2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设全集为，集合，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）若复数满足为虚数单位），则所对应的复平面内的点位于复平面的　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　

A． B． C． D．

4．（5分）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有　　

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

5．（5分）2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物．为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，以此推算出该文物大致年代是　　（参考数据：，

A．公元前1400年到公元前1300年 

B．公元前1300年到公元前1200年 

C．公元前1200年到公元前1100年 

D．公元前1100年到公元前1000年

6．（5分）在平行四边形中，，，，，若，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了个学生，其中男女学生各半，男生中表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测的最小值为　　

附．

A．400 B．300 C．200 D．100

8．（5分）过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，其中，，圆，若抛物线与圆交于，两点，且，则点的横坐标为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知数列中，，则下列说法正确的是　　

A． B．是等比数列 

C． D．

10．（5分）已知函数在区间，上恰能取到2次最大值，且最多有4个零点，则下列说法中正确的有　　

A．在上恰能取到2次最小值 

B．的取值范围为 

C．在上一定有极值 

D．在上不单调

11．（5分）已知偶函数满足：，且当时，，则下列说法正确的是　　

A．时， 

B．点是图象的一个对称中心 

C．在区间，上有10个零点 

D．对任意，，都有

12．（5分）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则　　

A．该截角四面体一共有12条棱 

B．该截角四面体一共有8个面 

C．该截角四面体的表面积为 

D．该截角四面体的体积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为　　．

14．（5分）若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为　　（用数字作答）

15．（5分）已知定义域为的函数恒满足，且在内单调递减，写出一个满足条件的函数解析式　　．

16．（5分）在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一实轴长为4，离心率为的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．

已知的角，，对边分别为，，且，而且_____．

（1）求；

（2）求面积的最大值．

18．（12分）已知等差数列和等比数列满足，，，，．

（1）求和的通项公式；

（2）若数列满足，求的前项之和．

19．（12分）为做好精准扶贫工作，农科所经实地考察，发现某贫困村的土地适合种植药材，村民可以通过种植药材增加收入，达到脱贫标准．通过大量考察研究得到如下统计数据：药材的收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如表：

药材的亩产量在2020年的频率分布直方图如图：

（Ⅰ）若药材的单价（单位：元公斤）与年份编号间具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2021年药材的单价；

（Ⅱ）利用上述频率分布直方图估计药材的平均亩产量（同组数据以该数据所在区间的中点值为代表）；

（Ⅲ）称亩产量不高于390公斤的田地为“待改良田”，将频率视为概率，现农科所研究员从这个村的地中随机选取3块面积为1亩的田地进行试验，记其中“待改良田”的个数为，求随机变量的数学期望．

参考公式：回归直线方程，其中：，．

20．（12分）如图，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

21．（12分）已知函数．

（1）若，试求曲线在点，处的切线方程；

（2）讨论的单调性．

22．（12分）已知椭圆上任一点到两个焦点，的距离之和为，短轴长为4．动点在双曲线（顶点除外）上运动，直线和与椭圆的交点分别为、和、．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）证明：为定值，并求出此定值．

2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设全集为，集合，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，

．

故选：．

2．（5分）若复数满足为虚数单位），则所对应的复平面内的点位于复平面的　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：因为，

所以，

所以所对应的复平面内的点位于复平面第三象限．

故选：．

3．（5分）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　

A． B． C． D．

【解答】解：的定义域为，

，

则，

则，

即的定义域为，

由，得，得，

则函数的定义域为，

故选：．

4．（5分）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课相邻排课，则“六艺”课程讲座排课顺序共有　　

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

【解答】解：由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种，

剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种，

所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法．

故选：．

5．（5分）2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物．为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，以此推算出该文物大致年代是　　（参考数据：，

A．公元前1400年到公元前1300年 

B．公元前1300年到公元前1200年 

C．公元前1200年到公元前1100年 

D．公元前1100年到公元前1000年

【解答】解：设样本中碳14初始值为，衰减率为，经过年后，残留量为，

则有，

由碳14的半衰期是5730年，则，即，

所以，

由题意可知，，

所以，

2021年之间的3188年大致是公元前1167年，

则大致年代为公元前1200年到公元前1100年．

故选：．

6．（5分）在平行四边形中，，，，，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，，，，

所以

，

所以，

所以，

即，

又，

所以，

故选：．

7．（5分）在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了个学生，其中男女学生各半，男生中表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测的最小值为　　

附．

A．400 B．300 C．200 D．100

【解答】解：由题意，设男、女学生的人数分别为，，建立列联表如下：

由表中的数据，，

由题意可得，，解得，

又，所以，．

故选：．

8．（5分）过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，其中，，圆，若抛物线与圆交于，两点，且，则点的横坐标为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：易知圆过原点，设，，，

