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2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二(下)期末数学试卷
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一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)设全集为,集合,,则
A. B. C. D.
2.(5分)若复数满足为虚数单位),则所对应的复平面内的点位于复平面的
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.(5分)已知函数的定义域为,则函数的定义域为
A. B. C. D.
4.(5分)中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在第三节,且“射”和“御”两门课相邻排课,则“六艺”课程讲座排课顺序共有
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
5.(5分)2021年3月20日,“沉睡三千年,一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物.为推测文物年代,考古学者通常用碳14测年法推算,碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法年,考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定,检测出碳14的残留量约为初始量的,已知碳14的半衰期(放射性物质质量衰减一半所用的时间)是5730年,以此推算出该文物大致年代是 (参考数据:,
A.公元前1400年到公元前1300年
B.公元前1300年到公元前1200年
C.公元前1200年到公元前1100年
D.公元前1100年到公元前1000年
6.(5分)在平行四边形中,,,,,若,则
A. B. C. D.
7.(5分)在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时,总共调查了个学生,其中男女学生各半,男生中表示喜欢该学科,其余表示不喜欢;女生中表示喜欢该学科,其余表示不喜欢.若有把握认为性别与是否喜欢该学科有关,则可以推测的最小值为
附.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
A.400 B.300 C.200 D.100
8.(5分)过抛物线焦点的直线与抛物线交于,两点,其中,,圆,若抛物线与圆交于,两点,且,则点的横坐标为
A.2 B.3 C.4 D.5
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.(5分)已知数列中,,则下列说法正确的是
A. B.是等比数列
C. D.
10.(5分)已知函数在区间,上恰能取到2次最大值,且最多有4个零点,则下列说法中正确的有
A.在上恰能取到2次最小值
B.的取值范围为
C.在上一定有极值
D.在上不单调
11.(5分)已知偶函数满足:,且当时,,则下列说法正确的是
A.时,
B.点是图象的一个对称中心
C.在区间,上有10个零点
D.对任意,,都有
12.(5分)截角四面体是一种半正八面体,可由四面体经过适当的截角,即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图,将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体,则
A.该截角四面体一共有12条棱
B.该截角四面体一共有8个面
C.该截角四面体的表面积为
D.该截角四面体的体积为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积,则该圆柱底面半径与高的比值为 .
14.(5分)若的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项为 (用数字作答)
15.(5分)已知定义域为的函数恒满足,且在内单调递减,写出一个满足条件的函数解析式 .
16.(5分)在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮,如果砂轮半径太大,则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多.现有一工件,其截面内表面是一实轴长为4,离心率为的椭圆,在对其内表面进行抛光时,所选用砂轮的半径最大为 .
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)在①,②这两个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答.
已知的角,,对边分别为,,且,而且_____.
(1)求;
(2)求面积的最大值.
18.(12分)已知等差数列和等比数列满足,,,,.
(1)求和的通项公式;
(2)若数列满足,求的前项之和.
19.(12分)为做好精准扶贫工作,农科所经实地考察,发现某贫困村的土地适合种植药材,村民可以通过种植药材增加收入,达到脱贫标准.通过大量考察研究得到如下统计数据:药材的收购价格处于上涨趋势,最近五年的价格如表:
年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
年份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
单价(元公斤) | 18 | 20 | 23 | 25 | 29 |
药材的亩产量在2020年的频率分布直方图如图:
(Ⅰ)若药材的单价(单位:元公斤)与年份编号间具有线性相关关系,请求出关于的回归直线方程,并估计2021年药材的单价;
(Ⅱ)利用上述频率分布直方图估计药材的平均亩产量(同组数据以该数据所在区间的中点值为代表);
(Ⅲ)称亩产量不高于390公斤的田地为“待改良田”,将频率视为概率,现农科所研究员从这个村的地中随机选取3块面积为1亩的田地进行试验,记其中“待改良田”的个数为,求随机变量的数学期望.
参考公式:回归直线方程,其中:,.
20.(12分)如图,是边长为2的等边三角形,四边形为菱形,平面平面,,,.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
21.(12分)已知函数.
(1)若,试求曲线在点,处的切线方程;
(2)讨论的单调性.
22.(12分)已知椭圆上任一点到两个焦点,的距离之和为,短轴长为4.动点在双曲线(顶点除外)上运动,直线和与椭圆的交点分别为、和、.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)证明:为定值,并求出此定值.
2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)设全集为,集合,,则
A. B. C. D.
【解答】解:,,
,
.
故选:.
2.(5分)若复数满足为虚数单位),则所对应的复平面内的点位于复平面的
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】解:因为,
所以,
所以所对应的复平面内的点位于复平面第三象限.
故选:.
3.(5分)已知函数的定义域为,则函数的定义域为
A. B. C. D.
【解答】解:的定义域为,
,
则,
则,
即的定义域为,
由,得,得,
则函数的定义域为,
故选:.
