2020-2021学年江苏省宿迁市泗阳县众兴中学高二（下）期末数学模拟练习试卷（一）

2020-2021学年江苏省宿迁市泗阳县众兴中学高二（下）期末数学模拟练习试卷（一）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．（5分）已知复数满足为虚数单位），则的虚部为　　

A． B． C． D．

2．（5分）若函数在，上是增函数，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）某工厂有，两套生产线，每周需要维护的概率分别为0.2和0.25，且每周，两套生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一套生产线需要维护的概率为　　

A．0.95 B．0.6 C．0.35 D．0.15

4．（5分）展开式中的系数为　　

A． B．14 C． D．84

5．（5分）一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言．这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有　　种．

A．36 B．48 C．72 D．120

6．（5分）在一个箱子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球，现从中不放回的摸取3个球，设摸得的白球个数为，黑球个数为，则　　

A．， B．， 

C．， D．，

7．（5分）设随机变量服从正态分布，则的值为　　

（参考数据：，

A．0.1737 B．0.3474 C．0.6837 D．0.8263

8．（5分）已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.

9．（5分）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是　　

A．2个球都是红球的概率为 

B．2个球中恰有1个红球的概率为 

C．至少有1个红球的概率为 

D．2个球不都是红球的概率为

10．（5分）已知函数，则　　

A．恒成立 

B．是上的减函数 

C．在得到极大值 

D．只有一个零点

11．（5分）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有　　

A． 

B．展开式中常数项为160 

C．展开式中含项的系数为60 

D．展开式中各项系数的绝对值的和为1458

12．（5分）为响应政府部门疫情防控号召．某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，下列选项正确的是　　

A．若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法 

B．共有64种不同的安排方法 

C．若甲乙两人不能去地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法 

D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．（5分）已知二项展开式，则　　；　　（用数字作答）

14．（5分）在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则　　．

15．（5分）已知的二项展开式中的常数项的值是，若（其中是虚数单位），则复数的模　　．（结果用数值表示）

16．（5分）已知函数，则满足不等式成立的实数的取值范围是　　．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知从1，3，5，7，9任取两个数，从0，2，4，6，8中任取两个数，组成没有重复的数字的四位数．

（Ⅰ）可以组成多少个不含有数字0的四位数？

（Ⅱ）可以组成多少个四位偶数？

（Ⅲ）可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？（所有结果均用数值表示）

18．设虚数满足．

（1）计算的值；

（2）是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

19．已知，．

（1）当时，求展开式中的常数项；

（2）若二项式的展开式中含有的项，当取最小值时，展开式中含的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数的值．

20．为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布表，其中．

（1）若按照分层抽样从，，，中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取4人，记分数在，的人数为，求的分布列与数学期望；

（2）以频率估计概率，若该研究人员从全国国企员工中随机抽取人作调查，记成绩在，，，的人数为，若，求的最大值．

21．三阶魔方为的正方体结构，由26个色块组成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．

（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度（秒与训练天数（天有关，经统计得到如下数据：

现用，作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度约为多少秒（精确到1秒）；

（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面．某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为，求的分布列及数学期望．

参考数据（其中．

参考公式：

对于一组数据，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．

22．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，且极小值大于，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省宿迁市泗阳县众兴中学高二（下）期末数学模拟练习试卷（一）

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．（5分）已知复数满足为虚数单位），则的虚部为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，得，

的虚部为．

故选：．

2．（5分）若函数在，上是增函数，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：由函数在，上是增函数，可得在，上恒成立，

即在，上恒成立，故，

故选：．

3．（5分）某工厂有，两套生产线，每周需要维护的概率分别为0.2和0.25，且每周，两套生产线是否需要进行维护是相互独立的，则至多有一套生产线需要维护的概率为　　

A．0.95 B．0.6 C．0.35 D．0.15

【解答】解：设生产线每周需要维护为事件，生产线每周需要维护为事件，

则（C），（D），

至多有一套生产线需要维护的概率为：

．

故选：．

4．（5分）展开式中的系数为　　

A． B．14 C． D．84

【解答】解：由题意，二项展开式的通项公式为，

令，得，所以的系数为，

故选：．

5．（5分）一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言．这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有　　种．

A．36 B．48 C．72 D．120

【解答】解：先排高一年级学生，有种排法，

①若高一年级学生中间有高三学生，有种排法，

②若高一学生中间无高三学生，有种排法，

所以共有种排法．

故选：．

6．（5分）在一个箱子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球，现从中不放回的摸取3个球，设摸得的白球个数为，黑球个数为，则　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：的可能取值为1，2，3，

则，

，

，

故，

的可能取值为0，1，2，

则，

，

，

故，

所以，

又，

所以．

故选：．

7．（5分）设随机变量服从正态分布，则的值为　　

（参考数据：，

A．0.1737 B．0.3474 C．0.6837 D．0.8263

【解答】解：因为随机变量服从正态分布，

所以，，

由正态分布的对称性可得，．

故选：．

8．（5分）已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：由，得，得恒成立，

设，则，

对于，，

则当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，

所以，

所以，

当且仅当，即时取“”号，

故，的取值范围是，，

故选：．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.

