2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置．

1．（5分）已知集合是函数的定义域，是函数的定义域，则　　

A．， B．， C．， D．，

2．（5分）壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各1张，可以组成不同的币值一共有　　

A．4种 B．7种 C．15种 D．18种

3．（5分）函数的导函数为　　

A． B． C． D．

4．（5分）2021年是中国共产党百年华诞．某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛主席派人来》这4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有　　

A．14种 B．48种 C．72种 D．120种

5．（5分）如图是的导函数的图象，则下列四个判断中，正确的是　　

A．在，上是增函数 

B．在区间上是增函数 

C．的最大值是（1） 

D．当时，取极小值

6．（5分）一批产品共50件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是　　

A． B． 

C． D．

7．（5分）已知随机变量，那么　　

A． B． C．1 D．3

8．（5分）已知集合，，那么“”是“，”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置．

9．（5分）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是0，，，则第四个顶点对应的复数可以是　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知，，，则　　

A．的最小值为25 B．的最小值为 

C．的最小值为 D．的最小值为

12．（5分）已知定义域为的函数满足：①，；②当，时，，则　　

A． B．， 

C．函数的值域为， D．，

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）已知变量与线性相关，若，，且与的线性回归直线的斜率为6.5，则线性回归方程是　　．

14．（5分）已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则　　．

15．（5分）某班5名同学去参加4个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有 　　种．（用数字填写答案）

16．（5分）已知随机变量，若，则　　．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内解答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）为了了解某中心城市人们观看电视剧《觉醒时代》的情况，一家研究机构随机抽取出200人进行调查统计，得到下方的列联表．

（1）根据该列联表，是否有的把握认为“已观看《觉醒时代》”与“是年轻人”有关系？

（2）依据你对（1）的回答或者依据该列联表中的数据，谈谈你的看法．

参考公式：独立性检验统计量，其中．

下面的临界值表供参考：

18．（12分）我们曾用组合模型发现了组合恒等式，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同来得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此，我们并不陌生，例如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式．

（1）某医院有内科医生8名，外科医生名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，已知某内科医生必须参加的选法有66种，求的值；

（2）化简：．

19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，点，分别是，的中点．

（1）证明：平面；

（2）已知二面角的大小为，求三棱锥的体积．

20．（12分）已知一位篮球投手投中两分球的概率为，投中三分球的概率为，每次投中两分球、三分球分别得2分、3分，未投中均得0分，每次投篮的结果相互独立，该投手进行3次投篮：包括两分球投篮1次、三分球投篮2次．

（1）求“该投手投中两分球且恰好投中三分球1次”的概率；

（2）求该投手的总得分的分布列和数学期望．

21．（12分）已知函数，．

（1）判断的奇偶性并说明理由；

（2）如果当，时，的最大值是6，求的值．

22．（12分）已知函数，其中，是自然对数的底数，．

（1）当，时，求证：；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围．

2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置．

1．（5分）已知集合是函数的定义域，是函数的定义域，则　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：集合是函数的定义域，

则，

是函数的定义域，

则，

，．

故选：．

2．（5分）壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各1张，可以组成不同的币值一共有　　

A．4种 B．7种 C．15种 D．18种

【解答】解：选取1张人民币共有种不同的情况，

选取2张人民币共有种不同的情况，

选取3张人民币共有种不同的情况，

选取4张人民币共有种不同的情况，

故共有种不同的币值．

故选：．

3．（5分）函数的导函数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

．

故选：．

4．（5分）2021年是中国共产党百年华诞．某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《唱支山歌给党听》《毛主席派人来》这4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》《我和我的祖国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有　　