4.(5分)中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.某校国学社开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在第三节,且“射”和“御”两门课相邻排课,则“六艺”课程讲座排课顺序共有
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
【解答】解:由题意,“数”排在第三节,则“射”和“御”两门课程相邻时,可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节,有3种,再考虑两者的顺序,有种,
剩余的3门全排列,安排在剩下的3个位置,有种,
所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.
故选:.
5.(5分)2021年3月20日,“沉睡三千年,一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物.为推测文物年代,考古学者通常用碳14测年法推算,碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法年,考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定,检测出碳14的残留量约为初始量的,已知碳14的半衰期(放射性物质质量衰减一半所用的时间)是5730年,以此推算出该文物大致年代是 (参考数据:,
A.公元前1400年到公元前1300年
B.公元前1300年到公元前1200年
C.公元前1200年到公元前1100年
D.公元前1100年到公元前1000年
【解答】解:设样本中碳14初始值为,衰减率为,经过年后,残留量为,
则有,
由碳14的半衰期是5730年,则,即,
所以,
由题意可知,,
所以,
2021年之间的3188年大致是公元前1167年,
则大致年代为公元前1200年到公元前1100年.
故选:.
6.(5分)在平行四边形中,,,,,若,则
A. B. C. D.
【解答】解:因为,,,,
所以
,
所以,
所以,
即,
又,
所以,
故选:.
7.(5分)在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时,总共调查了个学生,其中男女学生各半,男生中表示喜欢该学科,其余表示不喜欢;女生中表示喜欢该学科,其余表示不喜欢.若有把握认为性别与是否喜欢该学科有关,则可以推测的最小值为
附.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
A.400 B.300 C.200 D.100
【解答】解:由题意,设男、女学生的人数分别为,,建立列联表如下:
| 喜欢课程 | 不喜欢课程 | 总计 |
男生 | |||
女生 | |||
总计 |
由表中的数据,,
由题意可得,,解得,
又,所以,.
故选:.
8.(5分)过抛物线焦点的直线与抛物线交于,两点,其中,,圆,若抛物线与圆交于,两点,且,则点的横坐标为
A.2 B.3 C.4 D.5
【解答】解:易知圆过原点,设,,,
由,可得,又,
联立可解得,,将代入中,解得,
物线的方程为,焦点,准线.
过,分别作于,于,可得,,
即,
由梯形的中位线性质得点到准线的距离,
则点的横坐标为3.
故选:.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.(5分)已知数列中,,则下列说法正确的是
A. B.是等比数列
C. D.
【解答】解:依题意,
所以,则,,,
所以数列的奇数项和偶数项,分别是以2为公比的等比数列.
所以,、正确.
,正确,错误.
故选:.
10.(5分)已知函数在区间,上恰能取到2次最大值,且最多有4个零点,则下列说法中正确的有
A.在上恰能取到2次最小值
B.的取值范围为
C.在上一定有极值
D.在上不单调
【解答】解:①,,,,
函数在区间,上恰能取到2次最大值,
,
函数在区间,上最多有4个零点,
,
可得:.
②由,在区间上只能取得1次最小值.
③当时,,,
由,,函数在上无极值.
④当时,,,
,函数在上不单调.
综上只有正确.
故选:.
11.(5分)已知偶函数满足:,且当时,,则下列说法正确的是
A.时,
B.点是图象的一个对称中心
C.在区间,上有10个零点
D.对任意,,都有
【解答】解:根据题意,依次分析选项:
对于,时,有,则,又由为偶函数,则,正确;
对于,当时,,,(2),点,和,(2)不关于点对称,
故点不是图象的一个对称中心,错误
对于,函数满足,则有,又由为偶函数,则,则是周期为4的周期函数,
当时,,有(1),为偶函数,则,则在区间,上,即一个周期内有2个零点,
在区间,上,有5个周期,有10个零点,正确;
对于,当时,,则在区间,上,(2),,此时(2),错误;
故选:.
12.(5分)截角四面体是一种半正八面体,可由四面体经过适当的截角,即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图,将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体,则
A.该截角四面体一共有12条棱
B.该截角四面体一共有8个面
C.该截角四面体的表面积为
D.该截角四面体的体积为
【解答】解:对于,可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形,4个边长为1的正六边形构成,
故该截角四面体一共有8个面,18条棱,故错误,正确;
对于,边长为1的正三角形的面积,
边长为1的正六边形的面积,
故该截角四面体的表面积为,故正确;
对于,棱长为1的正四面体的高,
利用等体积法可得该截角四面体的体积为:
,故正确.
故选:.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.(5分)某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积,则该圆柱底面半径与高的比值为 1 .
【解答】解:设圆柱的底面半径为,高为,
则圆柱的底面面积为,侧面面积为,
由题意知,,
所以,
所以该圆柱底面半径与高的比值为1.
故答案为:1.
14.(5分)若的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项为 (用数字作答)
【解答】解:的展开式中只有第5项的二项式系数最大,,
故展开式的通项公式,令,求得,
可得展开式中常数项为,
故答案为:.
15.(5分)已知定义域为的函数恒满足,且在内单调递减,写出一个满足条件的函数解析式 (答案不唯一) .
