2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科）

这是一份2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在用反证法证明命题“已知，，且．求证：，中至少有一个小于4”时，假设正确的是　　
A．假设，都不大于4 B．假设，都不小于4
C．假设，都小于4 D．假设，都大于4
2．（5分）如图，复平面内的点对应的复数记为，则对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关．某数学建模小组建立了茶水冷却时间和茶水温度的一组数据，．经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和的值分别是0.98，0.80，0.12，1.36．则拟合效果最好的模型是　　
A．模型① B．模型② C．模型③ D．模型④
[选修4-4：坐标系与参数方程]
4．（5分）将曲线变换为曲线的一个伸缩变换为　　
A． B．
C． D．
[选修4-5：不等式选讲]
5．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
6．（5分）已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的有　　
A． B．
C． D．
7．（5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第年年为第一年）捐赠现金（万元）的数据情况．由表中数据得到了关于的线性回归方程为，预测2021年该商会捐赠现金______万元　　

2
3
4
5

3.5
4
4
4.5
A．4.25 B．5.25 C．5.65 D．4.75
8．（5分）若输出的的值等于26，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是　　

A． B． C． D．
9．（5分）已知正数，满足，则的最小值为　　
A．25 B．24 C．27 D．5
10．（5分）任何一个复数都可以表示成的形式，我们把叫做复数的三角形式．已知，则下列结论正确的是　　
A．的实部为1 B． C． D．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
11．（5分）已知曲线的参数方程为参数，且．若以下曲线中有一个是，则曲线是　　
A．
B．
C．
D．
[选修4-5：不等式选讲]
12．已知，若恒成立，则的最大值为　　
A．3 B．4 C．8 D．9
13．（5分）胡夫金字塔的形状为正四棱锥．1859年，英国作家约翰泰勒在其《大金字塔》一书中提出：埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金比例，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方，如图，即．已知四棱锥底面是边长约为860英尺的正方形，顶点的投影在底面中心，为中点，根据以上条件，的长度（单位：英尺）约为　　

A．347.9 B．512.4 C．611.6 D．695.7
14．（5分）已知，若，则与的大小关系为　　
A． B． C． D．不确定
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
15．（5分）若为方程的一个根，则　　．
16．（5分）从某大学随机选择8名女大学生，其身高和体重数据如表所示：
身高
155
157
165
165
165
170
170
175
体重
43
50
48
57
61
54
59
64
根据表中的数据可得回归直线方程，，这表明女大学生的体重差异有 　　是由身高引起的．
17．（5分）在等差数列中，若，则．类比上述性质，在等比数列中，若，则存在的等式为 　　．
18．（5分）已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为 　　．
三、解答题：本大题共1小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（12分）为复平面内的平行四边形，向量对应的复数为5，对应的复数为，对应的复数为．
（Ⅰ）求点对应的复数；
（Ⅱ）判断、、、四点是否在同一个圆上？并证明你的结论．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
20．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为；直线的倾斜角为，且经过曲线的左顶点．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
（Ⅱ）求曲线的内接矩形的周长的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
21．已知函数．
（Ⅰ）求的最大值，并作出函数的图象；
（Ⅱ）求的解集．

22．（12分）调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，随机调查了一段时间内该医院50名男宝宝和50名女宝宝的出生时间，通过分析数据得到下面等高条形图：
（Ⅰ）根据所给等高条形图数据，完成下面的列联表，并通过图形和数据直观判断婴儿性别与出生时间是否有关？

晚上
白天
合计
男婴



女婴



合计



（Ⅱ）根据（Ⅰ）中列联表，能否在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关？

[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（10分）平面直角坐标系中，射线，曲线的参数方程为为参数）；以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出射线的极坐标方程、曲线的普通方程；
（Ⅱ）已知射线与交于点，与交于点异于点，求的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）是否存在实数使得的解集中包含，．若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
25．（12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：







25
2.89
646
168
422688
48.48
70308
表中；；；．
（Ⅰ）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所选择的模型，求出关于的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为时，产卵数的预报值．
参考数据：，，．

26．（12分）开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，”波利亚也曾说过：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中，我们知道，平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体等．
如图，如果四面体中棱，，两两垂直，那么称四面体为直角四面体．请类比直角三角形表示斜边上的高）中的性质给出直角四面体中的两个性质，并给出证明．


