2022年辽宁省沈阳市中考数学实训试卷（三）（含解析）

2022年辽宁省沈阳市中考数学实训试卷（三）

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，由个完全相同的小立方块搭成的几何体，若每个小立方块的棱长为，则主视图的面积是

A.
B.
C.
D.

3. 下列运算结果等于的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，平分交边于点，若，则的度数是

A.  B.  C.  D.

5. 据国家卫健委报道，截至年月日，个省自治区、直辖市和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠疫苗万剂次，将数据“万”用科学记数法表示为

A.  B.
C.  D.

6. 某市客运管理部门对“五一”黄金周假期五天的客流变化量做了不完全统计，数据如下用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示下降数：

与月日比，月日的客流量变化了多少

A. 下降了万人 B. 上升了万人 C. 上升了万人 D. 下降了万人

7. 下列说法正确的是

A. 要了解一批电视机的使用寿命，应采取普查的方式
B. 平均数相同的甲、乙两组数据，若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定
C. 一组数据，，，，的中位数是
D. 随机掷一枚质地均匀的硬币次，可能只有一次正面向上

8. 已知在中，点为线段边上一点，则按照顺序，线段分别是的

A. 中线，角平分线，高线 B. 高线，中线，角平分线
C. 角平分线，高线，中线 D. 高线，角平分线，中线

9. 如图，在函数的图象上有一点，将点先向右平移个单位，再向下平移个单位后恰好又落在图象上，则的值为

A.
B.
C.
D.

10. 已知圆内接正六边形的周长为，则围成阴影部分图形的周长是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 过五边形的一个顶点的对角线条数是______．
12. 已知等式“”被墨迹覆盖了一部分，则被覆盖的部分是______．
13. 如图，四边形与四边形位似，位似中心为点，且线段的对应边为线段，测得，，若四边形的面积为，则四边形的面积为______．

14. 如图是一个“数值转换机”若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为，则满足条件的最小的值为______．

15. 如图，在某中学操场内，测得看台的高为，坡角为，从同一列上的第一排的点和最后一排的点处测得旗杆顶部的仰角分别为和，旗杆底部点与第一排点在同一水平面上，则旗杆的高度为______
16. 如图，平面直角坐标系中，等腰三角形的边落在轴上，，，直线的图象与边交于点，与边交于点，将沿翻折后，点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是______．

三、解答题（本大题共9小题，共82分）

17. 计算：．
18. 为庆祝建党周年，某校组织教师为全校学生进行党史学习宣讲，现决定从名教师志愿者三男一女中随机抽取两名志愿者参加宣讲．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰有一男一女两名志愿者被选中的概率．
19. 如图，已知，相交于点，且∽，，延长到点，使，连接．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，求的长．
20. 某商场在“双十一”期间进行优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣．小松在该商场购买了甲、乙两种商品，分别抽到八折和九折，共付款元，两种商品原销售价之和为元．求两种商品的原价分别为多少元？
21. 某区为了了解八年级女生一分钟仰卧起坐的成绩，随机抽取了部分女生的体育成绩，并将成绩分段后绘制了两幅不完整的统计图如下：；：；：；：；：：
    体育成绩统计表

根据上面提供的信息，回答下列问题：
在统计表中，______，______，______；
请将统计图补充完整；
若八年级女生仰卧起坐成绩一分钟在个以上含个定为良好，则根据抽样结果，请估计该区今年名八年级女生中仰卧起坐成绩为良好的学生约有多少人．

22. 如图，点是轴正半轴上一点，与轴正半轴的一个交点为点在点的下方，点是上一个动点，点是轴正半轴上一个动点，且．
    若点坐标为，当点与点重合时，求直线的解析式；
    若的最小值为，最大值为．
    求长；
    当与相切时，请直接写出点坐标；
    当时，过点作轴于点，是轴上一个动点，若，请直接写出点的坐标．

23. 如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点是轴正半轴上一点，且．
    求直线的解析式；
    如图，点是第一象限内直线上的一点，设的面积为，点的横坐标为，求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
    如图，在的条件下，当时，将直线绕点旋转得到直线，若，求直线与轴的交点的坐标．

24. 如图，点是的边延长线上的一点，且，是边的中点．
    求证：；
    如图，已知，点在线段上，点在线段的延长线上，连接交于点，过点作交所在直线于点．
    当时，求证：；．
    当时，设，请直接写出与之间的函数关系式不要求写出自变量取值范围．

25. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，点在轴负半轴，点在轴正半轴上，抛物线与轴正半轴交于点．
    求，，三点坐标，用含的代数式表示；
    如图，已知点在第二象限，，，，试判断点是否在抛物线上，并说明理由；
    如图，在的条件下，已知点是抛物线对称轴上一点，射线上存在一点，使与全等，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原来的图形重合．
 