【解答】解:根据题意,函数恒满足,则函数的图象关于直线对称,
若,则函数的图象关于直线对称,
若,即函数是周期为2的周期函数,
又由在内单调递减,则可以为余弦函数的变形形式,故函数可以为,
故答案为:(答案不唯一).
16.(5分)在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮,如果砂轮半径太大,则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多.现有一工件,其截面内表面是一实轴长为4,离心率为的椭圆,在对其内表面进行抛光时,所选用砂轮的半径最大为 .
【解答】解:设椭圆的标准方程为:,,
由,,,
解得,.
在对其内表面进行抛光时,所选用砂轮的半径为椭圆的最小曲率半径,在顶点处,
曲率半径.
故答案为:.
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)在①,②这两个条件中任选一个,补充在下列问题中,并解答.
已知的角,,对边分别为,,且,而且_____.
(1)求;
(2)求面积的最大值.
【解答】解:(1)选①,,
,
,
,即,
又,
,故,即;
选②,,
,即,
,
,
;
(2)由(1)可知,,
在中,由余弦定理得,即,
,
,当且仅当那个时取等号,
.
18.(12分)已知等差数列和等比数列满足,,,,.
(1)求和的通项公式;
(2)若数列满足,求的前项之和.
【解答】解:(1),即,
,即,
解得,,
故;
(2),
,
则,
两式相减得到:,
故.
19.(12分)为做好精准扶贫工作,农科所经实地考察,发现某贫困村的土地适合种植药材,村民可以通过种植药材增加收入,达到脱贫标准.通过大量考察研究得到如下统计数据:药材的收购价格处于上涨趋势,最近五年的价格如表:
年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
年份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
单价(元公斤) | 18 | 20 | 23 | 25 | 29 |
药材的亩产量在2020年的频率分布直方图如图:
(Ⅰ)若药材的单价(单位:元公斤)与年份编号间具有线性相关关系,请求出关于的回归直线方程,并估计2021年药材的单价;
(Ⅱ)利用上述频率分布直方图估计药材的平均亩产量(同组数据以该数据所在区间的中点值为代表);
(Ⅲ)称亩产量不高于390公斤的田地为“待改良田”,将频率视为概率,现农科所研究员从这个村的地中随机选取3块面积为1亩的田地进行试验,记其中“待改良田”的个数为,求随机变量的数学期望.
参考公式:回归直线方程,其中:,.
【解答】解:(Ⅰ),,
,
.
关于的线性回归方程为.
当时,.
故估计2021年药材的单价为31.1元公斤;
(Ⅱ)组距为20,自左向右各组的频率依次为0.1,0.2,0.35,0.25,0.1.
从而药材的平均亩产量为公斤;
(Ⅲ)由题意知,.
故数学期望.
20.(12分)如图,是边长为2的等边三角形,四边形为菱形,平面平面,,,.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【解答】(1)证明:因为,所以四边形是菱形,
所以,且平面,所以平面.(3分)
又,平面,所以平面,,
所以平面平面,所以平面.(6分)
(2)如图,
取中点,连接,,分别以,,所在直线为轴、轴、轴建立空间坐标系,
则,(7分)
所以,
所以,,,所以,
所以.
设平面的法向量为,
由题意得,
不妨取,则所以.(9分)
易知平面的一个法向量为(10分)
所以,
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.(12分)
21.(12分)已知函数.
(1)若,试求曲线在点,处的切线方程;
(2)讨论的单调性.
【解答】解:(1),,
,,
故切线方程为:;(2),
故,
当时,,当时,,当时,,
故函数在上单调递增,在上单调递减;
当时,由,得到,
当时,,当和时,,函数单调递增,当,,时,,函数单调递减;
当时,,恒成立,函数在单调递增;
当时,,当和,时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减;
综上所述:
当时,函数在上单调递增,在上单调递减;
当时,函数在和,上单调递增,在上单调递减;
当时,函数在上单调递增;
当时,函数在和上单调递增,在,上单调递减.
22.(12分)已知椭圆上任一点到两个焦点,的距离之和为,短轴长为4.动点在双曲线(顶点除外)上运动,直线和与椭圆的交点分别为、和、.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)证明:为定值,并求出此定值.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,,则,,
椭圆方程为.
(Ⅱ)证明:设,,,则,
由题意椭圆的两个焦点,刚好是双曲线的两个顶点,
不妨取,,
则,
设直线的方程为,直线的方程为,
则,,
联立,,
设,,,,则,,
,
同理,,
,
为定值,此定值为.
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湖北省部分省级示范高中2023-2024高二上学期期末考试数学试卷及答案: 这是一份湖北省部分省级示范高中2023-2024高二上学期期末考试数学试卷及答案,共10页。
2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高一(下)期中数学试卷: 这是一份2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高一(下)期中数学试卷,共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高二下学期期末数学试题(学生版): 这是一份湖北省部分省级示范高中2020-2021学年高二下学期期末数学试题(学生版),共6页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。