直角三角形
直角四面体
条件

，，
结论1


结论2



2020-2021学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）在用反证法证明命题“已知，，且．求证：，中至少有一个小于4”时，假设正确的是　　
A．假设，都不大于4 B．假设，都不小于4
C．假设，都小于4 D．假设，都大于4
【解答】解：因为反证法假设的是原命题的反面成立，
原命题要证的是“，中至少有一个小于4”，
所以用反证法应该假设“假设，都不小于4”．
故选：．
2．（5分）如图，复平面内的点对应的复数记为，则对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：由图可知，，对应的点，位于第二象限．
故选：．
3．（5分）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关．某数学建模小组建立了茶水冷却时间和茶水温度的一组数据，．经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和的值分别是0.98，0.80，0.12，1.36．则拟合效果最好的模型是　　
A．模型① B．模型② C．模型③ D．模型④
【解答】解：对于回归模型，残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好，所以拟合效果最好的模型是③．
故选：．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
4．（5分）将曲线变换为曲线的一个伸缩变换为　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设变换间的关系为：，代入曲线得到，整理得，
所以，解得，
故选：．
[选修4-5：不等式选讲]
5．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，的最小值为3，
不等式的解集为空集，
不等式恒成立，
，
，，
实数的取值范围为，
故选：．
6．（5分）已知糖水中含有糖，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的有　　
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，糖水中有糖，此时糖水的浓度为，
若再添糖，则糖水的浓度为，
又糖水变甜了，说明浓度变大了，即，
故选：．
7．（5分）“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．如表记录了第年年为第一年）捐赠现金（万元）的数据情况．由表中数据得到了关于的线性回归方程为，预测2021年该商会捐赠现金______万元　　

2
3
4
5

3.5
4
4
4.5
A．4.25 B．5.25 C．5.65 D．4.75
【解答】解：，
因为即：，解得，
所以回归方程为，
2021年为第6年，所以当时，．
故选：．
8．（5分）若输出的的值等于26，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是　　

A． B． C． D．
【解答】解：模拟程序运行，
，，不满足条件，执行循环，
，，不满足条件，执行循环，
，，不满足条件，执行循环，
，，不满足条件，执行循环，
，，满足条件，推出循环，输出，
判断框内应填写的条件位，
故选：．
9．（5分）已知正数，满足，则的最小值为　　
A．25 B．24 C．27 D．5
【解答】解：由，得，，
，
当且仅当，即时，取最小值27．
故选：．
10．（5分）任何一个复数都可以表示成的形式，我们把叫做复数的三角形式．已知，则下列结论正确的是　　
A．的实部为1 B． C． D．
【解答】解：，
，其实部为不为1，错；
，对；
，错；
， 错．
故选：．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
11．（5分）已知曲线的参数方程为参数，且．若以下曲线中有一个是，则曲线是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：曲线的参数方程为参数，且，
可得，
故选：．
[选修4-5：不等式选讲]
12．已知，若恒成立，则的最大值为　　
A．3 B．4 C．8 D．9
【解答】解：由，知，，，
由，得，
又，
，当且仅当，
即时，取得最小值9，
，的最大值为9．
故选：．
13．（5分）胡夫金字塔的形状为正四棱锥．1859年，英国作家约翰泰勒在其《大金字塔》一书中提出：埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金比例，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方，如图，即．已知四棱锥底面是边长约为860英尺的正方形，顶点的投影在底面中心，为中点，根据以上条件，的长度（单位：英尺）约为　　

