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    2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二(下)期末数学试卷

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    这是一份2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二(下)期末数学试卷,共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二(下)期末数学试卷

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

    1.(5分)设全集为,集合,则  

    A B C D

    2.(5分)若复数满足为虚数单位),则所对应的复平面内的点位于复平面的  

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    3.(5分)已知函数的定义域为,则函数的定义域为  

    A B C D

    4.(5分)中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在第三节,且“射”和“御”两门课相邻排课,则“六艺”课程讲座排课顺序共有  

    A12 B24 C36 D48

    5.(5分)2021320日,“沉睡三千年,一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物.为推测文物年代,考古学者通常用碳14测年法推算,碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法年,考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定,检测出碳14的残留量约为初始量的,已知碳14的半衰期(放射性物质质量衰减一半所用的时间)是5730年,以此推算出该文物大致年代是  (参考数据:

    A.公元前1400年到公元前1300 

    B.公元前1300年到公元前1200 

    C.公元前1200年到公元前1100 

    D.公元前1100年到公元前1000

    6.(5分)在平行四边形中,,若,则  

    A B C D

    7.(5分)在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时,总共调查了个学生,其中男女学生各半,男生中表示喜欢该学科,其余表示不喜欢;女生中表示喜欢该学科,其余表示不喜欢.若有把握认为性别与是否喜欢该学科有关,则可以推测的最小值为  

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

    A400 B300 C200 D100

    8.(5分)过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点,其中,圆,若抛物线与圆交于两点,且,则点的横坐标为  

    A2 B3 C4 D5

    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。

    9.(5分)已知数列中,,则下列说法正确的是  

    A B是等比数列 

    C D

    10.(5分)已知函数在区间上恰能取到2次最大值,且最多有4个零点,则下列说法中正确的有  

    A上恰能取到2次最小值 

    B的取值范围为 

    C上一定有极值 

    D上不单调

    11.(5分)已知偶函数满足:,且当时,,则下列说法正确的是  

    A时, 

    B.点图象的一个对称中心 

    C在区间上有10个零点 

    D.对任意,都有

    12.(5分)截角四面体是一种半正八面体,可由四面体经过适当的截角,即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图,将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体,则  

    A.该截角四面体一共有12条棱 

    B.该截角四面体一共有8个面 

    C.该截角四面体的表面积为 

    D.该截角四面体的体积为

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

    13.(5分)某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积,则该圆柱底面半径与高的比值为  

    14.(5分)若的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项为  (用数字作答)

    15.(5分)已知定义域为的函数恒满足,且内单调递减,写出一个满足条件的函数解析式  

    16.(5分)在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮,如果砂轮半径太大,则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多.现有一工件,其截面内表面是一实轴长为4,离心率为的椭圆,在对其内表面进行抛光时,所选用砂轮的半径最大为   

    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    17.(10分)在这两个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答.

    已知的角对边分别为,而且_____

    1)求

    2)求面积的最大值.

    18.(12分)已知等差数列和等比数列满足,

    1)求的通项公式;

    2)若数列满足,求的前项之和

    19.(12分)为做好精准扶贫工作,农科所经实地考察,发现某贫困村的土地适合种植药材,村民可以通过种植药材增加收入,达到脱贫标准.通过大量考察研究得到如下统计数据:药材的收购价格处于上涨趋势,最近五年的价格如表:

    年份

    2016

    2017

    2018

    2019

    2020

    年份编号

    1

    2

    3

    4

    5

    单价(元公斤)

    18

    20

    23

    25

    29

    药材的亩产量在2020年的频率分布直方图如图:

    (Ⅰ)若药材的单价(单位:元公斤)与年份编号间具有线性相关关系,请求出关于的回归直线方程,并估计2021年药材的单价;

    (Ⅱ)利用上述频率分布直方图估计药材的平均亩产量(同组数据以该数据所在区间的中点值为代表);

    (Ⅲ)称亩产量不高于390公斤的田地为“待改良田”,将频率视为概率,现农科所研究员从这个村的地中随机选取3块面积为1亩的田地进行试验,记其中“待改良田”的个数为,求随机变量的数学期望.

    参考公式:回归直线方程,其中:

    20.(12分)如图,是边长为2的等边三角形,四边形为菱形,平面平面

    1)求证:平面

    2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

    21.(12分)已知函数

    1)若,试求曲线在点处的切线方程;

    2)讨论的单调性.

    22.(12分)已知椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为,短轴长为4.动点在双曲线(顶点除外)上运动,直线与椭圆的交点分别为

    (Ⅰ)求椭圆的方程;

    (Ⅱ)证明:为定值,并求出此定值.


    2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二(下)期末数学试卷

    参考答案与试题解析

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

    1.(5分)设全集为,集合,则  

    A B C D

    【解答】解:

    故选:

    2.(5分)若复数满足为虚数单位),则所对应的复平面内的点位于复平面的  

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    【解答】解:因为

    所以

    所以所对应的复平面内的点位于复平面第三象限.

