2020-2021学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷

2020-2021学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）若集合，，则　　

A．， B．， C．， D．，0，

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）曲线在点处的切线与直线平行，则实数　　

A． B． C． D．1

4．（5分）已知随机变量服从正态分布，且，则　　

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

5．（5分）“”是“”成立的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）已知随机变量，满足，且，，则，分别是　　

A．5，3 B．5，6 C．8，3 D．8，6

7．（5分）2名老师和4名学生共6人参加两项不同的活动，每人参加一项活动，每项活动至少有2人参加，但2名老师不能参加同一项活动，则不同的参加方式的种数为　　

A．20 B．28 C．40 D．50

8．（5分）已知定义在上的函数的导函数为，且，则　　

A．（2）（1），（2）（1） B．（2）（1），（2）（1） 

C．（2）（1），（2）（1） D．（2）（1），（2）（1）

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）下列说法正确的是　　

A．若变量与的线性回归方程为，则与负相关． 

B．样本相关系数的绝对值越大，成对数据的线性相关程度越强． 

C．用决定系数来刻画回归模拟效果时，若越小，则模型的拟合效果越好． 

D．用决定系数来刻画回归模拟效果时，若越大，则残差平方和越小．

10．（5分）若，则下列不等式中正确的是　　

A． B． C． D．

11．（5分）若，均为正数，且，则下列结论正确的是　　

A．的最大值为 B．的最小值为9 

C．的最小值为 D．的最小值为

12．（5分）甲、乙两位同学参加党史知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得1分，抢到答错则对方得1分，先得3分者获胜．甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立，则　　

A．甲抢到第一题并答对的概率为 

B．甲先得一分的概率是 

C．乙先得一分的概率是 

D．抢答完三道题竞赛就结束的概率是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）袋中有2个黑球，3个白球，现从中任取两个球，则取出的两个球中至少有1个黑球的概率为 　　．

14．（5分）函数在区间，上的最小值为 　　．

15．（5分）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，要求甲、乙两人相邻，并且甲、乙两人与丙、丁两人都不相邻，则不同的排法种数是 　　（用数字作答）

16．（5分）若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在上的倍函数，则的取值范围是 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）新冠疫情发生后，某生物疫苗研究所加紫对新冠疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到统计数据如表：

现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为0.35．

（1）求列联表中的，，，的值；

（2）并依据小概率值的独立性检验，分析注射此种疫苗对预防新型冠状病毒是否有效？

附．

18．（12分）在下面三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．

条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；

条件②：第3项与第7项的二项式系数相等；

条件③：展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的乘积为256．

问题：在二项式的展开式中，已知 _____．

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求的展开式中的常数项．

19．（12分）已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）若函数在区间，上单调递增，求的取值范围．

20．（12分）新冠疫情对人们的生产生活造成了严重的伤害，在国家和人民的共同努力下，疫情得到了有效遏制，人们的生活步入正轨．某企业为了刺激经济复苏、增加经济收益连续对生产增加投入．该企业连续5个月的生产投入（十万元）与收益（十万元）的数据统计如下表：

根据散点图的特点，可认为样本点分布在曲线的周围，据此对数据进行了一些初步处理，如表：

其中，，2，3，4，

（1）请根据表中数据，建立关于的回归方程保留两位小数）；

（2）根据所建立的回归方程，若该企业在下一月生产投入15（十万元），则企业的收益估计有多少？（保留两位小数）附：对于一组数据，，，，，，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

21．（12分）某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段，甲、乙两人参加该闯关游戏．初赛分为三关，每关都必须参与，甲通过每关的概率均为，乙通过每关的概率依次为．初赛三关至少通过两关才能够参加复赛，否则直接淘汰；在复赛中，甲、乙过关的概率分别为．若初赛和复赛都通过，则闯关成功．甲、乙两人各关通过与否互不影响．

（1）求乙在初赛阶段被淘汰的概率；

（2）记甲本次闯关游戏通过的关数为，求的分布列；

（3）试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，比较与1的大小；

（2）当时，若关于的方程有唯一实数根，求证：．

2020-2021学年山东省济宁市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）若集合，，则　　

A．， B．， C．， D．，0，

【解答】解：集合，

，0，，

，．

故选：．

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：命题“，”的否定是

“，”．

故选：．

3．（5分）曲线在点处的切线与直线平行，则实数　　

A． B． C． D．1

【解答】解：由，得，

曲线在点处的切线与直线平行，

．

故选：．

4．（5分）已知随机变量服从正态分布，且，则　　

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

【解答】解：根据题意，随机变量服从正态分布，且，

正态曲线的对称轴是，

若，则，

故；

故选：．

5．（5分）“”是“”成立的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：若，则，则成立，即充分性成立，