A．347.9 B．512.4 C．611.6 D．695.7
【解答】解：，由题意，
所以．
故选：．
14．（5分）已知，若，则与的大小关系为　　
A． B． C． D．不确定
【解答】解：设，则，在上单调递增，在上单调递减，
，，，，，
，又在上单调递增，
，，，
故选：．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
15．（5分）若为方程的一个根，则　10　．
【解答】解：因为为方程的一个根，
所以也是方程的根，
则有，
所以．
故答案为：10．
16．（5分）从某大学随机选择8名女大学生，其身高和体重数据如表所示：
身高
155
157
165
165
165
170
170
175
体重
43
50
48
57
61
54
59
64
根据表中的数据可得回归直线方程，，这表明女大学生的体重差异有 　　是由身高引起的．
【解答】解：因为，所以女大学生的体重差异大约有是由身高引起的．
故答案为．
17．（5分）在等差数列中，若，则．类比上述性质，在等比数列中，若，则存在的等式为 　　．
【解答】解：在等差数列中，若，则．
类比上述性质，在等比数列中，若，
则存在的等式为：．
故答案为：．
18．（5分）已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为 　　．
【解答】解：因为，
所以，
所以函数的图象关于对称，
若函数有五个不同的零点，不妨设，，，，，
则，，，
则，
解得，
解得，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
三、解答题：本大题共1小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（12分）为复平面内的平行四边形，向量对应的复数为5，对应的复数为，对应的复数为．
（Ⅰ）求点对应的复数；
（Ⅱ）判断、、、四点是否在同一个圆上？并证明你的结论．
【解答】解：（1）设，
由题意知，，，，
由，得，，，得，，，
则点对应的复数；
（2）由，得，即．四边形为矩形、、、四点共圆．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
20．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为；直线的倾斜角为，且经过曲线的左顶点．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
（Ⅱ）求曲线的内接矩形的周长的最大值．
【解答】解：（1）因为曲线的极坐标方程为．
将，，代入上式，得．
所以曲线的直角坐标方程为；
又曲线为椭圆，其左顶点坐标为，
直线的参数方程为：为参数）．
（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为，
椭圆的内接矩形的周长为：（其中，．
椭圆的内接矩形的周长的最大值为．
[选修4-5：不等式选讲]
21．已知函数．
（Ⅰ）求的最大值，并作出函数的图象；
（Ⅱ）求的解集．

【解答】解：（Ⅰ）依题意，，
故当时，；
函数的图象如图所示：

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，利用图象法，直线与的图像相交于，
由，解得：，
故当时，直线在图象的上方，
即，故不等式的解集为，．
22．（12分）调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，随机调查了一段时间内该医院50名男宝宝和50名女宝宝的出生时间，通过分析数据得到下面等高条形图：
（Ⅰ）根据所给等高条形图数据，完成下面的列联表，并通过图形和数据直观判断婴儿性别与出生时间是否有关？

晚上
白天
合计
男婴



女婴



合计



（Ⅱ）根据（Ⅰ）中列联表，能否在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关？

【解答】解：（Ⅰ）根据所给等高条形图数据，完成列联表如下：

晚上
白天
合计
男婴
10
40
50
女婴
20
30
50
合计
30
70
100
根据等高条形图，在男婴样本中白天出生的频率要高于女婴样本中白天出生的频率；
根据列联表，男婴样本中白天出生的频率为，女婴样本中白天出生的频率为．
因此可以直观得到结论：婴儿的性别和出生时间有关系（二者选其一即可给分）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中列联表，计算，
所以能在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别和出生的时间有关．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（10分）平面直角坐标系中，射线，曲线的参数方程为为参数）；以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出射线的极坐标方程、曲线的普通方程；
（Ⅱ）已知射线与交于点，与交于点异于点，求的值．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，因为射线，转换为极坐标方程为：；
曲线的参数方程为为参数）；可得曲线的普通方程：．
（Ⅱ）曲线的方程为，根据故曲线的极坐标方程为．
设点、对应的极坐标分别为，，，，
联立与，，解得．
联立与，，解得．
故．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）是否存在实数使得的解集中包含，．若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）当时，原不等式可化为，
当时，，解得，
，
当时，，解得，
，
当时，，解得，
，
不等式的解集是．
（2）若存在这样的，使得的解集中包含，，
即当，时，恒成立，
可得，得，得，
解得，
存在这样的，满足使得的解集中包含，．
25．（12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个和温度的8组观测数据，制成图1所示的散点图现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：







25
2.89
646
168
422688
48.48
70308
表中；；；．
（Ⅰ）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所选择的模型，求出关于的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为时，产卵数的预报值．
参考数据：，，．

【解答】解：应该选择模型①．
理由为：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高．故选模型①比较合适．
由知，选用模型①，，用两边取对数，得，
令，与温度可以用线性回归方程来拟合，
则，，，
于是有，
所以产卵数关于温度的回归方程为．
当时，（个，
所以，在气温在时，一个红铃虫的产卵数的预报值为327个．
26．（12分）开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，”波利亚也曾说过：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中，我们知道，平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体等．
如图，如果四面体中棱，，两两垂直，那么称四面体为直角四面体．请类比直角三角形表示斜边上的高）中的性质给出直角四面体中的两个性质，并给出证明．


直角三角形
直角四面体
条件

，，
结论1


结论2


【解答】解：记、、、的面积依次为、、、，
记，，．
结论，
证明：过作，垂足为，连接，
在中，，，
，
．
结论
证明：过作，垂足为，连接，过作，垂足为，设，
，，，
平面，又平面，
，又，，
平面，即为点到平面的距离，
由等体积法可得，
，
．
．

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