    故选:

    3.(5分)已知函数的定义域为,则函数的定义域为  

    A B C D

    【解答】解:的定义域为

    的定义域为

    ,得,得

    则函数的定义域为

    故选:

    4.(5分)中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在第三节,且“射”和“御”两门课相邻排课,则“六艺”课程讲座排课顺序共有  

    A12 B24 C36 D48

    【解答】解:由题意,“数”排在第三节,则“射”和“御”两门课程相邻时,可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节,有3种,再考虑两者的顺序,有种,

    剩余的3门全排列,安排在剩下的3个位置,有种,

    所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.

    故选:

    5.(5分)2021320日,“沉睡三千年,一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物.为推测文物年代,考古学者通常用碳14测年法推算,碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法年,考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定,检测出碳14的残留量约为初始量的,已知碳14的半衰期(放射性物质质量衰减一半所用的时间)是5730年,以此推算出该文物大致年代是  (参考数据:

    A.公元前1400年到公元前1300 

    B.公元前1300年到公元前1200 

    C.公元前1200年到公元前1100 

    D.公元前1100年到公元前1000

    【解答】解:设样本中碳14初始值为,衰减率为,经过年后,残留量为

    则有

    由碳14的半衰期是5730年,则,即

    所以

    由题意可知,

    所以

    2021年之间的3188年大致是公元前1167年,

    则大致年代为公元前1200年到公元前1100年.

    故选:

    6.(5分)在平行四边形中,,若,则  

    A B C D

    【解答】解:因为

    所以

    所以

    所以

    所以

    故选:

    7.(5分)在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时,总共调查了个学生,其中男女学生各半,男生中表示喜欢该学科,其余表示不喜欢;女生中表示喜欢该学科,其余表示不喜欢.若有把握认为性别与是否喜欢该学科有关,则可以推测的最小值为  

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

    A400 B300 C200 D100

    【解答】解:由题意,设男、女学生的人数分别为,建立列联表如下:

     

    喜欢课程

    不喜欢课程

    总计

    男生

    女生

    总计

    由表中的数据,

    由题意可得,,解得

    ,所以

    故选:

    8.(5分)过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点,其中,圆,若抛物线与圆交于两点,且,则点的横坐标为  

    A2 B3 C4 D5

    【解答】解:易知圆过原点,设

    ,可得,又

    联立可解得,将代入中,解得

    物线的方程为,焦点,准线

    分别作,可得

    由梯形的中位线性质得点到准线的距离

    则点的横坐标为3

    故选:

    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。

    9.(5分)已知数列中,,则下列说法正确的是  

    A B是等比数列 

    C D

    【解答】解:依题意

    所以,则

    所以数列的奇数项和偶数项,分别是以2为公比的等比数列

    所以正确.

    正确错误.

    故选:

    10.(5分)已知函数在区间上恰能取到2次最大值,且最多有4个零点,则下列说法中正确的有  

    A上恰能取到2次最小值 

    B的取值范围为 

    C上一定有极值 

    D上不单调

    【解答】解:

    函数在区间上恰能取到2次最大值,

    函数在区间上最多有4个零点,

    可得:

    在区间上只能取得1次最小值.

    时,

    函数上无极值.

    时,

    函数上不单调.

    综上只有正确.

    故选:

    11.(5分)已知偶函数满足:,且当时,,则下列说法正确的是  

    A时, 

    B.点图象的一个对称中心 

    C在区间上有10个零点 

    D.对任意,都有

    【解答】解:根据题意,依次分析选项:

    对于时,有,则,又由为偶函数,则正确;

    对于,当时,2,点2不关于点对称,

    故点不是图象的一个对称中心,错误

    对于,函数满足,则有,又由为偶函数,则,则是周期为4的周期函数,

    时,,有1为偶函数,则,则在区间上,即一个周期内有2个零点,

    在区间上,有5个周期,有10个零点,正确;

    对于,当时,,则在区间上,2,此时2错误;

    故选:

    12.(5分)截角四面体是一种半正八面体,可由四面体经过适当的截角,即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图,将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体,则  

    A.该截角四面体一共有12条棱 

    B.该截角四面体一共有8个面 

    C.该截角四面体的表面积为 

    D.该截角四面体的体积为

    【解答】解:对于,可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形,4个边长为1的正六边形构成,

    故该截角四面体一共有8个面,18条棱,故错误,正确;

    对于,边长为1的正三角形的面积

    边长为1的正六边形的面积

    故该截角四面体的表面积为,故正确;

    对于,棱长为1的正四面体的高

    利用等体积法可得该截角四面体的体积为:

    ,故正确.