若当时，成立，但不成立，即必要性不成立，

即“”是“”成立的充分不必要条件，

故选：．

6．（5分）已知随机变量，满足，且，，则，分别是　　

A．5，3 B．5，6 C．8，3 D．8，6

【解答】解：随机变量，满足，且，，

，解得，

，

，

，

．

故选：．

7．（5分）2名老师和4名学生共6人参加两项不同的活动，每人参加一项活动，每项活动至少有2人参加，但2名老师不能参加同一项活动，则不同的参加方式的种数为　　

A．20 B．28 C．40 D．50

【解答】解：由题意参加方式分为两类：

一类是：1名老师名学生，1名老师名学生；另一类是：1名老师名学生，1名老师名学生．

不同的参加方式的种数．

故选：．

8．（5分）已知定义在上的函数的导函数为，且，则　　

A．（2）（1），（2）（1） B．（2）（1），（2）（1） 

C．（2）（1），（2）（1） D．（2）（1），（2）（1）

【解答】解：令，，

则，

函数在上单调递增，

（2）（1），，

（2）（1）．

令，

，

则，

函数在上单调递减，

（2）（1），（2）（1），

（2）（1）．

综上可得：只有正确．

故选：．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）下列说法正确的是　　

A．若变量与的线性回归方程为，则与负相关． 

B．样本相关系数的绝对值越大，成对数据的线性相关程度越强． 

C．用决定系数来刻画回归模拟效果时，若越小，则模型的拟合效果越好． 

D．用决定系数来刻画回归模拟效果时，若越大，则残差平方和越小．

【解答】解：对于：若变量与的线性回归方程为，则与正相关，故错误；

对于：样本相关系数的绝对值越大，成对数据的线性相关程度越强，故正确；

对于：用决定系数来刻画回归模拟效果时，若越小，则模型的拟合效果越差，故错误；

对于：用决定系数来刻画回归模拟效果时，若越大，则残差平方和越小，故正确；

故选：．

10．（5分）若，则下列不等式中正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

又，且，

，故选项正确，

当，时，满足，但，，故，选项错误，

设，求导可得，故在上单调递增，

当时，，故选项正确．

故选：．

11．（5分）若，均为正数，且，则下列结论正确的是　　

A．的最大值为 B．的最小值为9 

C．的最小值为 D．的最小值为

【解答】解：，均为正数，且，

由基本不等式可得，，解得，当且仅当，即，时等号成立，故选项正确，

，当且仅当，即时等号成立，故选项正确，

，

，

结合二次函数的性质可知，，故选项正确，

结合二次函数的性质，，故选项错误．

故选：．

12．（5分）甲、乙两位同学参加党史知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得1分，抢到答错则对方得1分，先得3分者获胜．甲、乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立，则　　

A．甲抢到第一题并答对的概率为 

B．甲先得一分的概率是 

C．乙先得一分的概率是 

D．抢答完三道题竞赛就结束的概率是

【解答】解：对于，甲抢到第一题并答对的概率为，故正确；

对于，甲先得一分的概率是，故错误；

对于，乙先得一分的概率是，故正确；

对于，抢答完三道题竞赛就结束的概率是，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）袋中有2个黑球，3个白球，现从中任取两个球，则取出的两个球中至少有1个黑球的概率为 　　．

【解答】解：袋中有2个黑球，3个白球，现从中任取两个球，

基本事件总数，

取出的两个球中至少有1个黑球包含的基本事件个数，

取出的两个球中至少有1个黑球的概率为．

故答案为：．

14．（5分）函数在区间，上的最小值为 　0　．

【解答】解：，

，

，当且仅当时取等号，

，

函数在区间，上单调递增，

当时，取得最小值，即，

故答案为：0．

15．（5分）甲、乙、丙、丁等6人排成一排，要求甲、乙两人相邻，并且甲、乙两人与丙、丁两人都不相邻，则不同的排法种数是 　72　（用数字作答）

【解答】解：甲，乙，丙，丁等6人排成一排，甲，乙相邻，则把甲乙看成一个整体，甲，乙之间有种排法，

①当甲，乙整体排在首或尾时，共（种，

②当甲，乙整体排在中间3个位的排法，（种，

故不同的排法种数为．

故答案为：72．

16．（5分）若存在实数，对任意，成立，则称是在区间上的“倍函数”．已知函数和，若是在上的倍函数，则的取值范围是 　　．

【解答】解：由题意，若是在上的倍函数，

当时，，

当且仅当时取等号，

所以；

当时，，

则，

当时，取得最大值，

即，

所以，

综上，，

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）新冠疫情发生后，某生物疫苗研究所加紫对新冠疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到统计数据如表：

