第8章立体几何初步（压轴30题专练）-2021-2022学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第二册）（原卷版）

第8章立体几何初步（压轴30题专练）

一、单选题

1．（2020·广西河池·高一期末）棱长为a的正四面体ABCD与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为（       ）

A． B． C． D．

2．（2020·全国·高一单元测试）已知棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AC1为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（　　）

A． B． C． D．

3．（2019·甘肃·兰州一中高一期末）已知正三棱锥P—ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）的侧面是顶角为30°腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB，PC分别交于点D和点E，则截面△ADE周长的最小值是（     ）

A． B．2 C． D．2

4．（2019·内蒙古·赤峰二中高一阶段练习（理））已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为

A． B． C． D．

5．（2021·河北张家口·高一期末）如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．3

6．（2021·江苏徐州·高一期末）在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BD⊥CD，且AB=BD=DA=3，，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

7．（2021·吉林·四平市第一高级中学高一期末）如图，是边长为的等边三角形，点在所在平面外，平面 平面，点是棱的中点，点分别在棱上，且，. 现给出下列四个结论:①平面；②是定值；③三棱锥体积的最大值是；④若三棱锥的体积是，则该三棱锥外接球的表面积是.其中正确结论的个数是（       ）

A． B． C． D．

8．（2021·浙江湖州·高一期中）棱长为1的正四面体内有一个内切球为中点，N为中点，连接交球O于两点，则的长为（       ）

A． B． C． D．

9．（2021·广东·湛江二十一中高一期中）已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（       ）

A． B． C． D．

10．（2019·江西·武宁县第一中学高一期末）在四面体中，是边长为的等边三角形，，，，则四面体的体积为

A． B． C． D．

二、多选题

11．（2021·山东莱西·高一期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论中正确的是（       ）

A．异面直线与所成角的取值范围为

B．直线直线

C．三棱锥的体积为定值

D．直线过的垂心

12．（2021·吉林·长春市第八中学高一期中）下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，不能得出平面的图形是（       ）

A． B．

C． D．

13．（2021·广东惠州·高一期中）已知点为正方体内（含表面）的一点，过点的平面为，以下描述正确的有（       ）

A．与和都平行的有且只有一个

B．过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交

C．与正方体的所有棱所成的角都相等的有且只有四个

D．过点可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等

14．（2021·山东烟台·高一期末）在正方体中，点为线段上一动点，则（       ）

A．对任意的点，都有

B．三棱锥的体积为定值

C．当为中点时，异面直线与所成的角最小

D．当为中点时，直线与平面所成的角最大

15．（2021·福建省福州第一中学高一期末）已知菱形的边长为2，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为直二面角，设为的中点，为三棱锥表面上的动点，则（       ）

A．四面体的外接球的半径为

B．与所成的角

C．线段的最大值是

D．若，则点轨迹的长度为

16．（2020·江苏宿迁·高一期末）如图，在菱形中，,，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（       ）

A．

B．的长不为定值

C．与的夹角为

D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是

17．（2021·福建南平·高一期末）已知图1中的正三棱柱的底面边长为2，体积为，去掉其侧棱，将上底面绕上、下底面的中心所在的直线，逆时针旋转后（下底面位置保持不变），再添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．

C．四边形为正方形

D．正三棱柱与多面体的体积相同

三、填空题

18．（2021·江苏·高一单元测试）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______.

19．（2019·甘肃靖远·高一期末）已知在棱长为1的正方体中，点是线段上的动点，点是线段上的动点，则的最小值是______.

20．（2021·湖南·武冈市第二中学高一阶段练习）正方体为棱长为2，动点，分别在棱，上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，，下列命题正确的是____________.（写出所有正确命题的编号）

①当时，为矩形，其面积最大为4；②当时，的面积为；

③当，时，设与棱的交点为，则；

④当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值.

21．（2021·江西·景德镇一中高一期中）如图，三个半径都是的小球放在一个半球面的碗中，三个小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则这个碗的半径是______.

22．（2021·广东·广州市真光中学高一期中）在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为______

23．（2021·福建浦城·高一期中）正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面投影是底面中心）的高为1，底面边长为，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球表面积是___________.

24．（2021·福建南平·高一期末）如图，已知边长为4的菱形中，，将沿对角线翻折至所在的位置，若二面角的大小为，则过，，，四点的外接球的表面积为___________.

四、解答题

25．（2021·山西太原·高一期末）如图，在三棱锥中，平面，

（1）若，.求证：；

（2）若，，分别在棱，，上，且，，.求证：平面.

26．（2021·安徽·合肥市第六中学高一期末）如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，且，点M，G分别在，上，且，.

（1）证明：直线平面.

（2）若点G恰好是点在平面内的正投影，此时，求三棱锥的体积.

（注：本大题用空间坐标系解题一律不给分）

27．（2019·陕西蒲城·高一期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面PBC⊥平面ABCD，∠BCD，BC⊥PD，PE⊥BC．

（1）求证：PC＝PD；

（2）若底面ABCD是边长为2的菱形，四棱锥P﹣ABCD的体积为，求点B到平面PCD的距离．

28．（2019·甘肃·高台县第一中学高一期末）如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．

（1）求证：AC1∥平面PBD；

（2）求证：BD⊥A1P．

29．（2021·全国·高一单元测试）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.

（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD;

（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.

30．（2021·浙江·永嘉中学高一期中）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为．

（1）求四棱锥的总曲率；

（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数，证明：这类多面体的总曲率是常数．