2.【答案】

【解析】解：这个组合体的主视图为，

所以主视图共有个边长为的正方形组成，因此面积为，
故选：．
画出这个组合体的主视图，再求出主视图的面积即可．
本题考查简单组合体的三视图，掌握视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是解决问题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据负整数指数幂计算选项；根据有理数的乘法计算选项；根据有理数的乘方计算，选项即可得出答案．
本题考查了负整数指数幂，有理数的乘法，有理数的乘方，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：，平分，
，
，
，
故选：．
根据角平分线的定义可得，根据三角形外角的性质可得，即可求出的度数．
本题考查了三角形外角的性质，涉及三角形的角平分线，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：万

，
故选：．
根据的指数比原来的整数位数少，按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出的指数，再根据万进行计算即可得出答案．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法形式：，其中，为正整数，的指数比原来的整数位数少是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：万人，
上升了万人，
故选：．
根据题意列出式子，计算即可．
本题考查了有理数的加法，正数和负数，掌握用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示下降数是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：选项，要了解一批电视机的使用寿命，应采取抽样调查的方式，故该选项不符合题意；
选项，，
甲组数据比乙组数据稳定，故该选项不符合题意；
选项，将这组数据从小到大排序为，，，，，中位数为，故该选项不符合题意；
选项，随机掷一枚质地均匀的硬币次，可能只有一次正面向上，故该选项符合题意；
故选：．
根据普查和抽样调查判断选项；根据方差越大，则离散程度越大，稳定性也越小判断选项；根据中位数的定义判断选项；根据随机事件判断选项．
本题考查了全面调查与抽样调查，中位数，方差，随机事件，掌握方差越大，则离散程度越大，稳定性也越小是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：在中，点为线段边上一点，则按照顺序，线段分别是的高线，角平分线，中线．
故选：．
根据三角形的角平分线、中线和高的作法即可解决问题．
本题考查了作图基本作图，三角形的角平分线、中线和高，解决本题的关键是掌握三角形的角平分线、中线和高的作法．
 

9.【答案】

【解析】解：将点先向右平移个单位，再向下平移个单位后所得到点的坐标为，
又点在函数的图象上，
所以，
解得，舍去，或，
故选：．
用含有的代数式表示点移动后所得到的点的坐标，再代入函数关系式进行计算即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，表示出移动后的点坐标是解决问题的前提．
 

10.【答案】

【解析】解：连接、，

六边形是正六边形，
，
正六边形的周长为，
，
，
，
是等边三角形，
，
阴影部分的周长是，
故选：．
连接，，根据正六边形是的内接六边形得出，求出圆心角的度数，再求出弧的长度，最后求出答案即可．
本题考查了正多边形的性质，弧长公式等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：如图所示：

过五边形的一个顶点可作条对角线．
故答案为：．
直接利用多边形的性质画出对角线，即可求解．
此题主要考查了多边形的对角线，正确画出图形是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：

，
故答案为：．
根据分式加减法的计算方法进行计算即可．
本题考查分式的加减法，掌握分式加减法的计算方法是正确计算的前提，分式的通分、约分以及因式分解是正确解答的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：四边形与四边形位似，位似中心为点，线段的对应边为线段，，，
四边形与四边形的相似比为：，
四边形与四边形的面积比为：，
四边形的面积为，
四边形的面积为：．
故答案为：．
直接利用位似图形的性质得出对应边比值，进而得出相似比，即可得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出相似图形的面积比是解题关键．
 

14.【答案】

【解析】解：由题意可知，
当输入时，，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：．
输入的值为正整数，
满足条件的最小的值为．
故答案为：．
根据计算程序代入解答即可．
本题主要考查了一元一次方程，根据程序框图正确列出方程并计算是解决本题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：如图．

，，
，
由题意知，
，
，
在中，
可得，
在中，
可得，
在中，
可得．
故答案为：．
由题意可得，，在中，可得，在中，可得，在中，可得．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：连接交于，过点作于，交于，过点作于，
，，，
，
由勾股定理得：，
对于，当时，，
则点的坐标为，
，
直线的解析式为，
，
，，，
，
，
，，
则，
，
，，
点的坐标为，
点落在反比例函数的图象上，
，
故答案为：．
连接交于，过点作于，交于，过点作于，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据一次函数的性质求出，根据正弦、余弦的定义计算，求出点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征计算，得到答案．
本题考查的是反比例函数的性质、解直角三角形、一次函数的性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟记三角函数的定义是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
．