现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为0.35．

（1）求列联表中的，，，的值；

（2）并依据小概率值的独立性检验，分析注射此种疫苗对预防新型冠状病毒是否有效？

附．

【解答】解：（1）由已知条件可知：

，，

，．

故，，，．

（2），

依据小概率值的独立性检验，分析注射此种疫苗对预防新型冠状病毒是有效的．

18．（12分）在下面三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．

条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于37；

条件②：第3项与第7项的二项式系数相等；

条件③：展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的乘积为256．

问题：在二项式的展开式中，已知 _____．

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求的展开式中的常数项．

【解答】解：（1）选择①，，

，

展开式中二项式系数最大的项为．

选择②，，

，

展开式中二项式系数最大的项为．

选择③，令，可得展开式所有项的系数和为1，而二项式系数和为，

，解得，

展开式中二项式系数最大的项为．

（2），

的展开式中的参数项为．

19．（12分）已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）若函数在区间，上单调递增，求的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，

所以，

当变化时，，的变化情况如下表：

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，

所以函数的极大值为，极小值为（2）．

（2），

因为函数在区间，上单调递增，

所以对，恒成立，

因为函数对称轴为，

①当时，在，上的最小值为（a），

由（a），得或，

所以，

②当时，在，上的最小值为（1），

解（1），解得，

所以，实数的取值范围为，．

20．（12分）新冠疫情对人们的生产生活造成了严重的伤害，在国家和人民的共同努力下，疫情得到了有效遏制，人们的生活步入正轨．某企业为了刺激经济复苏、增加经济收益连续对生产增加投入．该企业连续5个月的生产投入（十万元）与收益（十万元）的数据统计如下表：

根据散点图的特点，可认为样本点分布在曲线的周围，据此对数据进行了一些初步处理，如表：

其中，，2，3，4，

（1）请根据表中数据，建立关于的回归方程保留两位小数）；

（2）根据所建立的回归方程，若该企业在下一月生产投入15（十万元），则企业的收益估计有多少？（保留两位小数）附：对于一组数据，，，，，，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

【解答】解：（1），令，则，令，，则．

因为，，

所以，．

所以，又

故关于的回归方程为；

（2）当时，，

所以企业的收益估计有141.25十万元．

21．（12分）某闯关游戏分为初赛和复赛两个阶段，甲、乙两人参加该闯关游戏．初赛分为三关，每关都必须参与，甲通过每关的概率均为，乙通过每关的概率依次为．初赛三关至少通过两关才能够参加复赛，否则直接淘汰；在复赛中，甲、乙过关的概率分别为．若初赛和复赛都通过，则闯关成功．甲、乙两人各关通过与否互不影响．

（1）求乙在初赛阶段被淘汰的概率；

（2）记甲本次闯关游戏通过的关数为，求的分布列；

（3）试通过概率计算，判断甲、乙两人谁更有可能闯关成功．

【解答】解：（1）若乙初赛三关一关没有通过或只通过一个，则被淘汰，

故乙在初赛阶段被淘汰的概率．

（2）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4，

，，，

，，

故的分布列为：

（3）甲闯关成功的概率，

乙闯关成功的事件是初赛不被淘汰和复赛过关的事件积，而这两个事件相互独立，其概率为，

，

甲更有可能闯关成功．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，比较与1的大小；

（2）当时，若关于的方程有唯一实数根，求证：．

【解答】解：（1）当时，，

，

可得函数在上单调递减，在上单调递增，

时，函数取得极小值即最小值，

．

（2）证明：当时，令，，

，

易知函数在上单调递增，

，（a），

存在唯一，使得，即，①

函数满足：在上单调递减，在，上单调递增．

，

关于的方程有唯一实数根，

，

，②

由①②消去可得：，

令，，

，

在上单调递减，

又，（1），

，即．

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