由，可得，又，

联立可解得，，将代入中，解得，

物线的方程为，焦点，准线．

过，分别作于，于，可得，，

即，

由梯形的中位线性质得点到准线的距离，

则点的横坐标为3．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知数列中，，则下列说法正确的是　　

A． B．是等比数列 

C． D．

【解答】解：依题意，

所以，则，，，

所以数列的奇数项和偶数项，分别是以2为公比的等比数列．

所以，、正确．

，正确，错误．

故选：．

10．（5分）已知函数在区间，上恰能取到2次最大值，且最多有4个零点，则下列说法中正确的有　　

A．在上恰能取到2次最小值 

B．的取值范围为 

C．在上一定有极值 

D．在上不单调

【解答】解：①，，，，

函数在区间，上恰能取到2次最大值，

，

函数在区间，上最多有4个零点，

，

可得：．

②由，在区间上只能取得1次最小值．

③当时，，，

由，，函数在上无极值．

④当时，，，

，函数在上不单调．

综上只有正确．

故选：．

11．（5分）已知偶函数满足：，且当时，，则下列说法正确的是　　

A．时， 

B．点是图象的一个对称中心 

C．在区间，上有10个零点 

D．对任意，，都有

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，时，有，则，又由为偶函数，则，正确；

对于，当时，，，（2），点，和，（2）不关于点对称，

故点不是图象的一个对称中心，错误

对于，函数满足，则有，又由为偶函数，则，则是周期为4的周期函数，

当时，，有（1），为偶函数，则，则在区间，上，即一个周期内有2个零点，

在区间，上，有5个周期，有10个零点，正确；

对于，当时，，则在区间，上，（2），，此时（2），错误；

故选：．

12．（5分）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则　　

A．该截角四面体一共有12条棱 

B．该截角四面体一共有8个面 

C．该截角四面体的表面积为 

D．该截角四面体的体积为

【解答】解：对于，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，

故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故错误，正确；

对于，边长为1的正三角形的面积，

边长为1的正六边形的面积，

故该截角四面体的表面积为，故正确；

对于，棱长为1的正四面体的高，

利用等体积法可得该截角四面体的体积为：

，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为　1　．

【解答】解：设圆柱的底面半径为，高为，

则圆柱的底面面积为，侧面面积为，

由题意知，，

所以，

所以该圆柱底面半径与高的比值为1．

故答案为：1．

14．（5分）若的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为　　（用数字作答）

【解答】解：的展开式中只有第5项的二项式系数最大，，

故展开式的通项公式，令，求得，

可得展开式中常数项为，

故答案为：．

15．（5分）已知定义域为的函数恒满足，且在内单调递减，写出一个满足条件的函数解析式　（答案不唯一）　．

【解答】解：根据题意，函数恒满足，则函数的图象关于直线对称，

若，则函数的图象关于直线对称，

若，即函数是周期为2的周期函数，

又由在内单调递减，则可以为余弦函数的变形形式，故函数可以为，

故答案为：（答案不唯一）．

16．（5分）在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一实轴长为4，离心率为的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为 　　．

【解答】解：设椭圆的标准方程为：，，

由，，，

解得，．

在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径为椭圆的最小曲率半径，在顶点处，

曲率半径．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．

已知的角，，对边分别为，，且，而且_____．

（1）求；

（2）求面积的最大值．

【解答】解：（1）选①，，

，

，

，即，

又，

，故，即；

选②，，

，即，

，

，

；

（2）由（1）可知，，

在中，由余弦定理得，即，

，

，当且仅当那个时取等号，

．

18．（12分）已知等差数列和等比数列满足，，，，．

（1）求和的通项公式；

（2）若数列满足，求的前项之和．

【解答】解：（1），即，

，即，

解得，，

故；

（2），

，

则，

两式相减得到：，

故．

19．（12分）为做好精准扶贫工作，农科所经实地考察，发现某贫困村的土地适合种植药材，村民可以通过种植药材增加收入，达到脱贫标准．通过大量考察研究得到如下统计数据：药材的收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如表：

药材的亩产量在2020年的频率分布直方图如图：

（Ⅰ）若药材的单价（单位：元公斤）与年份编号间具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2021年药材的单价；

（Ⅱ）利用上述频率分布直方图估计药材的平均亩产量（同组数据以该数据所在区间的中点值为代表）；

（Ⅲ）称亩产量不高于390公斤的田地为“待改良田”，将频率视为概率，现农科所研究员从这个村的地中随机选取3块面积为1亩的田地进行试验，记其中“待改良田”的个数为，求随机变量的数学期望．

参考公式：回归直线方程，其中：，．

【解答】解：（Ⅰ），，

，

．

关于的线性回归方程为．

当时，．

故估计2021年药材的单价为31.1元公斤；

（Ⅱ）组距为20，自左向右各组的频率依次为0.1，0.2，0.35，0.25，0.1．

从而药材的平均亩产量为公斤；

（Ⅲ）由题意知，．

故数学期望．

20．（12分）如图，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【解答】（1）证明：因为，所以四边形是菱形，

所以，且平面，所以平面．（3分）

又，平面，所以平面，，

所以平面平面，所以平面．（6分）

（2）如图，

取中点，连接，，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间坐标系，

则，（7分）

所以，

所以，，，所以，

所以．

设平面的法向量为，

由题意得，

不妨取，则所以．（9分）

易知平面的一个法向量为（10分）

所以，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．（12分）

21．（12分）已知函数．

（1）若，试求曲线在点，处的切线方程；

（2）讨论的单调性．

【解答】解：（1），，

，，

故切线方程为：；（2），

故，

当时，，当时，，当时，，

故函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，由，得到，

当时，，当和时，，函数单调递增，当，，时，，函数单调递减；

当时，，恒成立，函数在单调递增；

当时，，当和，时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减；

综上所述：

当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在和，上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递增；

当时，函数在和上单调递增，在，上单调递减．

22．（12分）已知椭圆上任一点到两个焦点，的距离之和为，短轴长为4．动点在双曲线（顶点除外）上运动，直线和与椭圆的交点分别为、和、．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）证明：为定值，并求出此定值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，则，，

椭圆方程为．

（Ⅱ）证明：设，，，则，

由题意椭圆的两个焦点，刚好是双曲线的两个顶点，

不妨取，，

则，

设直线的方程为，直线的方程为，

则，，

联立，，

设，，，，则，，

，

同理，，

，

为定值，此定值为．

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