【解析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质等知识，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：从名教师志愿者三男一女中随机抽取两名，所有可能出现的结果情况如下：

共有种可能出现的结果，每种结果出现的可能性是均等的，其中是一男一女的有种，
所以抽到的两个人恰好是一男一女的概率为．

【解析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
 

19.【答案】证明：∽，
，
，
即，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，，，
，，，
，
，
在中，由勾股定理可得：
，
即，
∽，
，
，
，
．

【解析】根据相似三角形的性质可得，再由，，可得，即可证明；
由平行四边形的性质可得，可得，再由可得，利用勾股定理可得，再由相似三角形的性质可得，从而得出，即可求解．
本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．
 

20.【答案】解：设甲商品的原价为元，乙商品的原价为元，
根据题意，得，
解得，
答：甲商品的原价为元，乙商品的原价为元．

【解析】设甲商品的原价为元，乙商品的原价为元，根据“按八折和九折共付款元，两种商品原销售价之和为元”列方程组，求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并根据题意建立方程组是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：人，
，
，
．
故答案为：；；．
补全频数分布直方图如下图：

人．
答：估计该区今年名八年级女生中仰卧起坐成绩为良好的学生约有人．
先求出样本总人数，再结合频数与频率的关系即可得出答案．
由即可补全频数分布直方图．
用该区今年名八年级女生乘以，，分数段的频率的和即可得出答案．
本题考查频数分布直方图、统计表，能从统计表中获取信息是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：如图，

当点与点重合时，
，
在中，，
，
点，
又点坐标为，
直线的解析式为；
如图，设，的半径为，则，

由题可知，当最大时，取得最大值为，当最小时，取得最小值，
，
由勾股定理可得：，，
解得：，，
；
如图，

与相切，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
点；
当点在点的右侧时，如图，过点作于，

由题意可得：此时点，点，点共线，
，
，
又，
，
平分，
又，，
，
，，
，
，
，
，
，
点；
由对称性可知，当点在点的左侧时，点，
综上所述：点的坐标为或．

【解析】由勾股定理可求，可得点坐标为，即可求解；
由勾股定理可求解；
由切线的性质和勾股定理可求的长，即可求解；
分两种情况讨论，先证平分，由面积法可求的长，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

23.【答案】解：令，得，解得，
，
令，得，
，
，
设直线的解析式为：，
将，代入，得，
解得．
直线的解析式为：．
由知，，
如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
点在第一象限，
．

由知，
当时，，
．
如图，过点作交于点，

分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，
∽，
：：：，
，，
直线过点，，
直线的解析式为：，
设点的横坐标为，则，，
则有，
解得，
．
如图，

与同理可得，∽，
：：：，
，，
设点的横坐标为，则，，
则有，
解得，
．
综上，直线与轴的交点的坐标为或．

【解析】求出，两点坐标，利用待定系数法求解即可．
由题意，根据，求解即可．
过点作交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，易得∽，所以：：：，所以，，由直线过点，，可得直线的解析式为：，设点的横坐标为，则，，由此构建方程求解即可．
本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是构造相似三角形，建立方程，属于中考常考题型．
 

24.【答案】证明：是的外角，
，
，
，
，
；
证明：过点作于，如图所示：
则，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
由得：，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
即，
，
，
是的中点，
，
，

；
解：过点作于，如图所示：
同得：，，
∽，
，
，，
又，，
∽，
，
，
，，
，
，
又为中点，，
，，
，，
，
，
．

【解析】由三角形的外角性质得，再由已知，得，即可得出结论；
过点作于，先证≌，得，，再证≌，得，，求出，，即可解决问题；
过点作于，先证∽，得，，再证∽，得，求出，，然后由，即可得出结果．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，正确作出辅助线构建全等三角形和相似三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：在中，
令得或，
，，
令得，
；
不在抛物线上，理由如下：
过作于，过作轴于，如图：

，
，
，，
≌，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得或舍去，
，
在中，，
，
解得或舍去，
，，，
，，
，，
，
而时，抛物线为，
当时，，
，
不在抛物线上；
若与关于轴对称，此时≌，如图：

，
直线解析式为，
抛物线对称轴为直线，
在中令得，
；
当≌时，过作轴于，如图：

，，，
≌，
，，
，
，
直线解析式为，
令得，
，
综上所述，的坐标为：或

【解析】在中，令得，，令得；
过作于，过作轴于，证明≌，得，设，在中有，解得，在中，，解得有，，，则，，可得，代入抛物线解析式即可得到答案；
若与关于轴对称，≌，可得，直线解析式为，令得，；当≌时，过作轴于，证明≌，得，，可得，直线解析式为，令得
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，全等三角形的性质及应用等，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题．