．

【解答】解：（1）因为长轴长为4，离心率为，

所以，且，

解得，，

所以，

所以椭圆的方程为．

（2）设直线的方程为，

令，得，即，

令，得，即，，

因为，

所以，，，

所以，即，

联立，得，

设，，，，

所以，，

所以，

点，到直线的距离，

所以

，

因为点，在椭圆上，

所以，即，

代入，得，

令，则，

则，

令，，

，

在上，，单调递增，

在，上，，单调递减，

所以，

所以．

22．（12分）已知函数，，是自然对数的底数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，，

令，得，令，得或，

在，上单调递增，在和，上单调递减．

（2）当时，，得，记，则，

①当时，则，可知在上单调递增，且，不符合题意；

②当时，令，解得，，

由于，故当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

，解得，

由于，故；

③当时，则，此时当时，，故在，上单调递减，

，解得，故；

综上，实数的取值范围为．

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