    故选:

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

    13.(5分)某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积,则该圆柱底面半径与高的比值为 1 

    【解答】解:设圆柱的底面半径为,高为

    则圆柱的底面面积为,侧面面积为

    由题意知,

    所以

    所以该圆柱底面半径与高的比值为1

    故答案为:1

    14.(5分)若的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项为  (用数字作答)

    【解答】解:的展开式中只有第5项的二项式系数最大,

    故展开式的通项公式,令,求得

    可得展开式中常数项为

    故答案为:

    15.(5分)已知定义域为的函数恒满足,且内单调递减,写出一个满足条件的函数解析式 (答案不唯一) 

    【解答】解:根据题意,函数恒满足,则函数的图象关于直线对称,

    ,则函数的图象关于直线对称,

    ,即函数是周期为2的周期函数,

    又由内单调递减,则可以为余弦函数的变形形式,故函数可以为

    故答案为:(答案不唯一).

    16.(5分)在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮,如果砂轮半径太大,则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多.现有一工件,其截面内表面是一实轴长为4,离心率为的椭圆,在对其内表面进行抛光时,所选用砂轮的半径最大为   

    【解答】解:设椭圆的标准方程为:

    解得

    在对其内表面进行抛光时,所选用砂轮的半径为椭圆的最小曲率半径,在顶点处,

    曲率半径

    故答案为:

    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

    17.(10分)在这两个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答.

    已知的角对边分别为,而且_____

    1)求

    2)求面积的最大值.

    【解答】解:(1)选

    ,即

    ,故,即

    ,即

    2)由(1)可知,

    中,由余弦定理得,即

    ,当且仅当那个时取等号,

    18.(12分)已知等差数列和等比数列满足,

    1)求的通项公式;

    2)若数列满足,求的前项之和

    【解答】解:(1,即

    ,即

    解得

    2

    两式相减得到:

    19.(12分)为做好精准扶贫工作,农科所经实地考察,发现某贫困村的土地适合种植药材,村民可以通过种植药材增加收入,达到脱贫标准.通过大量考察研究得到如下统计数据:药材的收购价格处于上涨趋势,最近五年的价格如表:

    年份

    2016

    2017

    2018

    2019

    2020

    年份编号

    1

    2

    3

    4

    5

    单价(元公斤)

    18

    20

    23

    25

    29

    药材的亩产量在2020年的频率分布直方图如图:

    (Ⅰ)若药材的单价(单位:元公斤)与年份编号间具有线性相关关系,请求出关于的回归直线方程,并估计2021年药材的单价;

    (Ⅱ)利用上述频率分布直方图估计药材的平均亩产量(同组数据以该数据所在区间的中点值为代表);

    (Ⅲ)称亩产量不高于390公斤的田地为“待改良田”,将频率视为概率,现农科所研究员从这个村的地中随机选取3块面积为1亩的田地进行试验,记其中“待改良田”的个数为,求随机变量的数学期望.

    参考公式:回归直线方程,其中:

    【解答】解:(Ⅰ)

    关于的线性回归方程为

    时,

    故估计2021年药材的单价为31.1公斤;

    (Ⅱ)组距为20,自左向右各组的频率依次为0.10.20.350.250.1

    从而药材的平均亩产量为公斤;

    (Ⅲ)由题意知,

    故数学期望

    20.(12分)如图,是边长为2的等边三角形,四边形为菱形,平面平面

    1)求证:平面

    2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

    【解答】1)证明:因为,所以四边形是菱形,

    所以,且平面,所以平面.(3分)

    平面,所以平面

    所以平面平面,所以平面.(6分)

    2)如图,

    中点,连接,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间坐标系,

    ,(7分)

    所以

    所以,,所以

    所以

    设平面的法向量为

    由题意得

    不妨取,则所以.(9分)

    易知平面的一个法向量为10分)

    所以

    所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.(12分)

    21.(12分)已知函数

    1)若,试求曲线在点处的切线方程;

    2)讨论的单调性.

    【解答】解:(1

    故切线方程为:;(2

    时,,当时,,当时,

    故函数在上单调递增,在上单调递减;

    时,由,得到

    时,,当时,,函数单调递增,当,时,,函数单调递减;

    时,恒成立,函数在单调递增;

    时,,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减;

    综上所述:

    时,函数在上单调递增,在上单调递减;

    时,函数在上单调递增,在上单调递减;

    时,函数在上单调递增;

    时,函数在上单调递增,在上单调递减.

    22.(12分)已知椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为,短轴长为4.动点在双曲线(顶点除外)上运动,直线与椭圆的交点分别为

    (Ⅰ)求椭圆的方程;

    (Ⅱ)证明:为定值,并求出此定值.

    【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,则

    椭圆方程为

    (Ⅱ)证明:设,则

    由题意椭圆的两个焦点刚好是双曲线的两个顶点,

    不妨取

    设直线的方程为,直线的方程为

    联立

    ,则

    同理,

    为定值,此定值为

    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2022/6/14 16:54:46;用户:13159259195;邮箱:13159259195;学号:39016604

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