A．14种 B．48种 C．72种 D．120种

【解答】解：因为要求最后一首歌必须是合唱歌曲，所以可先安排最后一首歌曲，有种情况，

对于其他的3首歌曲没有要求，故可从剩下的5首歌曲中选出3首进行排序，有种情况，

则不同的安排方法共有种．

故选：．

5．（5分）如图是的导函数的图象，则下列四个判断中，正确的是　　

A．在，上是增函数 

B．在区间上是增函数 

C．的最大值是（1） 

D．当时，取极小值

【解答】解：由图知，当，，时，，在，，，上是减函数，故错误，错误；

同理可得，在区间上是增函数，故正确，错误；

故选：．

6．（5分）一批产品共50件，其中有3件不合格品，从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：一批产品共50件，其中有3件不合格品，有47件合格品，

所有的取法有种，恰有1件不合格品的取法有种，

故从中任取5件，则恰有1件不合格品的概率为，

故选：．

7．（5分）已知随机变量，那么　　

A． B． C．1 D．3

【解答】解：随机变量，．

故选：．

8．（5分）已知集合，，那么“”是“，”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

【解答】解：，，，，，

设，则，，，

（1），，

，，，

是，的充分不必要条件，

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应位置．

9．（5分）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：因为，故选项正确；

因为，故选项错误；

因为，故选项错误；

因为，故选项正确．

故选：．

10．（5分）在复平面内，一个平行四边形的3个顶点对应的复数分别是0，，，则第四个顶点对应的复数可以是　　

A． B． C． D．

【解答】解：①假设平行四边形的，，三点对应的三个复数分别为：，，0，

则，，，，，则点对应的复数可以是，

②假设平行四边形的，，三点对应的三个复数分别为：，0，，

则，，，，，则点对应的复数可以是，

③假设平行四边形的，，三点对应的三个复数分别为：，0，，

则，，，，，则点对应的复数可以是．

故选：．

11．（5分）已知，，，则　　

A．的最小值为25 B．的最小值为 

C．的最小值为 D．的最小值为

【解答】解：（当且仅当，即，时，等号成立），故正确，

，故时，有最小值，故错误，

（当且仅当时，等号成立），，

，故错误，

（当且仅当时，等号成立），故正确，

故选：．

12．（5分）已知定义域为的函数满足：①，；②当，时，，则　　

A． B．， 

C．函数的值域为， D．，

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，若，，则（1）（5），故对，

对于，当时，（3），故错，

对于，区间，的端点5是1的5倍，，都存在，，，使，

故，又当，时，，则有，故对，

对于，当，，，，则有，若，有，不是整数，错误；

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）已知变量与线性相关，若，，且与的线性回归直线的斜率为6.5，则线性回归方程是　　．

【解答】解：设线性回归方程为，

，，与的线性回归直线的斜率为6.5，

．

关于的线性回归方程为．

故答案为：．

14．（5分）已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则　0　．

【解答】解：，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，

则也是关于的方程的一个根，

，，

解得，．

则，

故答案为：0．

15．（5分）某班5名同学去参加4个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有 　240　种．（用数字填写答案）

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①将5人分成4组，有种分组方法，

②将分好的4组全排列，分别参加4个社团，有种排法，

由分步计数原理，则种方案，

故答案为：240．

16．（5分）已知随机变量，若，则　0.8　．

【解答】解：随机变量，正态曲线的对称轴是，

，

．

故答案为：0.8．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内解答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）为了了解某中心城市人们观看电视剧《觉醒时代》的情况，一家研究机构随机抽取出200人进行调查统计，得到下方的列联表．

（1）根据该列联表，是否有的把握认为“已观看《觉醒时代》”与“是年轻人”有关系？

（2）依据你对（1）的回答或者依据该列联表中的数据，谈谈你的看法．

参考公式：独立性检验统计量，其中．

下面的临界值表供参考：

【解答】解：（1），

所以有的把握认为“已观看《觉醒时代》”与“是年轻人”有关系．

（2）越来越多的年轻人关注国家发展的历史．

18．（12分）我们曾用组合模型发现了组合恒等式，这里所使用的方法，实际上是将一个量用两种方法分别算一次，由结果相同来得到等式，这是一种非常有用的思想方法，叫做“算两次”，对此，我们并不陌生，例如列方程时就要从不同的侧面列出表示同一个量的代数式．