9．（5分）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是　　

A．2个球都是红球的概率为 

B．2个球中恰有1个红球的概率为 

C．至少有1个红球的概率为 

D．2个球不都是红球的概率为

【解答】解：设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，

则2个球都是红球的概率为，故正确，

2个球中恰有1个红球的概率为，故正确，

至少有1个红球的概率为，故正确，

2个球不都是红球的概率为，故不正确．

故选：．

10．（5分）已知函数，则　　

A．恒成立 

B．是上的减函数 

C．在得到极大值 

D．只有一个零点

【解答】解：函数，

则，

令，可得，

令，可得，

所以在上单调递增，

在，上单调递减，故选项错误；

当时，取得极大值，故选项正确；

在区间内，有唯一的极大值即最大值，故选项错误；

因为当时，，当时，，

又，（e），则，

由零点的存在性定理可得，在区间内存在唯一的零点，故选项正确．

故选：．

11．（5分）已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有　　

A． 

B．展开式中常数项为160 

C．展开式中含项的系数为60 

D．展开式中各项系数的绝对值的和为1458

【解答】解：的展开式中各项系数的和为2，令，

，解得，故正确；

，展开式的通项为，

令，得，可得展开式中常数项为：，

令，得，可得展开式中含项为：，

故，

令，得（舍去），令，得（舍去）．

故的展开式中常数项为，

展开式中含项的系数为60，故错误，正确；

其展开式中各项系数的绝对值的和

与展开式中各项系数的和相等，

在中，令，可得：，故正确．

故选：．

12．（5分）为响应政府部门疫情防控号召．某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，下列选项正确的是　　

A．若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法 

B．共有64种不同的安排方法 

C．若甲乙两人不能去地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法 

D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，将4人安排到这两个地方，有种选取方法，正确；

对于，安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，错误；

对于，根据题意，需要将4人分为3组，

若甲乙在同一组，有1种分组方法，则甲乙所在的组不能去地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有种情况，此时有种安排方法；

若甲乙不在同一组，有种分组方法，若甲乙两人不能去地，只能安排没有甲乙的1组去地，甲乙所在的两组安排到、两地，有种情况，此时有种安排方法；

则一共有种安排方法，错误；

对于，只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入挡板，就可以将20辆救护车分为3组，依次对应，，三地即可，有种安排方法；

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．（5分）已知二项展开式，则　1　；　　（用数字作答）

【解答】解：二项展开式，则 令，可得．

，

故答案为：1；255．

14．（5分）在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则　0.2　．

【解答】解：由题意，，得，

又，

利用正态分布曲线的对称性可得，，

故答案为：0.2．

15．（5分）已知的二项展开式中的常数项的值是，若（其中是虚数单位），则复数的模　5　．（结果用数值表示）

【解答】解：已知的二项展开式的通项公式为，

令，求得，可得它的常数项的值是，

若（其中是虚数单位），则，，

则复数的模，

故答案为：5．

16．（5分）已知函数，则满足不等式成立的实数的取值范围是　　．

【解答】解：由，得，

所以函数为上的增函数；

又，故，

所以，

解得，

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知从1，3，5，7，9任取两个数，从0，2，4，6，8中任取两个数，组成没有重复的数字的四位数．

（Ⅰ）可以组成多少个不含有数字0的四位数？

（Ⅱ）可以组成多少个四位偶数？

（Ⅲ）可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？（所有结果均用数值表示）

【解答】解：（Ⅰ）从1，3，5，7，9任取两个数，从2，4，6，8中任取两个数，

组成个不含有数字0的四位数，

（Ⅱ）当0在末位时，共有个四位偶数，

当末位为2，4，6，8（且0不在首位），共有个四位偶数，

则可以组成个四位偶数，

（Ⅲ）当0在首位时，有种，

则两个奇数数字相邻的四位数共有个．

18．设虚数满足．

（1）计算的值；

（2）是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）设，且则

（2）设，且假设存在实数使

则有

由（1）知

19．已知，．

（1）当时，求展开式中的常数项；

（2）若二项式的展开式中含有的项，当取最小值时，展开式中含的正整数次幂的项的系数之和为10，求实数的值．

【解答】解：（1）二项式的展开式通项为

，1，2，，，

当，时，的展开式的常数项为．

（2）令，则，所以的最小值为6，

当时，二项式的展开式通项为，1，2，，，

则展开式中含的正整数次幂的项为，，，

它们的系数之和为，

即，解得或．

故实数的值为或．

20．为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布表，其中．

（1）若按照分层抽样从，，，中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取4人，记分数在，的人数为，求的分布列与数学期望；

（2）以频率估计概率，若该研究人员从全国国企员工中随机抽取人作调查，记成绩在，，，的人数为，若，求的最大值．

【解答】解：（1）依题意，所以．

又，所以，．

分数在，和，的员工分别被抽取了2人和6人，

所以的可能取值为2，3，4，

所以，

，

，

所以的分布列为：

所以．

（2）依题意，知，

由，得，

解得，

故所求的的最大值为10．

21．三阶魔方为的正方体结构，由26个色块组成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．

（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度（秒与训练天数（天有关，经统计得到如下数据：

现用，作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度约为多少秒（精确到1秒）；

（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面．某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为，求的分布列及数学期望．

参考数据（其中．

参考公式：

对于一组数据，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．

【解答】解：（1）由题意可知，，

，

所以，

因此关于的回归方程为，

所以最终每天魔方还原的平均速度约为13秒．

（2）由题意可知，的可能取值为3，4，6，9，

所以，

，

，

，

所以的分布列为：

所以数学期望为．

22．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数有两个极值点，且极小值大于，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，

则，

令，解得或，

当或时，，故的单调增区间为，，

当时，，故的单调增区间为，

所以的单调减区间为，单调增区间为，；

（2），

当时，，解得，不满足条件，

当时，，解得或，

因为函数有两个极值点，故，

当时，，函数在时取到极小值，

由题意，解得，即，故；

当时，，在时取到极小值，

由题意，解得，故．

综上所述，实数的取值范围是．

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