（1）某医院有内科医生8名，外科医生名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，已知某内科医生必须参加的选法有66种，求的值；

（2）化简：．

【解答】解：（1）内科医生8名，外科医生名，现要派3名医生参加赈灾医疗队，某内科医生必须参加，该事件等同于从剩下7名内科医生，外科医生名，派2名医生参加赈灾医疗队，

即，解得．

（2），

的系数，

原式可以看作展开式中的系数减，即．

19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，点，分别是，的中点．

（1）证明：平面；

（2）已知二面角的大小为，求三棱锥的体积．

【解答】证明：（1）、分别是、的中点，，，

四边形是平行四边形，则

平面，平面，

平面；

解：（2），，，

，则，

又是直三棱柱，平面，

平面，，

，平面，

又平面，，则为二面角的平面角，

，可得．

三棱锥的体积．

20．（12分）已知一位篮球投手投中两分球的概率为，投中三分球的概率为，每次投中两分球、三分球分别得2分、3分，未投中均得0分，每次投篮的结果相互独立，该投手进行3次投篮：包括两分球投篮1次、三分球投篮2次．

（1）求“该投手投中两分球且恰好投中三分球1次”的概率；

（2）求该投手的总得分的分布列和数学期望．

【解答】解：（1）记“该投手投中两分球1次“为事件，则（A），

记“该投手第一次投中三分球“为事件，则（B），

记“该投手第二次投中三分球“为事件，则（C），

记“该投手投中两分球且恰好投中三分球1次”为事件，

因为每次投篮的结果相互独立，所以，

所以（D）；

（2）的可能取值为0，2，3，5，6，8，

则，

，

，

，

，

，

故的分布列为：

所以．

21．（12分）已知函数，．

（1）判断的奇偶性并说明理由；

（2）如果当，时，的最大值是6，求的值．

【解答】解：（1）当时，，

，则为奇函数，

当时，（1），，

（1），则不是奇函数，

（1），则不是偶函数，

当时，为奇函数，当时，是非奇非偶函数；

（2），

当，即时，在上是增函数，

，在，上是增函数；

当，即时，在，上是增函数，

，在，上是增函数；

当，时，的最大值是（2），

令，解得（舍去）或；

当，即时，在，上为增函数，

令，解得或（舍去）．

综上所述．的值是1或3．

22．（12分）已知函数，其中，是自然对数的底数，．

（1）当，时，求证：；

（2）若函数有两个零点，求的取值范围．

【解答】（1）证明：当时，，则，

令，解得，

当时，，则在上单调递增，

因为，所以（3），

故；

（2）解：因为，所以0是函数的一个零点，

，令，可得，

①当时，大于0，则在上单调递增，此时函数仅有一个零点，不符合题意；

②当时，由，可得，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

所以当时，取得极小值，即最小值为，

设（a），则（a），

所以当时，（a），则（a）单调递增，

当时，（a），则（a）单调递减，

当时，（a）取最大值，此时（a），

函数只有一个零点；

因为，且（a）在区间，上单调递增，、

所以当，时，（a），即，此时，如图所示，

当时，，则单调递增，且，

所以当时，只有一个零点，

当时，，则单调递减，

取，则，

，

因为，而，在，上单调递减且连续，

所以在，上有唯一的零点，

又因为在区间上没有零点，

所以当时，有两个零点；

当时，因为（a）在上单调递减，所以（a），即，

此时，如图所示，

因为当时，，所以函数单调递减，且，

所以当时，有一个零点，

设，则，

，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

所以，

则单调递增，

所以当时，，即当时，，

故，

设，则，

当时，，单调递减，

当时，，则单调递增，

所以（1），即，当且仅当时取等号，

所以，

而，在，上递增且连续，

所以在，上有唯一的零点，

又因为在，上没有零点，

所以当时，有两个零点．

综上所述，的取值范围为，，．

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